22.37guruh talabsi Ravshanbekov Salohiddin
Mavzu: Ikkita tekislik parallelligi va perpendikulyarlik shartlari.Nuqtadan Reja: Ikki tekislik to‘g‘ri chiziq orqali kesish Chiziqlar parallelligi
1. Aytaylik, Dekart koordinatalar sistemasida ikkita П1 va П2 tekisliklar o'zlarining tenglamalari bilan berilgan bo'lsin:
П1 : A1x+B1 y + С1z + D1= 0 ( 1)
П2 : A2x +B2 y + С2z + D2= 0 (2 )
Bu ikki tekislik to‘g‘ri chiziq orqali kesishadi yoki ular o‘zaro parallel bo‘lib, umumiy nuqtaga ega emas yoki ustma-ust tushadi (51-tf, b, d chizma). Bu hollarning qaysi biri yuz berishini bilish uchun П1, П2 ga tegishli tenglamalar sistemasini tekshirish kerak (bu matritsalar yordamida tekshiriladi).
2. Aytaylik, Dekart koordinatalar sistemasida uchta tekislik
o‘zining tenglamalari bilan berilgan boisin:
П1 : A1x +B1 y + С1z + D1= 0 ( 3)
П2 : A2x +B2 y + С2z + D2= 0 (4)
П3 : A3x+–B3 y + С3z + D3= 0 (5)
Bu uchta tekislikning fazoda o‘zaro joylashuvida 8 ta hol ro‘y berishi mumkin (52-chizma
Parallel Chiziqlar, Parallel Chiziqlarning Belgilari Va Shartlari
1. Agar ikkita chiziq uchinchi qatorga parallel bo'lsa, ular parallel:
2. Agarikkita chiziq uchinchi qatorga perpendikulyar bo'lsa, ular parallel:
Parallel chiziqlarning qolgan belgilari ikkita chiziq uchinchisini kesishganda hosil bo'lgan burchaklarga asoslanadi.
3. Agar ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ° bo'lsa, chiziqlar parallel:
4. Agar tegishli burchaklar teng bo'lsa, chiziqlar parallel bo'ladi:
5. Agar o'zaro kesishgan ichki burchaklar teng bo'lsa, chiziqlar parallel bo'ladi:
Parallel chiziqlarning xususiyatlari
Parallel chiziqlarning belgilariga teskari ko'rsatmalar ularning xususiyatlari. Ular uchinchi chiziqning ikkita parallel chizig'ining kesishishi natijasida hosil bo'lgan burchaklarning xususiyatlariga asoslanadi.
1. Uchinchi to'g'ri chiziqning ikkita parallel tekisligining kesishishida, ular tomonidan hosil qilingan ichki bir tomonlama burchaklarning yig'indisi 180 ° ga teng:
2. Uchinchi chiziqning ikkita parallel chiziqlari kesishganida, ular tomonidan hosil qilingan mos keladigan burchaklar quyidagicha tengdir
3. Uchinchi chiziqning ikkita parallel chiziqlari kesishganida, ular tomonidan o'zaro qarama-qarshi shakllangan burchaklar quyidagicha tengdir:
Quyidagi mulk har bir oldingi uchun alohida holat:
4. Agar tekislikdagi chiziq ikkita parallel chiziqning biriga perpendikulyar bo'lsa, u boshqasiga perpendikulyar bo'ladi:
Beshinchi xususiyat - bu parallel chiziqlar aksiomasi:
5. Ushbu chiziqda yotmagan nuqta orqali siz shu chiziqqa parallel ravishda faqat bitta chiziq chizishingiz mumkin:
Parallel chiziqlar - asosiy ma'lumotlar.
Avvalo maqolalarda berilgan tekis chiziqlar va kosmosdagi to'g'ri chiziqlar bilan berilgan ta'riflarni eslaymiz.
Samolyotda ikkita chiziq chaqiriladi parallelagar ular umumiy fikrlarga ega bo'lmasa.
Uch o'lchovli kosmosda ikkita chiziq deyiladi parallelagar ular bitta tekislikda yotsa va umumiy fikrlar bo'lmasa.
E'tibor bering, kosmosdagi parallel chiziqlarni aniqlashda "agar ular bir tekislikda bo'lsa" bandi juda muhimdir. Keling, bu fikrga aniqlik kiritamiz: uch o'lchovli kosmosda umumiy nuqta bo'lmagan va bir tekislikda yotmaydigan ikkita chiziq parallel emas, balki kesishadi.
