Matematikaning tasodifiy xodisalarni o’rganadigon bo’limi ehtimollik nazariyasidir
Yüklə 192 Kb.
|
|
2.1. Iqtisodiyotga tadbiqi. Inson hayotida ro’y berishi yoki ro’y bermasligi oldindan aytib bo’lmaydigon, ya’ni tasodifan ro’y beradigon xodisalar ham uchraydi. Lotoreya o’ynida yutuq chiqishi, otilgan o’qning noshonga tegishi, tayyorlangan buyum sinalganda standartli bo’lib chiqishi eng soda tasodifiy xodisalardir.Shu bilan birga amaliyot nuqtaiy nazaridan aloxida olingan xodisalar emas, balki yetarlicha ko’p sonli, ommaviy xarakterga ega xodisalarning umumiy qonuniyatlarini o’rganish muhimdir. Masalan, korxona uchun , bitta yoki ikta buyum emas, balki ko’plab tayyorlangan buyumlardan qanchasi yaroqli yoki yaroqsiz bo’lishini, bir va birnecha urug’ emas, balki katta maydonlardagi ekinlarning qancha chiqimi unib chiqishi mumkundir. Matematikaning tasodifiy xodisalarni o’rganadigon bo’limi ehtimollik nazariyasidir. Ko’p sonli hodisalarning tabiatini to’laroq ochish va xulosalar chiqarish uchun malumotlarni matematik tahlil qilish talab qilinadi. Uning umumiy usullarini matematik statistika (lotincha “status” xolat ) beradi. Xozirgi jahon iqtisodiyoti davrida O’zbekiston qishloq xo’jaligini yanada rivojlantirishda, urug’chilikda, yerlarni almashtirib ekishda, iqtisodiy va biznes soxalariga limit teoremalarning tadbiqlarini qo’llash o’zining samarasini beradi deb o’ylaymiz. Extimollar nazariyasi va matematik statistika fanining imkoniyatlari juda keng va boydir. U nafaqat fizika, astranimiya, biologiya, iqtisod fanlari kani tibbiyot, tilshunoslik (lingvistika) atrof-muhitni ximoya qilish, turli-tuman xodisalarni o’rganishga ham dadillik bilan o’zining tekshirish qonunlari bilan kirib bormoqda. Mamlakatimizning iqtisodiy- ijtimoiy taraqqiyotini jadallashtirish yangi texnalogiyalarni yaratish va ishga tushirish uchun extimollar nazariyasining asosiy qonuniyatlarini tadbiq qilish kerak bo’ladi. Ehtimollar nazariyasining binomial qonunidan biologiya fanida va ximiyada, Puasson qonunidan iqtisodiyotta foydalaniladi. Masalan. 1-misol. Yt- t- yildagi milliy daromad, Jt- t- yildagi sof harajat, Ct- t yildagi iste’mol desak iqtisodiy balansning matematik modeli Tt= Jt+ Ct Formula bilan beriladi, binomial bog’liqlik topiladi ba normal qonun jadvali- Laplas jadvali tadbiq qilinadi. 2-misol. Normal qonun bo’yicha tasdiqlagan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi 1 Uning zichlik funksiyasi 2 Matematik kutilma, *- dispersiya. Shu * - zichlik funksiyaning tadbiqlari mavjud, poyabzal fabrikalarida quyidagi 3 kabi grafikdan foydalaniladi: koordinatalar kesishgan joyidan 40- razmer erkaklar poyabzali, 41, 42, ……, yoki 39, 38,……. Ordinatasi uzunligi poyabzal (x- millon ) sonni bildiradi. Ayollar uchun markazda 38-razmer, bolalar uchun 36-razmer qo’yiladi. 4 Misol. Partiyada 10% nostandart detal bor. Tavakkaliga 2 ta detal olingan. Olingan detallar orasidagi nostandart detallar sonining taqsimot qonunini yozing. Binomial qonunga asosan. Xisoblang . 5 Taqsimot qonuni quyidagicha bo’ladi:
Tekshirish : p1p2+p3=1 bo’lishi kerak, 0,81+0,09+0,01=1 Misol. Xar vir otilgan o’qning nishonga yegish extimoli 0,001 ga teng. Agar 5000 ta o’q otilgan bo’lsa, ikkita va undan ortiq nishonga tegish extimolini toping. Yechish. Nishonga tekkan o’qlar sonini * desak, izlanayotgan extomol * dan iborat bo’lib, u quyidagiga teng bo’ladi: 6 E’tiborga olsak, Pn(0), Pn(1) extimollari Puasson formulasi yordamida osongina topiladi: 7 { extimol m=4 va m=5 bo’lganda ushbu maksimum qiymatga erishadi: { 2.2. Extimollar nazariyasining biologiyaga tadbiqi. Ehtimollar nazariyasining qonunlarini biologiyaga tadbiqi mavjud. Quyida binomial qonun bilan Puasson qonunini biologiyaga tadbiqi sifatida 2 ta misol keltiramiz. 1-misol. Binomial qonunning tadbig’i. Mikroorganizmlarni ma’lum bir soxada tarqatish ehtimoli 0,7 ga teng. Tavakkaliga Olingan 6ta tanlanmada mikroorganizmlar kaloniyasini tarqalishi biologik qonuni bo’yicha taqsimlanishini xisoblang. Yechish binomial qonuni bo’yicha 8 Uning binomial taqsimoti
Demak { avval o’sadi, m=4da maksimumga erishadi, keyin kamayadi. 2-misol. Puasson qonunini tadbiqi Paqirdagi suvda n=10000 ta bakteriya borligi ma’lum. Bir tomchi suvdagi bakteriyaning mavjudligi extimoli p=0,001 ekani malum. Bir tomchi syvdagi bakteriyaning taqsimot qonunini toping. 9 Bir tomchi suvda birorta ham bakteriya bo’lmasligi ehtimoli 10 Bir tomchi suvda 1,2,3,,,,,, bakteriyaning bo’lishi ehtimolligi: 11 Taqsimot qonuni quyidagi jadval shaklida yozish mumkun:
