Povijest matematike, predavanje fmb 10 Zlatni rez

Povijest matematike, 2. predavanje ©FMB 10

Zlatni rez

Kutevi u poligonima

Platonova tijela

Zenon iz Eleje (490-425)

Platon (427-347)

Teodor iz Kirene (465-398)

Aristotel (384 – 322)

• svaka matematička tvrdnja je ili istinita ili lažna

• promatra isključivo konkretne objekte: pravac nije beskonačan jer iako ga možemo nacrtati po volji dugog, nije ga moguće realizirati kao beskonačnog

Tri klasična problema

Konstrukcije ravnalom i šestarom

“Racionalne” operacije

Problem udvostručenja kocke (delijski problem)

Problem kvadrature kruga

Hipokratovi mjeseci

Hipijina kvadratisa

Problem trisekcije kuta

O nemogućnosti rješenja tri klasična problema

Duplikacija kocke brida a

• Duplikacija kocke brida a

• Trisekcija kuta od 60°

• Konstrukcija pravilnog sedmerokuta

Doba helenizma

• početak:

• Aleksandar Veliki: osvajanja izvan Grčke 332.-323. g.pr.Kr.

• kraj: oko prijelaza era

• nakon smrti A.V. Grčka se raspada na više zemalja

• glavni znanstveni centar: Aleksandrija (331) – u nju je A.V. naselio Grke, Egipćane i Židove

• nakon Aleksandrove smrti Aleksandrija postaje glavni grad egipatskog kraljevstva (Ptolomej I)

Aleksandrija

• više od 600 godina

• znanstveni centar

• museion = univerzitet + biblioteka

• u museionu rade svi najveći znanstvenici helenizma

• 700000 manuskripata

• procvat egzaktnih znanosti, osobito matematike

• prvi “pročelnik” za matematiku: Euklid

Euklid (330 – 275)

• malo se zna o njegovu životu

• djela o matematici, optici, glazbi i astronomiji

• glavno djelo: Elementi (EE) – Stoichea

• sinteza sve dotad poznate matematike u 13 knjiga

• 2.st.n.e. Hipsikl dodaje EE XIV, 6.st.n.e. Izidor iz Mileta dodaje EE XV

• Data – vrsta repetitorija i djelomično upotpunjenje EE (izgubljeno)

• Porizmi – primjena EE sa samostalnim značenjem

Euklidovi elementi

• 23 definicije, 5 aksioma i 5 postulata

• definicije, aksiomi, postulati  teoremi (svaki teorem slijedi isključivo iz već dokazanih ili iz osnovnih tvrdnji): utemeljen deduktivni pristup u matematici

• htio je izvesti svu matematiku iz malo osnovnih tvrdnji

• izvori: pitagorejci, osim za EE III i IV (Hipokrat s Hiosa), EE V i EE XII (Eudoks s Knida), EE X i EE XIII (Teetet)

Euklidovi postulati

• Dvije točke određuju dužinu.

• Dužina se može produžiti u oba smjera.

• Kružnica je zadana središtem i polumjerom.

• Svi pravi kutevi su jednaki.

• (Postulat o paralelama) Ako pravac siječe dva pravca tako da je zbroj kuteva s iste strane manji od dva prava kuta, onda se ta dva pravca (ako se dovoljno produže) sijeku.

Euklidovi aksiomi

• a = b & b = c  a = c

• a = c & b = d  a+b = c+d

• a = c & b = d  a-b = c-d

• Ono što se podudara je jednako.

• Cjelina je veća od dijela.

EE I – elementarna geometrija (48)

EE II – geometrijska algebra (14)

EE III – planimetrija kružnice i kruga (37)

EE IV – konstrukcije pravilnih poligona (16)

EE V – opća teorija omjera i razmjera (25)

• za istovrsne geometrijske veličine A, B, C, D vrijedi A:B=C:D ako za sve prirodne m,n vrijedi

• mA>nB  mC>nD
• mA=nB  mC=nD
• mA

• dvostruki omjer od A:B – omjer A:C t.d. A:B=B:C

• trostruki omjer od A:B - omjer A:D t.d. postoji C t.d. A:B=B:C=C:D

EE VI – primjena opće teorije omjera i razmjera na planimetriju (33)

• sličnost likova

EE VII – teorija brojeva (39)

• Euklidov algoritam

• prosti i složeni brojevi

• najmanji zajednički višekratnik

EE VIII – teorija brojeva (27)

• djeljivost i omjeri

EE X – klasifikacija kvadratnih iracionalnosti (117)

EE XI – opća steoreometrija (39)

• presjek dvije ravnine je pravac (3)

• pravci okomiti na istu ravninu su paralelni (6)

• ravnine okomite na isti pravac su paralelne (14)

• prostorni kut sadržan je u kutevima među ravninama čiji zbroj je manji od 4 prava kuta (21)

• parelelepipedi iste baze i visine su jednaki (31)

• omjer volumena paralelepipeda iste visine jednak je omjeru njihovih baza (32)

EE XII – primjena metode ekshaustije na stereometriju (18)

• površine krugova su proporcionalne kvadratima njihovih promjera (2)

• dva tetraedra su jednaka ako imaju iste baze i visine (5)

• trostrana prizma se može podijeliti na 3 piramide istog volumena  vol. piramide je 1/3 vol. prizme iste baze i visine (6,7)

• vol. stošca je 1/3 vol. valjka iste baze i visine (10)

• omjer vol. kugli je trostruki omjer njihovih promjera tj. vol kugle je proporc. kubu njena promjera (18)

EE XIII – teorija pravilnih poliedara (18)

• pravilni tetraedar: po 4 vrha, brida i strane, a:R=6 : 3

• kocka: 8 vrhova, 12 bridova, 6 strana, brida i strane, a:R=3 : 3

• pravilni oktaedar: 6 vrhova, 12 bridova, 8 strana, brida i strane, a:R=2 : 2

• dodekaedar: 20 vrhova, 30 bridova, 12 strana, a:R= (5 -1) : 23

• ikozaedar: 12 vrhova, 30 bridova, 20 strana, a:R=2 : (10+25)