Parallel chiziqlarning ba'zi misollari. Daftar varag'ining qarama-qarshi qirralari parallel chiziqlar bo'ylab yotadi. Uyning devorining tekisligi ship va zaminning tekisliklari bilan kesishgan to'g'ri chiziqlar parallel. Yassi erlardagi temir yo'l relslari parallel chiziqlar sifatida ham ko'rib chiqilishi mumkin.
Parallel chiziqlarni ko'rsatish uchun "" belgisini ishlating. Ya'ni, agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, unda b ni qisqacha yozish mumkin.
Eslatma: agar a va b chiziqlar parallel bo'lsa, u holda a chiziq b chizig'iga parallel, shuningdek b chiziq a chizig'iga parallel deb aytishimiz mumkin.
Samolyotda parallel chiziqlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydigan bayonot beraylik: berilgan chiziqda yotmaydigan nuqta orqali shu chiziqqa parallel ravishda bitta chiziq o'tadi. Ushbu bayon haqiqat sifatida qabul qilinadi (uni planimetriyaning ma'lum aksiomalari asosida isbotlab bo'lmaydi) va u parallel chiziqlar aksiomasi deb ataladi.
Kosmosdagi holat uchun quyidagi teorema mavjud: kosmosda berilgan chiziqda yotmaydigan har qanday nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel ravishda yagona chiziq o'tadi. Ushbu teorema yuqoridagi parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlikcha isbotlangan (siz buni isbotini 10-11 sinf geometriya darsligida topishingiz mumkin, u maqolaning oxirida havolalar ro'yxatida ko'rsatilgan).
Kosmosdagi holat uchun quyidagi teorema mavjud: kosmosda berilgan chiziqda yotmaydigan har qanday nuqta orqali berilgan chiziqqa parallel ravishda yagona chiziq o'tadi. Ushbu teorema yuqoridagi parallel chiziqlar aksiomasi yordamida osonlikcha isbotlangan.
Chiziqlar parallelligi - parallelizmning belgilari va shartlari.
Parallel chiziqlar belgisi parallel chiziqlar uchun etarli shart, ya'ni bajarilishi parallel chiziqlarni kafolatlaydigan shart. Boshqacha qilib aytganda, ushbu shartning bajarilishi chiziqlar parallel ekanligini tasdiqlash uchun etarli.
Samolyotda va uch o'lchovli kosmosda chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli sharoitlar mavjud.
Keling, "parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart" degan iboraning ma'nosini tushuntirib beramiz.
Parallel chiziqlar uchun etarli shart bilan biz allaqachon tushunib etdik. Ammo "parallel chiziqlar uchun zarur shart" nima? "Kerakli" nomi bilan bu shartning bajarilishi parallel chiziqlar uchun zarurligi aniq. Boshqacha qilib aytganda, agar chiziqlar parallelligi uchun zarur shart bajarilmasa, unda chiziqlar parallel bo'lmaydi. Shunday qilib, parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shart Bu parallel chiziqlar uchun zarur va etarli bo'lgan shartdir. Ya'ni, bir tomondan, bu parallel chiziqlar belgisidir, boshqa tomondan, bu parallel chiziqlar ega bo'lgan xususiyatdir.
Parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartni shakllantirishdan oldin, bir nechta yordamchi ta'riflarni esga olish tavsiya etiladi.
Xavfsiz chiziq Berilgan ikkita mos kelmaydigan chiziqlarning har birini kesadigan chiziq.
Ikki tekis kesilgan kesishishda sakkizta rivojlanmagan burchak hosil bo'ladi. Parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartni shakllantirishda, deyiladi tegishli xoch va bir tomonlama burchaklar. Ularni rasmda ko'rsating
Agar tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziqlar kesuvchi bilan kesishgan bo'lsa, unda ularning parallelligi uchun yotgan burchaklarning teng bo'lishi yoki mos keladigan burchaklarning tengligi yoki bir tomonli burchaklarning yig'indisi 180 darajaga teng bo'lishi zarur va etarli.
Samolyotda parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartni grafik rasmini ko'satamiz.
Ushbu parallel chiziqlar shartlarining dalillarini 7 - 9-sinflar uchun geometriya darsliklarida topishingiz mumkin.
E'tibor bering, ushbu shartlar uch o'lchovli kosmosda ham qo'llanilishi mumkin - asosiysi, ikkita chiziq va sekant bir xil tekislikda yotadi.
Biz parallel chiziqlarni isbotlashda ishlatiladigan yana bir nechta teoremalarni beramiz.
Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi. Ushbu xususiyatning isboti parallel chiziqlar aksiomasidan kelib chiqadi.
Uch o'lchovli kosmosda parallel chiziqlar uchun shunga o'xshash holat mavjud.