Jadvaldan ko’rinadiki, Puasson taqsimoti k=9, va 10 maksimumga erishadi va keyin kamaya boshlaydi. Misol. Qoraqo’l terining yaroqsiz chiqish extimoli p=0,09 ga teng bo’lsin. Nechta qoraqo’l teri olinganda qoraqo’lning yaroqsiz chiqishi 0,02 dan kichik bo’lish extimoli 0,9962 ga teng bo’ladi. Yechish Muavr-Lappasning integral teoremasini tadbiq etamiz. { nisboy chastotaning o’zgarmas p extimoldan { condan katta bo’lmaslik ehtimolini toppish kerak, ya’ni 13 Tengsizlikdan, quyidagini yozamiz, 14 Bundan
Shartga asosan p=0,09, q=0,91 e=0,02 va
Bundan n ni topamiz, 17 Natijada { Jadvaldan { ekanligini topamiz. Demak { Xosil qilingan natijaga ko’ra, olingan 1664 ta qoraqo’l terining yaroqsiz chiqishi nisbiy chastotasi 0,9962 extimol nilan 18 Tengsizlikni qanoatlantiradi. 2.3. Eng kichik kvadratlar usuli va dispersiya. Ma’lum bir tajriba yoki kuzarish ishlari olib borilayotgan bo’lsa, numda o’zgaruvchi miqdirlar o’rtasidaagi bog’lanish ma’lum bir formula asosida bo’ladi. Masalan: 19 Erkin tushishdagi S o’tilgan yo’lni, t vaqt bilan bog’liqlikni bildiradi. G esa koeffisiyent bo’lib, tajriba asosida aniqlanadi t ga qiymat bersak, S ham qiymat oladi, jadval tuza olamiz. Endi shu qiymatlardan foydalanib g ning mos keluvchi qiymatini topish masalasi bor, g ning optimal qiymatini toppish kerak. Shu kabi masalalarda yechish “eng kichik kvadratlar usuli” deb yuritiladi. Bunda tajriba natijasida xosil qilingan qiymatlar bilan aniq xisoblangan qiymatlar ayirmasining kvadratlari olinadi va ular q’shiladi. Buninf uchun quyidagi funksiyalarni olaylik: 1.{ - chiziqli funksiya 2. { - kvadratik funksiya 3. { - chiziqli funksiya uchun 20 a va b ni topish kerak. 21 Agar { farqning kichik bo’lsa tajriba xaqiqatga yaqin bo’ladi. Buning uchun a va b ni xisoblash kerak. 22 23 Yani ehtimollar nazariyasining dispersiyasidan foydalanamiz. Shu S eng kichik bo’lishi kerak. Shuning uchun bu usulni “eng kichik kvadratlar usuli” deyilafi. S=f(a,b) – ya’ni a va b ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ikki o’zgaruvchili funksiyadir. S=f(a,b) eng kichik qiymatni olishi uchun a va b ga nisbatan olingan birinchi tartibli xususiy xosila 0ga teng bo’lishi kerak, ya’ni 24 Bo’lishi kerak. 25 Bu topilganlarni 0ga tenglasak: 26 a va b ga nisbatan ikki nomalumli ikkita tenglama sistemasiga ega bo’lamiz. (1)ni normal sistema deyiladi. Misol uchun. Tajriba natijasida olingan x va y ning qiymatlari quyidagicha bo’lsin:
Shu qiymatlarga asoslanib eng kichik kvadratlar usuli bilan a va b ning qiymatini topamiz. Buning uchun (1) normal sistemadan foydalanib quyidagi tablitsani tuzamiz:
Sistemaga qo’ysak 27 Ikki nomalumli tenglama sistemasi xosil bo’ladi. Bu sistemani Kramer formulasi bilan yechib , a va b nomalumlarni qiymatini topamiz. 28
Demak x va y o’zgaruvchilar o’rtasidagi bog’liqlik y=-5,06x+ 19,87 kabidir xuddi shu kabi 30 Kvadratik funksiya uchun ham eng kichik kvadratik usulini qo’llash mumkun. U hulda 31 Summani qo’yamiz. S=f(a,b,c)- uchta o’zgaruvchiga bog’liq funksiya, shuning uchun 32 munosabatni tekshiramiz. Uch (a,b,c) nomalum uchta tenglama sistemasi kelib chiqadi. Buni ham yuqoridagi usulda (faqat uchinchi tartibli determinant bilan) yechib a,b,c larni topamiz 33 34
Topilgan qiymatni (A) ga qo’yamiz: 36 a,b,c ga nisbatan uch nomalumli uchta tenglama sistemasi Kramer yoki Gaus usuli bilan yechamiz a=2,54; b=-1; c=0,575 Demak, 37 Da 38 Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun limit teoremalari. Izlanish natijalardan fizika, kimyo, biologiya, muhandislik, astranomiya soxalarida qo’llansa maqsadga muvofiq bo’ladi. Ayniqsa, xozirgi jahon iqtisodiy inqirozi davrida O’zbekiston qishloq xo’jaligini yanada rivojlantirishda, urug’chilikda, yerlarni almashtirib ekishda, iqtisodiy va biznes sohalariga limit teoremlarning tadbiqlarini qo’llash o’zining samarasini beradi deb o’ylaymiz. Akademik litsey, kasb- hunar kollejlarining iqtidorli talabalari, oliy o’quv yurti talabalariga izlanish natijalari asosida ilmiy seminar o’tkazish mumkun. Extimollar nazariyasining limit teoremlarida ko’pincha o’zaro bog’liq bo’lamagan ba bir xil taqsimlangan 39 Bo’lgan tasodifiy miqdorlar ketma -ketligidan 40 (1) Yig’indi tuzilib, { dagi limit o’rganiladi. Agar tasodifiy miqdorlar ketma – ketligi yatrlicha katta sonda bo’lsa va xar bir qo’shiluvchi tasodifiy miqdorlarni (1) yig’indiga ta’siri juda kichik bo’lsa, u holda (1) ga mos taqsimotni { dagi limiti normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasiga intiladi, ya’ni { normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Ammo yuqoridagi fikr hamma vaqt ham to’g’ri bo’lavermas ekan, ya’ni tasodifiy