|
Universitetsförberedande matematik 50p
|
Pythagoreiska tripplar
-
Vad säger Pythagoras sats?
-
Kan du bevisa den?
-
Hur vet man att den ”egyptiska” triangeln med sidor 3, 4, 5 är rätvinklig?
-
Det följer att trianglarna med sidor 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12, 16, 20; 15, 20, 25 osv är rätvinkliga men det innebär inget egentligt nytt. Några andra rätvinkliga trianglar med heltalssidor är däremot 5, 12, 13 och 8, 15, 17. Alla taltripplar (heltal) som anger sidorna i en rätvinklig triangel kallas Pythagoreiska. Visa att om s och t är positiva heltal med s > t så är s2-t2, 2st, s2+t2 en Pythagoreisk trippel.
-
En Pythagoreisk trippel a, b, c kallas primitiv om den största gemensamma delaren till a, b, c är 1. Visa att i en primitiv trippel är c udda.
-
Visa att i en pythagoreisk trippel är en katet delbar med 3, en katet delbar med 4 och en sida delbar med 5.
-
Vad krävs av s och t för att s2-t2, 2st, s2+t2 skall vara primitiv? (Gör en tabell med olika par (s, t) och försök se).
-
Visa att om a, b, c är en primitiv trippel med a udda så finns s, t så att a = s2-t2, b = 2st, c = s2+t2 .
-
Visa Fermats stora sats för exponenten 4:
Det finns inte positiva heltal x, y och z sådana att .
Den allmänna Fermats stora sats säger att för finns inte positiva heltal x, y och z så att vilket formulerades av Fermat 1637 i en berömd marginalanteckning och bevisades 1994 av Andrew Wiles sedan han lyckats modifiera det ofullständiga bevis han publicerade 1993 efter 7 års arbete i hemlighet.
Dostları ilə paylaş: |