Agar kosmosdagi ikkita chiziq uchinchi qatorga parallel bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi. Ushbu xususiyatning isboti 10-sinfda geometriya darslarida ko'rib chiqiladi.
Ovozli teoremalarni tasvirlaymiz.
Samolyotda chiziqlar parallelligini isbotlashga imkon beradigan yana bir teorema beramiz.
Agar tekislikdagi ikkita chiziq uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular parallel bo'ladi.
Kosmosdagi chiziqlar uchun shunga o'xshash teorema mavjud.
Agar uch o'lchovli fazoda ikkita chiziq bitta tekislikka perpendikulyar bo'lsa, u holda ular parallel bo'ladi.
Biz ushbu teoremalarga mos keladigan raqamlarni ifodalaymiz.
Yuqorida keltirilgan barcha teoremalar, xususiyatlar va zarur va etarli shartlar chiziqlarning parallelligini geometrik usullar bilan isbotlash uchun juda mos keladi. Ya'ni, berilgan ikkita chiziqning parallelligini isbotlash uchun ularning uchinchi qatorga parallel ekanligini ko'rsatish yoki yotgan burchaklarning tengligini ko'rsatish kerak va hokazo. Shunga o'xshash ko'plab muammolar o'rta maktabdagi geometriya darslarida hal qilinadi. Ammo shuni ta'kidlash kerakki, ko'p holatlarda tekislik yoki uch o'lchovli fazoda chiziqlarning parallelligini isbotlash uchun koordinata usulidan foydalanish qulay. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida ko'rsatilgan chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shartlarni tuzamiz.
To'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqlar parallelligi.
Agar tekislikda to'rtburchaklar Kartezian koordinatalari tizimi ko'rsatilgan bo'lsa, unda bu koordinata tizimidagi to'g'ri chiziq qandaydir tekislikdagi chiziq tenglamasi bilan aniqlanadi. Xuddi shunday, uch o'lchovli kosmosdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi to'g'ri chiziq kosmosdagi to'g'ri chiziqning ba'zi tenglamalarini aniqlaydi.
Maqolaning ushbu bandida biz xulosa qilamiz parallel chiziqlar uchun zarur va etarli shartlar to'rtburchaklar koordinatalar tizimida, bu chiziqlarni aniqlaydigan tenglamalar turiga qarab, shuningdek, odatda muammolarni batafsil echimini beradi.
Biz Oxy to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikda ikkita chiziqning parallelligi holatidan boshlaymiz. Uning isboti asosi chiziqning yo'naltiruvchi vektorini va tekislikdagi chiziqning normal vektorini aniqlashdir.
Tekislikdagi ikkita bir-biriga mos kelmaydigan chiziqlarning parallelligi uchun bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari bir-biriga to'g'ri keladi yoki bu chiziqlarning normal vektorlari bir-biriga to'g'ri keladi yoki bitta chiziqning yo'naltirilgan vektori ikkinchi chiziqning normal vektoriga perpendikulyar bo'lishi kerak.
Shubhasiz, tekislikda ikkita to'g'ri chiziqning parallelligi holati ikki vektorning (to'g'ri chiziqlarning yoki normal tekis vektorlarning yo'naltiruvchi vektorlari) kollinearlik holatiga yoki ikkita vektorning perpendikulyar holatiga (bitta to'g'ri chiziqning vektori va ikkinchi to'g'ri chiziqning normal vektori) pasayadi. Shunday qilib, agar a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa va a va b chiziqlarning normal vektorlari bo'lsa, mos ravishda a va b chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shart yoki, yoki, bu erda t - haqiqiy son sifatida yoziladi. O'z navbatida, yo'nalishlarning koordinatalari va (yoki) a va b chiziqlarning normal vektorlari chiziqlarning ma'lum tenglamalaridan topiladi.
Xususan, agar tekislikdagi Oxy to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi a to'g'ri chiziq to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini va b to'g'ri chizig'ini b - aniqlasa, u holda bu to'g'ri chiziqlarning normal vektorlari koordinatalarga ega va shunga mos ravishda a va b to'g'ri chiziqlar uchun parallellik holati yozilishi mumkin.
Agar to'g'ri chiziq a shaklining burchak koeffitsienti bilan to'g'ri chiziqning tenglamasiga va b to'g'ri chiziqning tenglamasiga to'g'ri kelsa, u holda bu to'g'ri chiziqlarning normal vektorlari koordinatalariga ega va bu to'g'ri chiziqlar uchun parallel holat shaklni oladi. Shuning uchun, agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekisliklar parallel bo'lsa va burchak koeffitsientlari bilan chiziqlar tenglamalari bilan aniqlansa, chiziqlarning burchak koeffitsientlari teng bo'ladi. Va aksincha: agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi mos kelmaydigan chiziqlar teng burchak koeffitsientlari bilan chiziq tenglamalari bilan aniqlanishi mumkin bo'lsa, unda bunday chiziqlar parallel bo'ladi.