indeksli qo’shiluvchilar bo’lsa 41 (2) kabi bo’lsa , bunga mos taqsimotni { dagi limiti normal qonun bo’yicha taqsimlanish tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasiga intiladi degan fikr, “chala ” yoki “ to’la bo’lmagan” fikr bo’ladi. Xatto, (2) dagi har bir tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor bo’lganda ham, yig’indi tasodifiy infdeksli bo’lsa, { dagi limiti normal qonun boʼyicha taqsimlangan tasodifiy mikdorning taqsimot funktsiyasiga intilmaydi. Bundagi { butun sanoqli qiymatlarni kabul kiluvchi tasodifiy mikdordir Uning matematik kutilmasini Mv = a dispersiyasini { deylik. Bunday taqsimotga misol Puasson konuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdordir. Uning taqsimot funktsiyasi 42 Maqsad (1) va (2) yig‘indilarga mos bo‘lgan taqsimot funktsiyalarini tahlil qilishdan iboratdir. Bu bilan ehtimollar nazariyasining limit teoremalarida tasodifiy indeksli qo‘shiluvchilar uchun limit teoremalar deb atalgan bir bo‘limi hosil bo‘ladi. Bunday limit teoremalarning tatbiqlari juda ko‘p: ommaviy xizmat qilish oqimlarida, iqtisodiyotda, mexanikada qo‘llaniladi. Bunda kuzatilayotgan tajribalar soni tasodifiy, ularning harbiri ham tasodifiydir. Kuyidagi misollarni keltiramiz. 1-misol. Aytaylik, { , bir kundagi magazinga kirgan xaridorlar soni bo‘lsin, bu tasodifiy miqdordir. { -chi xaridorning xarid qilgan maxsulotining narxi, bu ham tasodifiy mikdordir. U holda magazinning bir kunlik pul tushumi { , bu yig‘indi tasodifiy sondagi tasodifiy miqdorlar yig‘indisi bo‘lib, bu { ning { dagi taqsimoti (2) ni topish muhimdir. 2-misol. { , bir kunda ustaxonaga keladigan mijozlar soni. { i- chi mijozni buyurtmasi. U holda bir kunlik buyurtma summasi (2) yig‘indi kabi bo‘ladi va{ dagi taqsimotini topish kerak bo‘ladi. Bunday misollarni ko‘plab keltirish mumkin. (2) ning { dagi taqsimoti 43 ko‘rinishda bo‘ladi, bu yerda (44) { taqsimot ikkita taqsimotniig kompozitsiyasi (bog‘lami)dan iborat. Birinchi taqsimot { tasodifiy miqdorning tqasimot funksiyasi { , ba u disrket tipdagi tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Ikkinchi taqsimot normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi { dir. U uzluksiz tipdagi tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Ularning kompozitsiyasi { normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo’ladi, bu tushuncha [8] da isbotlangan. Agar { bo’lsa yani tasodifiy miqdorning yig’indisi, tasodifiy qo’shiluvchilar emas, tayinlangan n uchun qaralsa, ba { bo’lsa, { bo’ladi, chunki, { va 45 Tasodifiy indeksli qo’shiluvchilar uchun limit teoremalar masalasini birinchi marta amerikalik matematik G.Robbins 1948-yilda [11] maqolasida e’lon qilgan. U eng soda xolni, bir xil taqsimlangan vs o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar uchun limit teoremalarni qaragan. Keyinchalik G.Robbinsni natijalarini S.X.Sirojidinov, G.Orazovlar [4] ilmiy ishlarida takomilashtirganlar , umumlashtirganlar. Tasodifiy miqdorlar har xil taqsimlangan holatdagi natijalarini I.Nematov [7] isbotlagan. III bob. ASOSIY QONUNLARNING KOMPOZITSIYASI HAQIDA 3.1. Ehtimollar nazariyasida panjarasimon taqsimotlar va ularning tadbiklari. Ta'rif 1. Agar tasodifiy mikdor a+kh ko‘rinishdagi qiymatlarni qabul qilsa, bunday diskret tasodifiy miqdorni panjarasimon taksimlangan tasodifiy mikdor deb yuritiladi. Ya'ni: 46 qiymatlarni qabul qiladi. Bunday taqsimotga misollar, Puasson taqsimoti 47 Bernulli taqsimoti 48 Ehtimollik nazariyasi kursidan ma'lumki { tasodifiy panjarasimon taksimotga ega bo‘lishi uchun uning xarakteristik funktsiyasi 1 ga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Ya'ni: | f(t)| =1. Bu taksimotda h>0 mikdor taqsimotning qadami deb yuritiladi. Faraz qilaylik. 49 Tasodifiy mikdorlar o‘zaro bog‘liq emas va panjarasimon taqsimotga ega bir xil taqsimlangan bo’lsin 50 Yig‘indi ham panjarasimon- diskret taksimlangan tasodifiy miqdor bo‘ladi va u na + kh ko‘rinishdagi qiymatlarni qabul qiladi 51 Murakkab tasodifiy miqdorni qaraganimizda 52 lar panjarasimon taqsimlangan { esa diskret taqsimlangan. Demak, S murakkab diskret taqsimlangan tasodifiy mikdor bo‘ladi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy mikdorlar uchun bunday teoremalar G.Orazovlarning [13] dissertatsiyasida ko‘rilgan. Bunda bir xil taqsimlangan tasodifiy sondagi tasodifiy mikdorlar uchun lokal limit teoremalar isbotlangan. Agar tasodifiy mikdorlarning tasodifiy bo‘lmagan sonlar yigindisining asimptotik holati ko‘rilayotgan bo‘lsa, u holda yig‘indilarning o‘zlari yoki ba'zi qo‘shiluvchilar ixtiyorsiz markazlashadi. Ammo agar