Matematik grundforløbet. Niveau F

Matematik grundforløbet. Niveau F

Areal og omkreds

Indledning

Beregning af areal og omkreds

Kvadrater og kvadratrod

Cirklens areal og omkreds

Cirkeludsnit

(I alt 10 sider)

4.0 Areal om omkreds

4.1 Indledning

Ved arealberegning vil enhederne altid være længdeenheden ganget med sig selv.

Når vi beregner arealer bruger vi derfor følgende enheder:
Kvadratmillimeter, (mm²) (en mm² er arealet af en firkant med sidelængden 1 mm)

Kvadratcentimeter, (cm²) (en cm² er arealet af en firkant med sidelængden 1 cm)

Kvadratdecimeter, (dm²) (en dm² er arealet af en firkant med sidelængden 1 dm)

Kvadratmeter, (m²) (en m² er arealet af en firkant med sidelængden 1 m)

Kvadratkilometer, (km²) (en km² er arealet af en firkant med sidelængden 1 km)
For at foretage korrekte arealberegninger skal de længder, der indgår i beregningerne, altid have samme enheder.

HUSK derfor, at gange mm med mm, cm med cm, m med m osv.

Sammenhæng mellem enhederne for længder og areal
Længder	Areal
1 km = 1.000 m	1 km^2= 1.000.000 m^2
1 m = 10 dm	1 m^2 = 100 dm^2
1 dm = 10 cm	1 dm^2 = 100 cm^2
1 cm = 10 mm	1 cm^2 = 100 mm^2

4.2 Beregning af areal og omkreds

A = længde * bredde


Opgave 4.1

Beregn arealet af den geometriske figur. Alle mål er i meter.

Beregning:

I alt

Opgave 4.2

Beregn arealet af den geometriske figur. Alle mål er i meter. Beregning:

I alt

Opgave 4.3
Tegningen forestiller en byggegrund tegnet i målestok 1 : 1000

Mål med lineal på tegningen og beregn følgende:
a) Omkredsen af grunden i meter.
b) Grundens areal i m²

Omkredsen =

Arealet =

Opgave 4.4
Tegningen forestiller en byggegrund tegnet i målestok 1 : 2000

Mål med lineal på tegningen og beregn følgende:

a) Omkredsen af grunden i meter.
b) Grundens areal i m²

Omkredsen =

Arealet =

Opgave 4.5
Tegningen forestiller en byggegrund tegnet i målestok 1 : 500

Mål med lineal på tegningen og beregn følgende:

a) Omkredsen af grunden i meter.
b) Grundens areal i m²
Omkredsen =

Arealet =

4.3 Kvadrater og kvadratrod

Et kvadrat er et rektangel (firkant), hvor alle 4 sider er lige lange.

D
s
et vil sige, at arealet af et kvadrat beregnes på samme måde som arealet af et rektangel. Længde x bredde (A = l x b).

Da sidelængderne l og b i et kvadrat er lige

lange, kaldes sidelængden i den viste figur s.

A
s

realet kan derfor beregnes ved følgende formel:

A = s x s = s²

Skal arealet findes af et kvadrat, skal kvadratets sidelængde gangs med sig selv.

Det gøres lettest ved at anvende lommeregnerens tast.

Eksempel. Arealet af et kvadrat med sidelængden 5 cm = 5^2= 25 cm^2

Skal sidelængden af et kvadrat, hvor arealet kendes, skal beregningen foregå den modsatte vej. Da det modsatte af at sætte en talværdi i anden potens, er at tage kvadratroden af tallet. På lommeregneren anvendes funktionen.

Eksempel. Sidelængden af et kvadrat med arealet 16 cm^2 = = 4 cm

Opgave 4.6
Beregn arealerne af følgende kvadrater, ved brug af lommeregneren tast.

1. 
   Sidelængden i et kvadrat er 0,56 m
   

Arealet =

2. 
   Sidelængden i et kvadrat er 19,4 cm
   

Arealet =

Opgave 4.7
Beregn sidelængden af følgende kvadrater, ved brug af lommeregnerentast.
a) Arealet af et kvadrat er 3,2 m²

Sidelængden =

b) Arealet af et kvadrat er 1521 cm²

Sidelængden =

4.4 Cirklens areal og omkreds

For at beregne cirklens areal og cirklens omkreds, skal der anvendes en særlig værdi, som har fået betegnelse (udtales pi).

Værdien defineres ved den længde, som omkredsen i en cirkel med diameteren 1 har.
En cirka værdi for kan sættes til 3,1416. I stedet for denne værdi – der ikke er præcis – skal du anvende lommeregneres tast, der er mere præcis!
Omkredsen (O) af en cirkel findes ved, at gange diameteren (d) med .

O = • d, eller hvis radius bruges i stedet er formlen:

O = 2 • • r.
Arealet (A) af en cirkel findes ved, at gange cirklens radius (r) i anden potens med .
eller hvis diameteren (d) bruges i stedet forer formlen:


På samme måde som sidelængden i et kvadrat kan beregnes, hvis arealet er kendt. Kan radius i en cirkel beregnes, når cirklens areal er kendt.

Eksempel: Radius i en cirkel med arealet 27 cm^2,skal beregnes: Arealet indsættes i formlen: 27cm^2= x r^2 – ved at dividere med på begge sider fås - for at ”ophæve” r^2, taget kvadratroden => r = 2,93 cm

Opgave 4.8
Beregn omkredsen og arealet af en cirkel med diameteren 42,8 cm:
Arealet =
Omkredsen =
Opgave 4.9
Beregn radius og arealet af en cirkel med omkredsen 1,42 m
Radius =

Areal =

4.5 Cirkeludsnit

Omkredsen af en cirkel kan udtrykkes ved at sige, at den er 360^o. Det ses ved, at den er delt af 2 linier, der står vinkelret – eller 90^o på hinanden. Cirkelen er således delt i 4 vinkler (4 x 90^o).

Det at vi ved, at cirklen er 360^o, kan bruges til at beregne arealer af cirkeludsnit.

Eksempel 1: En cirkel har arealet 516 cm^2 Cirklen har et cirkeludsnit på 43^o. Cirkeludsnittets areal (A) kan beregnes på følgende måde: A = = 61,16 cm^2

43^0

Kendes et cirkeludsnits areal, kan hele cirklens areal ligeledes beregnes.

Eksempel 2: Et cirkeludsnit har arealet 37 m^2 Cirklen har et cirkeludsnit på 28^o. Hele cirklen areal (A) kan beregnes på følgende måde: A = = 475,714 m^2

28^0

Opgave 4.10
Beregn arealet af et cirkeludsnit på 27^o i en cirkel med radius 16 cm.
Cirkeludsnittets areal =






Opgave 4.11
Et cirkeludsnit på 72^o har arealet 136 cm², beregn hele cirklens areal.
Cirklens areal =



Opgave 4.12

Beregn arealet af denne geometriske figur

Beregning:
I alt