Agar to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi a va b chiziq ko'rinish tekisligidagi chiziqning kanonik tenglamalarini va yoki nuqta tekisligidagi chiziqning parametrik tenglamalarini aniqlasa va mos ravishda, bu chiziqlarning yo'nalish vektorlari koordinatalariga ega va a va b chiziqlarning parallelligi sharti sifatida yoziladi.
Keling, bir nechta misollarning echimini ko'rib chiqaylik.
Chiziqlar va parallel?
Chiziq tenglamasini chiziqning umumiy tenglamasi sifatida segmentlarga yozamiz:. Endi biz bu chiziqning normal vektori va chiziqning normal vektori ekanligini ko'rmoqdamiz. Ushbu vektorlar bir-biriga to'g'ri kelmaydi, chunki tenglik () uchun haqiqiy bo'lgan t soni yo'q. Shu sababli, tekislikdagi chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shart bajarilmaydi, shuning uchun berilgan chiziqlar parallel emas.
yo'q, chiziqlar parallel emas.
Ular tekis va parallelmi?
Biz chiziqning kanonik tenglamasini burchak koeffitsienti bilan chiziq tenglamasiga keltiramiz:. Shubhasiz, chiziqlarning tenglamalari bir xil emas (bu holda berilgan chiziqlar bir xil bo'ladi) va chiziqlarning burchak koeffitsientlari tengdir, shuning uchun asl chiziqlar parallel bo'ladi.
Ikkinchi usul.
Birinchidan, biz asl chiziqlar bir-biriga mos kelmasligini ko'rsatamiz: chiziqda biron bir nuqtani oling, masalan (0, 1), bu nuqtaning koordinatalari chiziq tenglamasini qoniqtirmaydi, shuning uchun chiziqlar bir-biriga mos kelmaydi. Endi biz ushbu chiziqlar uchun parallel shart qoniqtirilganligini tekshiramiz. Normal chiziq vektori vektor, va chiziqning yo'naltiruvchi vektori - vektor. Biz vektorlarning skalyar mahsulotini hisoblaymiz va:. Demak, vektorlar va perpendikulyar, bu berilgan chiziqlarning parallelligi uchun zarur va etarli shart bajarilganligini anglatadi. Shunday qilib, chiziqlar parallel.
berilgan chiziqlar parallel.
Uch o'lchovli fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqlar parallelligini isbotlash uchun quyidagi zarur va etarli shart qo'llaniladi.
Uch o'lchovli fazoda mos kelmaydigan chiziqlarning parallelligi uchun ularning yo'naltiruvchi vektorlari bir-biriga to'g'ri kelishi zarur va etarli.
Shunday qilib, agar uch o'lchovli kosmosdagi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi chiziqlarning tenglamalari ma'lum bo'lsa va siz ushbu chiziqlar parallel yoki yo'qmi degan savolga javob berishingiz kerak bo'lsa, unda siz ushbu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining koordinatalarini topishingiz va yo'nalish vektorlarining o'zaro yaqinlik holatini qondirishingizni tekshirishingiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, agar a va b chiziqlarning yo'nalish vektorlari bo'lsa, a va b chiziqlarning parallelligi uchun u haqiqiy bo'lgan t haqiqiy son mavjudligi zarur va etarli.
Biz misolni echishda kosmosdagi parallel chiziqlar holatini ko'rib chiqamiz.
Chiziqlar parallelligini isbotlang va.
Ko'rish maydonida chiziqning kanonik tenglamalari va ko'rish maydonidagi chiziqning parametrik tenglamalari berilgan. Yo'nalish vektorlari va berilgan chiziqlar koordinata va. O'shandan beri. Shunday qilib, kosmosda ikkita chiziqning parallelligi uchun zarur va etarli shart bajarildi.
1 ) uchta tekislik bitta umumiy miqtaga ega;
2 ) tekishklar juft-juft kesishadi, ammo umumiy nuqtaga ega emas;
3) uchta tekislik bitta to'g'ri chiziq bo'yicha kesishadi;
4) ikkita tekislik o'zaro parallel bo'lib, uchinchi tekislik ularni kesadi;
5) uchta tekislik o'zaro parallel joylashgan bo'ladi;
6 ) ikkita tekislik ustma-ust tushadi va uchinchi tekislik ularni kesadi;
7) ikkita tekislik ustma-ust tushadi va uchinchi tekislik ularga parallel bo'ladi;
8 ) uchta tekislik ham ustma-ust tushadi.