tasodifiy yig‘indilar ko‘rilayotgan bo‘lsa, u holda yig‘indilarni markazlashtirish va qo‘shiluvchilarni markazlashtirish umuman olganda har xil asimptotik taqsimotlarga olib keladi. Nihoyat, yig‘indilarni o‘zgarmaslar bilan normallash juda ham mos va umuman olganda tasodifiy yig‘indilarning asimptotik holatini juda ham yaxshilaydi, ba'zi bir hollarda tasodifiy mikdorlar bilan normallash kulay bo‘lishi mumkin. Quyida biz barcha hollarni ko‘rib chiqamiz, ya'ni tasodifiy yig‘indilar tasodifiy mikdorlar bilan normallangan holni ko‘rib chiqamiz. Bizga { tasodifiy mikdorlar ketma-ketligi { va { sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsin 53 Bu yerda { - tasodifiy miqdor. { va { funksiyalar { va { o’smaydi Aytaylik , tasodifiy miqdor { ketma-ketlikka bog’liqlik bo’lsin. Bizning { tasodifiy miqdorlarning asimptotik taqsimoti qiziqtiradi, bunda { . Endi ushbu markazlashgan funksiyani ko’rib chiqaylik. 54 Ushbu yig’indilarning kiritamiz. 55 (1) 56 (2) Teorema1. (1) va (2) o’rinli ba { extimollik bilan { , u xolda xar qanday { uchun 53 (3) (4) (5) O’rinli bo’ladi. Isbot. To’la ehtimollik formulasiga asosan: 57 (6) (7) Ko’rinishda bo’lishi mumkun. Xar qanday { uchun: 58 Tengsizlikni qanoatlantiruvchi { larni (1) bo’lgada { dan qatiy nazar tanlab olishimiz mumkun. Shuning uchun (6) larni quyidagicha yozib olamiz: 59 (8)
60 (9) O’rinli bo’ladi. Shunday qilib, (8) va (9) dan quyidagi tengsizlik kelib chiqadi, faqat { bo’lganda ushbu o’rinlidir: 61 (10) Ko’paytuvchi { (10) tengsizlikda (3) ni isbotlaydi. 62 Shularni ham yuqoridagidek isbotlaymiz. 63 Bundan (4) ning to’g’riligiga ishonch hosil qilamiz. 64 { ga asosan (5) tengsizlik ham kelib chiqadi. Endi quyidagicha belgilashlarni qabul qilamiz: yani 65 Yuqoridagidek L(F,G) F va G taqsimot funksiyasi orasidagi Levi masofasini ifodalasin. Yuqoridagi tenglamalardan va (1) teoremadagi { ni qo’yib quyidagi natijani olamiz. Natija. (1) va (2) da quyidagi kelib chiqadi, ta’ni: 66 Ushbu big’liqlik tasodifiy miqdorlar ya’ni: 67 (11) Tengsizlikni qanoatlantiradi. To’la extimollik formulasidan: 68
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 77 Tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi { bo’sin. Teorema 3. Agar { tasodifiy indeks bo’lsa,va 78 bo’lsa , u holda 79 Isbot. { ning matematik kutilmasi 80 to’la ehtimollik formulasiga asosan, 81 bo’ladi.
82
Teorema 4. Agar 85 bo’lsa , u holda: 86 Isbot. To’la ehtimollik formulasiga asosan 87 bo’lgani uchun. Shunday musbat { sonni toppish mumkunki, { uchun 88 tengsizlik { uchun , yozish mumkun. Shunga asosan: 89 (*) Bundagi
90 (*) munosabatdan: 91 Yoki 92 Demak: 93 Yoki 93 kelib chiqadi. Tasodifiy qo’shiluvchilar uchun { fazodagi baholar haqida Ehtimollar nazariyasining limit teoremalarini { metrik fazoda o’rganish [6] va [10] manblarda ancha mukammal o’rganilgan. Quyidagi tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shikuvchilardan tuzilgan yig’indini taqsimot funkiyasini { fazoda standart normal qonunga yaqinlashish prinsiplari o’rganiladi. Aytaylik 95 (1) xar xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi berilgan bo’lib, ularning harakteristikalari quyidagicha bo’lsin: 96 ketma- ketlikdan quyidagi yig’indini tuzamiz: (2) Bundagi { butun sanoqli qiymatlarni qabul qiluvchi { parametrga bog’liq tasodifiy miqdordir. (2) ga mos keluvchigi tasodifiy miqdorlar sifatida normal qonun bo’yicha { larni va { sifatida Puasson taqsimotini olish mumkun. 98 99 Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 100 [4] maqolada 101 Ekani isbotlangan. Agar 102 desak, u xolda 103 va 104 bo’ladi. [4] da har xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun { fazoda quyidagi natija olingan: 105 bundan 106 { ikkita funksiyaning, { diskret va { uzluksiz taqsimotlarning kompozitsiyasidan iborat bo’lib, ularning kompozitsiya V.Feller teoremasiga asosan uzliksizdir. [8] manbada quyidagi baho olingan: 107 { absalyut doimiy sonlar. Teorema 1. Agar tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan bo’lib, { bo’lsa, u holda 108 bo’ladi, { standart normal qonun. Teorema 2. Agar tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan va { bo’lsa, u holda 109 1 va 2 teoremalardan normal qonunga intiluvchi { fazodagi oddiy limit teoremalar xususiy xol sifatida kelib chiqadi. Markaziy limit teorema o’z nomi bilan ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fanida markaziy o’rinni egallaydi va uning tatbiqlari juda ko’p. jumladan, kvantillar uchun limit teoremalarni bayonlashda ham markaziy limit teoremalarni tatbiq qilinadi. Shu sababli markaziy limit teoremalarni