Nota 8 risoluzione dell'equazione di laplace: funzione di green



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Anno Accad. 2003/2004 II anno :Corso di Laurea in Ing. Elettrica– Nuovo Ordinamento

Corso di



Principi di Ingegneria Elettrica

(prof.G.Lupò)


Nota integrativa n.12 – Risoluzione dell’equazione di Poisson – Funzione di Green

Il problema di Poisson al finito con assegnate condizioni sulla frontiera di un dominio tridimensionale D omogeneo può essere ricondotto ad un probema di Laplace considerando la soluzione nello spazio libero VL a partire dai valori assunti dal laplaciano all'interno del dominio



.

Alla soluzione nello spazio libero andrà sommata la soluzione di una equazione di Laplace con condizioni al contorno pari alla differenza tra i valori assegnati ed i valori assunti dalla soluzione nello spazio libero in corrispondenza dei punti del contorno (fig.1).



fig.1
Consideriamo ora la funzione GD (P,Q) che descriva la soluzione in termine di potenziale elettrico, assegnato nullo sulla frontiera, in ogni punto P interno al dominio D, individuando come sorgente una sola carica puntiforme in Q, di valore q=1C.


Il laplaciano di tale funzione in D potrà essere presentato come

dove d(P-Q) rappresenta la funzione impulsiva unitaria centrata in Q, nulla per P¹Q; per ogni volume Dt contenente Q, si ha inoltre



Avremo allora



Infatti, il laplaciano in un punto è pari alla densità di carica r in quel punto, divisa per e.


La funzione GD (P,Q), detta funzione di Green, è quindi la soluzione in termini di potenziale di un particolare problema di Poisson: sorgente puntiforme in un punto (generico) Q, di valore q=1 e potenziale nullo sul contorno di D.

Incidentalmente, i valori della derivata normale sul contorno di D di GD devono, per il teorema della divergenza, soddisfare la condizione:



essendo S la frontiera di D.


La conoscenza della funzione di Green, in particolare i valori della derivata normale sulla frontiera, permette di risolvere un qualsiasi problema di Laplace

2V=0) con valori del potenziale V assegnati sulla frontiera (problema di Dirichlet). Infatti, applicando a GD ed a V l'identità di Green, si ha




essendo GD nulla sulla frontiera. Poichè il laplaciano di GD(P,Q) è nullo dappertutto tranne in Q e V è una funzione regolare nell'intorno di Q1, sarà

e, di conseguenza,




Il valore del potenziale in un punto generico Q interno a D si otterrà pesando sulla frontiera i valori assegnati del potenziali con i valori della derivata normale della funzione di Green sulla frontiera, con sorgente in Q.
Resta ovviamente aperto il problema della determinazione della funzione di Green, risolto analiticamente nel caso di domini con particolari geometrie. In generale, si dovrà ricorrere a tecniche numeriche.


1Occorre considerare che anche GD è integrabile in ogni intorno limitato di Q.

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