Bu hollardan qaysi biri yuz berishini bilish uchun П1 П2, П3 ga tegishli tenglamalar sistemasini tekshirish kerak (bu ham matritsalar yordamida tekshiriladi).
Misol : 2x + у = 5, x + Зz = 16 va 5y - z = 10 tekisliklarning kesishmasini aniqlang.
Ye c h i s h . Bu tekisliklarning kesishmasini aniqlash uchun quyidagi sistemaning yechimini aniqlaymiz:
2x + y = 5,
x + Зz = 16,
5y - z = 1 0 .
Bu sistemalar uchun quyidagi determinantlarni tuzamiz va ularni hisoblaymiz;
2 1 0 0 3 1 3
Δ= 1 0 3 =2 - = -30+1= -29
0 5 -1 5 -1 0 -1
5 1 0 0 3 16 3
Δx= 16 0 3 =5 - = -75+46 = -29
10 5 -1 5 -1 10 -1
X= Δx / Δ = -29 / -29 =
2 5 0 16 3 1 5
Δy = 1 1 6 -1 = 2 - 5 = - 92 + 5 = - 87
0 10 -1 10 -1 0 -1
Y = Δy / Δ = - 87 / - 29 = 3
2 1 5 0 16 1 5
Δz = 1 0 16 =2 - = - 160 + 15 = - 145
0 5 10 5 10 5 10
Z = Δz / Δ = -145/ - 29 =
.
Demak, tekisliklar (1; 3; 5) nuqtada kesishadi.
2. IKKI TEKISLIK ORASIDAGI BURCHAK
Fazoda Dekart koordinatalar sistemasida kesishuvchi ikki tekislik o‘zining tenglamalari bilan berilgan bo‘lsln:
П1 : A1x –B1 y + С1z + D1= 0 ( 1)
П2 : A2x –B2 y + С2z + D2= 0 (2 )
Ikki tekislik kesishganda to‘rtta ikki yoqli burchak hosil bo‘lib, ulardan o'zaro vertikal bo'lganlari teng (53-chizma). Demak, ikkita har xil burchak hosil bo'lib, bularning biri ikkinchisini to'ldiradi. Shuning uchun shu ikki burchakdan birini topsak yetarli. Ikki yoqli
bu ikki burchakdan birining chiziqli burchagi berilgan tekislikning n1 ={А1; B1; C1} va
n2 = {A2, B2, C2} normal vektorlari orasidagi burchakka teng bo'ladi.n1 va n2 orasidagi burchakni φ desak,
cos φ =cos(n1 * n2 ) = (n1 * n2 )/ (| n1| *| n2| ) (3)
formuladan xususiy holda ikkita tekislikning
perpendikularlik sharti kelib chiqadi,
ya’ni n1 * n2 = 0 , y a ’ni
A1A2 + B1B2 + C1C2= 0.
Ushbu П2
A1 B1 C1
= =
A2 B2 C2
n2
yoki : A1: B1: C1 = A2:B2: C2 : (4 ) n1
tengliklar esa ikki tekislikning parallellik
shartlarini ifodalaydi. П1
M i s o l. Berilgan ikki 2 x + 3 y - z +2=0
va x + y + 5 z - 1 = 0
tekisliklar orasidagi burchakni toping.
Ye c h i s h . Ikki tekislik orasidagi burchak
A1A2 + B1B2 + C1C2
cosφ=
√ A12+ B12+ C12 *√ A22+B22+ C22
formula yordamida aniqlanadi. Berilgan tekislikiarda
A1 = 2 , B1=3, C1= -1 va A2=1, B2=1 C2=5
Demak,
2*1 +3*1 + (-1)*5 2+3-5 0
cosφ= = = = 0
√ 22+32+(-1)2 *√ 12+12+ 52 √4+9+1*√1+1+25 √14*√27
cosφ= 0 ; φ =π / 2
Demak, berilgan ikki tekislik o‘zaro perpendicular
Foydalanilgan adabiyotlar:
A.Sattorov «Informatika va axborot texnologiyalari». -Toshkent. «O`qituvchi» nashriyoti. 2003.
Axborot tizimlari va texnologiyalari: Oliy o’quv yurtlari talabalari uchun darslik //Mualliflar jamoasi: S.S.G'ulomov, R.X.Alimov, X.S.Lutfullaev va boshqalar - Toshkent.: «Sharq». 2000.
O’zbekiston Respublikasi «Kadrlar tayyorlash milliy dasturi». -T.: Sharq, 1997.
Dostları ilə paylaş: |