bayonlab o’tamiz. Markaziy limit teorema juda ko’p fundamental ishlarni rivojlantirishga extimollar nazariyasining tadbiqlarining rivojlanishiga texnik va iqtosiy fanlarning rivojlanishiga asosiy manba bo’lib hizmat qiladi. Quyidgi biz ana shu teoremaga umumiyroq shakl berib bayonlaymiz va uni klassik limitik teoremaga deb ham ataymiz .Bunda asosan Lindeberg shartini, Lyapunov shartini va teoremasini keltiramiz. A xodisaning k-chi tajribadagi ro’y berishini { bilan belgilaymiz n t o’zaro bog’liqmas tajribalar ketma -ketligini yig’indisini { kabi belgilaymiz. Uning matematik kutilmasi 110 va dispersiyasi 111 Bu holda Muavl-Laplas teoremasining umumiy ko’rinishi { 112 (1) bo’ladi. Bunda tasodifiy miqdorni normallashtirish va markalashtirish prinsipidan foydalanadi, bu degani tasodifiy miqdordan uning matematik kutilmasi ayirib tashlanadi va ildiz ostidagi dispersiyasiga bo’linadi, shunda{ matematik kutilmasi 0 bo’lgan disperiyasi 1 bo’lgan standart normal taqsimotga keladi. Xaqiqatan ham { tasodifiy miqdorni matematik kutilmasi { dispersiyasi { bo’lsa. 113 va 114 kelib chiqadi Klassik limitik teoremada qo’shiluvchilarning har bir yig’indiga juda oz miqdorda “tasir qilishi” talab qilinadi, shuningdek qo’shiluvchilarning soni qanchalik darajada katta bo’lsa, olinadigon natija shunchalik aniq bo’ladi. Quyidagi masalani qaraymiz, chekli matematik kurilmasi va dispersiyaga ega b’lgan o’zaro bog’liq bo’lmagan, xar bir taqsimlangan 115 (2) T asodifiy miqdorlar ketma- ketligini qaraymiz , quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 116 Yig’indini { dagi limiti normal qonunga 117 (3) bo’lgani uchun { tasodifiy miqdorga qanday shartlarni qo’yish kerak. Buning uchun Lindeberg sharti bajarilishi yetarli ekan. Lindeberg sharti, ixtiyoriy { uchun 118 Sharti bajarilishi yetarli bo’lib { . Lindeberg shartidan ko’rinadiki ixtiyoriy r>0 uchun quyidagi yig’indi { da intiladi, demak { yig’indi juda kichik miqdor bo’lishi talab qilinadi. 119 (4) Yig’indining taqsimot funksiyasini { dagi limiti (3) normalga intilishini yetarli shartlarini A.A.Markov va A.Lyapunov tekshirishlarida ham ko’ramiz. Quyidagi A.Lyapunov shartini, yani Lindenberg shartini umumlashmasini keltiramiz. A.Lyapunov teoremasi. Agar (2) tasodifiy miqdorlar ketma-ketligini ixtiyoriy r uchun Lindenberg shartini qanoatlantirsa, u holda { da x uchun tekis ravishda 120 (5) bajariladi yoki 121 (6) Shaklni keltiradi. Shu (6) ifoda asosan “Markaziy limit teorema ” deb yuritiladi. Agar (6) dagi taqsimot funksiyalaridan birinchi tartibli xosila olsak bu limitik teoremani “ Zichlik funksiyalari uchun” limitik teoremalar deb yuritiladi, yani 122 deb belgilasak 123 (7) zichlik funksiyalari uchun limit teorema bo’ladi. Bu teoremalar faqat tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari uzliksiz bo’lgan xollar uchun o’rinlidir. (6) ifodaning berilshi { dagi limit teorema bo’lib, uning qoldik xadini xisoblash masalasi, va tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan xollarini keltirib chiqishi, ko’p argumentli zichlik funksiyalarining berish hollari mavjud bo’lib, bunday izlanishlar akademik Y.V.Proxorov tomonidan xal etilgan.O’zbekistonda birinchi bo’lib shunday ilmiy ishlar professor M.Mamatov tomonidan o’rganilgan va “qoldiq xadning” takomillashtirish, soddalashtirish masalalari o’rganilgan. A.Lyapunov o’zining ishlarini umumlashtirib quyidagi natijani ham olgan: 124 (8) bo’lsa u holda 125 ekanini isbotlagan. (8) shartni A.Lyapunov sharti deyiladi. o’zaro bog’liq bo’lmagan bir xil taqsimlangan { Tasodifiy miqdorlar zichlik funksiyalari uchun limit teoremalar. Akademik Y.V.Proxorov va professor M.Mamatovlar tomonidan “local limit teoremalar ” sifatida bayonlangan. M.Mamatovning ilmiy ishlarida, Y.V.Proxorovnung zichlik funksiyalari uchun limit teoremalariga aniqlik kiritilgan va yangi natijalar olingan. Y.V.Proorovning zichlik funksiylari uchun limit teoremasi 126 (1) Kabi limit ifodalarga bag’ishlangan, bunda 127
Normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Aytaylik 128 (2) Xar hil taqsimlangan tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar yig’indisi bo’lib, { parametrga bog’liq bo’lgan, butun sanoqli qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdor bo’lsin. { tasodifiy miqdorlarning xarakteristikalari quyidagicha bo’ladi. 129
{ ning xarakteristikalari; 130 { tasodifiy miqdorlar mos keluvchi tasodifiy miqdor Puasson qonuni 131 Bilan taqsimlangan tasodifiy miqdor misol bo’la oladi. Bu xolda 132 Belgilashla kiritamiz. Teorema .(2) yig’indining matematik kutilmasi { Isboti . 133 Yani {.
