Mavzu : To’la orttirma va to’la
differensial. To’la differensilaning
taqribiy hisobga tatbiqlari. Murakkab
va oshkormas funksiyaning hosilasi
Reja :
1.To’la orttirma va to’la differensial.
2.To’la differensilaning taqribiy hisobga
tatbiqlari.
3.Murakkab va oshkormas funksiyaning hosilasi
To’la orttirma va to’la differensial.
•
Ma’lumki, x va y o’zgaruvchilar mоs ravishda
оrttirmalar оlsa, funksiya
to’la оrttirma оladi. Bu to’la оrttirmaning
larga nisbatan chiziqli bo’lgan bоsh qismi
funksiyaning
to’la diffеrеnsiali
dеyiladi va dz bilan
bеlgilanadi. funksiyaning to’la diffеrеnsiali
(1)
fоrmula bilan hisоblanadi, bu еrda
y
va
x
)
,
(
y
x
f
z
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
x
f
z
y
va
x
)
,
(
y
x
f
z
dy
y
z
dx
x
z
dz
.
,
y
dy
x
dx
FUNKSIYANING TO’LA ORTTIRMASI VA
TO’LA DIFFERENSIYALI
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦
funksiya uzluksiz
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
xususiy
hosilalarga
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆
y+
𝛼
1
∆𝑥 + 𝛼
2
∆𝑦
va
d𝑧
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆
y bo’lib, cheksiz kichik
∆𝑥
,
∆
y lar uchun
∆𝑧
≈
𝑑𝑧
bo’ladi, shuningdek
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 ≈ 𝑓 𝑥, 𝑦 +
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
∆𝑥
+
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
∆𝑥
bo’ladi
Funksiyalarning to’la difirensiali topilsin
1)
𝑧 = 𝑥
2
𝑦; 2) 𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
3) 𝑧 = 𝑥
2
+ 𝑦
2
Yechish:
1)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦;
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝑥
2
shunda
𝑑𝑧 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 +
𝑥
2
𝑑𝑦
2)
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝑒
𝑠
𝑡
∙
1
𝑡
;
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑒
𝑠
𝑡
−
𝑠
𝑡
2
shunda
𝑑𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
1
𝑡
𝑑𝑠 −
𝑠
𝑡
2
𝑑𝑡
yoki
𝑑𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
𝑑𝑠 −
𝑠
𝑡
𝑑𝑡
3)
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=
2𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
shunda
𝑑𝑧 =
𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
Misol:
𝑧 = 𝑥𝑦 ∙ 𝑒
5𝑥
2
ni to’la ortirmasi
topilsin.
Yechim:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒
5𝑥
2
+ 𝑥𝑦 ∙ 10𝑥 ∙ 𝑒
5𝑥
2
=
= 𝑦𝑒
5𝑥
2
1 + 10𝑥
2
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒
5𝑥
2
Bunda:
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆𝑦 = 𝑦 1 + 10𝑥
2
𝑒
5𝑥
2
∆𝑥 +
𝑥𝑒
5𝑥
2
∆𝑦.
To’la differensilaning taqribiy hisobga
tatbiqlari.
To’la diffеrеnsialdan funksiyaning taqribiy qiymatlarini
hisоblashda fоydalanish mumkin, ya’ni yoki
bundan
(2)
Uch argumеntli funksiyaning to’la
diffеrеnsiali
(3)
fоrmula bilan hisоblanadi.
dz
z
,
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
dz
y
x
f
y
y
x
x
f
.
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
dy
z
dx
z
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x
z
y
x
F
u
,
,
dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
du
Misol:
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 1, 𝑦 = 3,
𝑑𝑥 = 0,01, 𝑑𝑦 = −0,05
𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖 𝑡𝑜
′
𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙𝑖𝑛𝑖 𝑡𝑜𝑝𝑖𝑛𝑔.
Yechish: 1- tartibli hususiy hosilalarni topamiz:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
1
1 +
𝑦
𝑥
2
∙ −
𝑦
𝑥
2
= −
𝑦
𝑥
2
+ 𝑦
2
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
1
1 +
𝑦
𝑥
2
∙
1
𝑥
=
𝑥
𝑥
2
+ 𝑦
2
Bu funksiyaning 1-tartibli to’la differensiali
quyidagicha bo’ladi:
𝑑𝑧 = −
𝑦𝑑𝑥
𝑒
2
+𝑦
2
+
𝑥𝑑𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
,
𝑑𝑧 =
1∙ −0,05 −3∙0,01
1
2
+3
2
= −
0,08
10
=-0,08
Murakkab va oshkormas funksiyaning
hosilasi
Z=f (u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) x va Δx ortirma bo’lsa,
u va v funksiyalar xususiy ortirma
deyiladi.
v
va
u
x
x
y
v
v
F
y
u
u
F
y
z
x
v
v
F
x
u
u
F
x
z
Misol: Agar
𝑧 = 𝑥
2
+ 𝑦
2
funksiyada
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡
va
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡
bo’lganda
𝑑𝑧
𝑑𝑡
topilsin.
Yechim:
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
2𝑥
2 𝑥
2
+𝑦
2
∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡 +=
2𝑦
2 𝑥
2
+𝑦
2
∙ − sin 𝑡 ,
yoki
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
sin 𝑡 cos 𝑡 −sin 𝑡 cos 𝑡
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡+𝑐𝑜𝑠
2
𝑡
=
0
1
= 0
Misol: Agar
𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑦𝑒
2𝑥
= 0
bo’lsa
𝑑𝑦
𝑑𝑥
topilsin.
Yechim:
𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑦𝑒
2𝑥 ′
= 0
Aniqmas funksiyadan kelib chiqib:
1 ∙ 𝑒
2𝑦
+
𝑥 ∙ 𝑒
2𝑦
∙ 2𝑦
′
− 𝑦
′𝑒
2𝑥
− 2𝑦𝑒
2𝑠
= 0
𝑦
′
2𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑒
2𝑥
= 2𝑦𝑒
2𝑥
− 𝑒
2𝑦
bunda
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
′
=
2𝑦𝑒
2𝑥
−𝑒
2𝑦
2𝑥𝑒
2𝑦
−𝑒
2𝑥
Misol:
𝑧 = 𝑒
𝑥
𝑦
;
ni
𝑦 =
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑧
𝜕𝑥
da tengligi isbotlansin
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒
𝑥
𝑦
∙
1
𝑦
;
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥
𝑦
2
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
−
1
𝑦
2
𝑒
𝑥
𝑦
+
1
𝑦
∙ 𝑒
𝑥
𝑦
∙ −
𝑥
𝑦
2
=
𝑒
𝑥
𝑦
−
1
𝑦
2
−
𝑥
𝑦
3
=
=
𝑒
𝑥
𝑦
−𝑦−𝑥
𝑦
3
;
Shunda
𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥+𝑦
𝑦
3
= 𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥
𝑦
2
−
1
𝑦
=
𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥+𝑦
𝑦
2
ga tengligi isbotlandi.
Dostları ilə paylaş: |