Teorema.(2) yig’indining dispersiyasi 134 Isboti. { ning qiymatidan { Malumki,
Shunga asosan: 136 ekanini xisobga olsak, 137 malumki, 138 [2] da I.Nematov ishlarida xar hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun tasodifiy indeksli limit teoremalar berilgan. U yerda tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari uchun teoremalar o’rganilgan. Ushbu maqolada zichlik funksiyalari uchun limit teoremaning xususiy xoli, bir xil taqsimlangan xol qaraladi. 3 teorema. Agar { bo’lsa, u holda 139 (3) munosabat bajariladi. Bundagi { Isboti . xaqiqatan ham { bo’lganda 140
141
Uning zichlik funksiyasi esa 142 Demak, (3) munosabat kelib chiqadi. 3.2 Normal va Pusson qanunlarining bog’lami.
shakli bo’lib, { uning zichlik funksiyasidir. Diskret tipdagi tasodifiy miqdorga tipik misol Pusson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo’lib, uning taqsimot qonuni 144 { tasodifiy miqdor ,{ ko’rinishda bo’ladi. Uzluksiz tipdagi miqdorga tipik misol normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo’lib, uning taqsimot qonuni 145
Ko’rinishda bo’ladi. Ushbu misolda Normal va Pusson qonunlari o’rtasida bog’liqlik yoki kompozitsiya bayonlanadi. B.Feller [8] monografiyasida shu ikkala qonunning murakkab kompazitsiyasi normal qonunni berishi isbotlangan. Bunday masalalar asosan tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar uchun limit teoremalarda ko’roq o’rganiladi va birinchi marta G.Robbins [11] shunday masalani soda xoli uchun, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun isbotlagan. Keyinchalik bu masalalar, xar xil taqsimlangan xollar uchun, I.Nematov [7] tomonidan isbotlangan. Tasodofiy qo’shiluvchilar uchun limit teoremalarda shunday { tasodifiy miqdor kiritilib 146 (1) yig’indini { dagi limiti o’rganiladi. Bu tasodifiy miqdorlarning harakteristikalari quyidagicha: 147 yig’indiga mos kelgan limitik funksiya ko’rinishi: 148 (2) bundagi { esa Pusson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo’lib, { normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasidir. Demak, (2) ifoda ikkala taqsimotning kompozitsiyasi bo’lib, uzluksiz taqsimotdir. Normal qonun biln Pusson qonunning o’zaro bog’liqligi masalasi Sh. Yakshayavichusning bir maqolasida [15] ham o’rganilgan. Agar { bo’lsa, u xolda 149 (3)
bundagi , { Stirling qatori, { butun koeffisientli Kramer qatori. Tatbiqiy masalalarda (3) dan foydalanish mumkun. Buning uchun quyidagi ayniyatlardan foydalanamiz: 150 bu xolda (3) quyidagi ko’rinishni oladi: 151 (4) (4) munosibatdan ko’rinadiki, Puasson qonunida { parametrni { parametrga almashtirish bilan, ushbu asosiy qonun { bo’lganda qisqaradi, “kichrayadi” { bo’lganda cho’ziladi, { bo’lganda maksimumga erishadi. Tabiyki { da { kelib chiqadi. 3.3 Xarakteristik funksiyalar uchun limit teoremalarining xususiy xollari Ushbu maqolada xar hil taqsimlangan tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar uchun limit teoremalarni xarakteristik funksiyalar usulida isbotlash va uning xususiy xollarini keltirib chiqarish bayonlanadi. Tasodifiy sondagi tasodifiy usulida isbotlash Amerikalik olim G. Robbins [11] tomonidan o’rganilgan. O’sha maqolada bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun limit teoremalar berilgan, biz shu natijada har xil taqsimotla r uchun qaraymiz. Xar hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun limit teoremalar S.X.Sirojjiddinov, G.Orazovlar [13] ilmiy ishlarida hamda I.Nematovning [7] maqolasida berilgan, faqatgina ularda tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari yordamida limit teoremalar qaralgan, biz esa xarakteristik funksiyalar usulida isbotlaymiz. Aytaylik 152 Har hil taqsimlangan tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar yig’indisi bo’lib, { ,{ parametrga bog’liq bo’lgan butun sanoqli qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdor bo’lsin. { tasodifiy miqdorning xarakteristikalari quyidagicha bo’ladi: 153 Taqsimot funksiyasi 154 Xarakteristik funksiyasi 155 Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: 156 { ning xarakteristikalari: 157 Xar xil taqsimlangan holat uchun\ 158 Quyidagi keltirilgan lemmalarning teoremaning isboto [14] da keltirilgan: 159 Lemma 1. { Lemma 2. { A shart : { Teorema. Agar A shart bajarila, u holda 160 (1) bu yerda { Ushbu teorema, birinchisidan bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun berilgan teoremalarni umumlashtiradi (masalan[11]dagi teoremani), ikkinchidan iqtisodiyot masalalariga, tarmoqlanuvchi protseslarga, ommaviy xizmat nazariyasiga, fizikaga tadbiq qilinadi. Teoremaning isboti [5] da berilgan, uning xususiy xollarini keltiramiz. 1-xol. Agar { bo’lsa, u xolda (1) munosabat o’rinli bo’ladi. Isbot. Ko’rish qiyin emaski, 161 2 -xol. Agar { bo’lsa , u xolda 162 (2) Ya’ni normal taqsimotning xarakteristik funksiyasi kelib chiqadi. Isbot. { bo’lsa, { bundan { va 163 bo’lib (2) kelib chiqadi. 3-xol. Agar 164 yig’indi normal taqsimlangan bo’lsa, u xolda 165 Isboti. Natijaning shartiga asosan 166 U xolda
Markaziy limit teorema va zichlik funksiya Muavr-Laplasning local v integral limit teoremasi juda ko’p fundamental ishlarni rivojlanishiga , extimolar nazariyasining tadbiqlarini rivojlanishiga, texnik va iqtisodiy fanlarning rivojlanishiga asosiy manba bo’lib xizmat qildi. Quyida biz ana shu teoremaga umumiyroq shakl berib bayonlaymiz va uni klasssik limitik teorema deb ataymiz, Lyapunov shartini va teoremasini keltiramiz. A xodisaning keying tajribadagi ro’y berishi { bilan belgilaymiz. { ta o’zaro bog’liq,as tajribalar ketma ketlik yig’indisini 1 kabi belgilaymiz.uning matematik kutilmasi 2 va dispersiyasi 3 Bu xilda Muavr-Laplasning teoremasining umumiy ko’rinishi{ 4 (1) bo’ladi.
Xaqiqattan ham, { tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi { dispersiya { bo’lsa, 5 va 6 kelib chiqadi. Klassik limitik teoremada qo’shiluvchilarning xar biri yig’indiga “juda oz miqdorda” tasir qilisi talab qilinadi, shuningdek qo’shiluvchilarning soni qanchalik darajada katta bo’lsa , olinadigon natija shunchalik aniq bo’ladi. Quyidagi masalani ko’ramiz, chekli matematik kutilmaga va dispersiyaga ega bo’lgan, o’zaro bog’liq bo’lmagan, xar hil taqsimlangan { (1) Tasodifiy miqdorlar ketma ketligini qaraymiz. Quyidagi belgilashlarni qaraymiz: 7 yig’indining { dagi limitini normal qonun 8 (2) ga intilishi uchun { tasodifiy miqdorga qanday shartlarni qo’yish kerak? Buning uchun Lindeberg sharti bajarishi yetarli ekan. Lindeberg sharti. Ixtiyoriy { uchun 9 (L) Shartni bajarishini yetarli bo’lib 10 Lindebarg shartidan ko’rinadiki, ixtiyoriy { uchun (L) yig’indi { da 0ga intiladi. Demak 11 yig’indi juda kichik miqdor bo’lishi talab qilinadi 12 (3) yig’indining taqsimot funksiyasi { dagi limiti (2) normal qonunga intilishi yetarli shartlarni A.A.Markov va A.Lyapunov tekshirishlarda ham ko’ramiz. Quyida A.Lyanovni shartini, yani Linberg shartini umumlashmasini keltiramiz. Lyapunov teoremasi. Agar (1) tasodifiy miqdorlar ketma ketligi ixtiyoriy { uchun Linberg shartini qanoatlantirsa, u xolda { da { uchun tekis ravishda 13 (4) bajariladi. 14 deb belgilasak, u holda (4) ifoda 15 (5) shaklga keladi. Shu (5) ifoda “markaziy limit teorema” deb yuritiladi. Agar (5) dagi taqsimot funkdiyalaridan birinchi tartibli xosila olsak, bu limitik teoremani “zichlik funksiyalari uchun” limitik teoremalar deb yuritiladi, yani 16 deb belgilasak 17 (6) zichlik funksiyalari uchun teorema bo’ladi. Bu teoremalar faqat tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari uzluksiz bo’lgan holler uchun o’rinlidir. Bu teoremalarning isbotlari [2] B.V.Gnedenko kitobida berilgan. (6) ifodaning berilishi { dagi limit teorema bo’lib, uning qoldiq hadini xisoblash masalasi, va tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan hollarni keltirib chiqarish, hamda zichlik funksiyalarni berish hollari mavjud bo’lib, bunday izlanishlar akademik Y.B.Proxorov [3] tomonidan hal etilgan O’zbekistonda birinchi bo’lib shunday ilmiy ishlar professor M.Mamatov tomonidan o’rganilgan va “qoldiq xadining” takomillashtirish, soddalashtirish masalalari o’rgatilgan. Lyapunov o’zining (4) natijalarni umumlashtirib quyidagi natijani ham olgan: 18 (7) bo’lsa, u xolda { da 19 ekanini isbotlang. Bu shartni Lyapunov sharti deyiladi. Zichlik funksiyalari uchun B.V.Gnedenko [2] ning teoremasini keltiramiz. Teorema. { da x ga nisbatan tekis ravishda 20 bo’lishi uchun, shunday { son mavjud bo’lishi kerakki { zichlik funksiya chegaralangan bo’lishi zarur va yetarlidir. Yuqoridagi zichlik funksiyalari uchun limitik teoremalarni tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar uchun limitik teoremalarga ham o’tkazish mumkun. Agar 21 bo’lsa, { butun sonlar va bu xolda 22 matematik, teoremaga o’tadi. Bundan { ikkita zichlik funksiyaning kompozitsiyasidan iborat bo’lib, bittasi normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi, ikkinchisi esa { ning xarakteristikasi bilan bog’liqdir. 23 munosabat, yani markaziy limit teoremaning juda ko’p ko’rinishlari mavjud, shularni keltirib o’tamiz: 1.Bir taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun. 2. Xar hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun. 3. Ko’p argumentli holatlar uchun. 4. Zichlik funksiyalar uchun. 5. Panjarasimon taqsimotlar uchun. 6. Qoldiq hadlarning baholari, tekis va tekismas baholar.(1,2,3,4,5 lar uchun) 7.Tasodifiy indeksli funksiyalar uchun. 8. Tarmoqlanuvchi protseslar uchun. 9. Tasodifiy jarayonlar uchun 10. Markov zanjirlari uchun (bog’liq holat) va hakozo. Misol. Zichlik funksiyani 24 ko’rinishda bo’lgan { tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyani toping. 25 Teorema. 1(A) shart bajarilmoqda va { quyidagi munosabat o’rinlidir. 26 Isboti.
Bu yerda 28 Demak, {
ekanini ko’rsatish kifoya. Buning isboti Y.B.Proxorov teoremasidan olinadi. Farqi shundan iboratki { tasodifiy miqdorning xarakteristikasi limitik funksiyada qo’shilib qoladi. Normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning, taqsimot funksiyasi 30 kabi belgilaymiz. 31 ifodani yani 32 (8) Ifodani limitini topishni ehtimollar nazariyasida taqsimot funksiyalar uchun limit teoremalar deb yuritiladi. (8) ifodadan olingan birinchi tartibli xosilani, “zichlik funksiyalar uchun limit teoremalar ” deyiladi. 33 (9) (8) va(9) ifodalardan tuzilgan 34 (10) va 35 (11) normal qonunga intilish aniqlangan. Ulardan olingan birinchi tartibli xosila, yani zichlik funksiyalari qaralganda 36 bo’lib ({ tasodifiy miqdorning dispersiyasi { , a uning matematik kutilmasi) uning grafigi 37 kabi bo’ladi. Nuqtalar o’rniga n ga bog’liq bo’lgan diskret nuqtalaridir, yani { esa uzluksiz simmetrik juft funksiyasi. Demak, 38 (*) aniqlash kerak. (*)ga mos bahoni { bergan: 39 { tasodifiy miqdorni uchunchi tartibli momenti 40 Tasodifiy funksiya mos zichlik funksiyasi { deymiz, yani 41 Y.B.Proxorov [3] ilmiy maqolasida (A) 42 Sharti bajarilganida { (B) 43 Ekanligini ko’rsatgan. M.Mamatov [i] esa (B) munosabatni qoldiq hadning bahosini aniqlashtirib topgan. Biz esa (B) munosabatni tasodifiy sonlarni tasodifiy qo’shiluvchisi uchun o’tkazmoqchimiz. 2.4. Zichlik funksiyasini tadbiqlari Yuqoridagi tushunchalarni tasodifiy sondagi tasodifiy miqdorlar zichlik funksiyalri uchun ham o’tkazish mumkun. O’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar uchun zichlik funksiyalari uchun limit teoremalar Y.B.Proxorov va M.Mamatov [1] lar tomonidan “local teoremalar” sifatida bayonlashgan. M.Mamatov, Y.B.Proxorovning zichlik funksiyalari uchun limit teoremalarni soddalashtirgan va yangi natijalar olgan. Y.B.Proxorov zichlik funksiyalari uchun limit teoremasi 44 Kabi limitik ifodalarga bag’ishlangan. Bunda 45 Normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning tasodifiy funksiyasidir. I.Nematov [4] ilmiy ishlarida (t) kabi natijalar tasodifiy sondagi tasodifiy qo’shiluvchilar zichlik funksiyalari o’tkazilgan. Bunda tasodifiy miqdorlar bir xil taqsimlangan va xar hil taqsimlangan hollar qaralgan. Quyida ana mavzudagi bazi olingan yangi natijalarni keltirib o’tamiz. Aytaylik 46 (12) tasodifiy miqdorlar ketma ketligi bir xil taqsimlangan bo’lsin. Yani 47 bir xil taqsimot funksiyaga ega bo’lsin. Bu tasodifiy miqdorning sonli harakteristikalari quyidagicha bo’lsin: { matemarik kutilmasi { dispersiyasi { uchinchi tartibli moment. { musbat qiymatlarni qabul qiluvchi (12) tasodifiy miqdorlar bilan bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar bo’lsin. Bu tasodifiy miqdorning harakteristikalarni quyidagicha kiritamiz. 48 Matematik kutilmasi 49 Dispersiyasi 50 Aytaylik, 51 (13) Yig’indi berilgan bo’lsin. (13) murakkab tasodifiy miqdor bo’lib, { diskret taqsimlangan tasodifiy miqdor , { lar uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lish mumkun. { butun sanovli qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdor. { va { lar o’zaro bog’liq bo’lmagan tasodifiy miqdorlar majmuasi tushuniladi. Tasodifiy sondagi tasodifiy miqdorlar zichlik funksiyalari uchun limit teoremalrni o’rganishning muhim tomoni shundan iboratki, 52 yig’indilar uchun olingan limit teoremalar va uning qoldiq hadini baholashda tengsizlikning o’ng tomonidagi ifoda qo’shiluvchilarning momentlari va doimiy sonlardan iborat bitta bahodan iborat. 53 yig’indi qaralsa, limit teorema va uning qoldiq hadining bahosi, ikkita yig’indidan iborat bo’lib, birinchi yig’indi asosan 54 tasodifiy miqdorlar momentlar bilan bog’liq ikkita esa { tasodifiy miqdorning momentlariga bog’liqdir, u holda 55 murakkab tasodifiy miqdor bo’lib, { disret taqsimlangan tasodifiy miqdorlar. { lar esa uzluksiz tasodifiy miqdorlardir. { ga intilganda { ning intilgan limiti 56 ({ moment kutilmasi, { dispersiya va { ha dispersiyadir) ko’rinishda bo’lib, { diskret qism va { uzluksiz qismning ko’rinishdir. Malumki diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning kompozitsiyasi uzluksiz tasodifiy miqdorni beradi. { taqsimot funksiyaga mos harakteristik funksiyaning ko’rinishi 57 bo’lib, isbotlash masalalarida { dan foydalaniladi. Unga mos zichlik funksiya 58 (*)
bo’ladi.
Normal qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi kelib chiqadi, hamda 61 kelib chiqadi. Yüklə 192 Kb. Dostları ilə paylaş:
|