Reproducción de la experiencia de Logaritmos a partir de la covariación de sucesiones

Reproducción de la experiencia de Logaritmos a partir de la covariación de sucesiones

Universidad de Santiago

Facultad de Ciencias

PLEMC

Alumnos: Juan Araya D.

Roberto Cabrera G.

Profesor: Héctor Silva C.

Introducción

Hemos visto con anterioridad como estudiar los logaritmos es un tema complejo, tanto para profesores como estudiantes. La forma abstracta en que se presenta el contenido, la desconexión entre su enseñanza y su uso, así como la manera poco intuitiva o natural con que se enseña, son barreras que limitan su aprendizaje. Incluso su nombre resulta algo intimidante, al grado que ha sido usado como referencia en publicidad para denotar algo complicado. A pesar de todo, se considera una herramienta de cálculo con un alto valor práctico, y su enseñanza es parte del currículum de la educación.

Para este proyecto, hemos tomado en cuenta algunos textos de Marcela Ferrari y Marisol Hernández referentes al tema, los cuales a su vez se basan en textos de Briggs y Napier. Nuestra intención es tomar estas bases y comparar los resultados, entendiendo siempre la diferencia entre la escala y profundidad de ambas investigaciones. Podríamos especificar que parte de nuestro marco referencial son las investigaciones “La Covariación Como Elemento de Resignificación de la Función Logaritmo” de Marcela Ferrari, “Los Logaritmos a Partir de la Covariación de Sucesiones” de Hernández y Ferrari, y “La Emergencia de los Logaritmos como Herramienta para Facilitar Cálculos”, de los mismos autores. Dada la carga asociada a estos trabajos, nuestro marco teórico será también el de la socioepistemología, según la visión de Cantoral y Ferrari reflejada en los documentos mencionados anteriormente. Asimismo, la metodología a emplear corresponde a la ingeniería didáctica, dado que hasta cierto punto intentamos reproducir el trabajo original.

Análisis Preliminar y a Priori

Como mencionamos anteriormente, en las investigaciones originales se consideran los elementos matemáticos a poner en juego en el diseño de situaciones. En nuestro caso particular, se revisan los hechos relacionados con el trabajo de Napier y Briggs para el trabajo de logaritmos. Específicamente, Napier decía que la relación entre cualquier progresión geométrica con una aritmética formaba un sistema logarítmico, esto siempre buscando trabajar los logaritmos como una herramienta facilitadora de cálculo. Por su parte, Briggs criticó las ideas de Napier argumentando que no siempre resultaban útiles para esos objetivos, aunque también hizo un gran aporte al proponer utilizar la base 10 y el par 1,0. Esto nos sirve como base para diseñar una secuencia matemática. Para esto hay tres fases o etapas:

1.- Manejo de patrones

2.- Utilización de propiedades

3.- Uso de patrones y propiedades

En la experiencia original, se tomó a tres estudiantes para realizar la actividad. En la primera fase, los estudiantes lograron identificar los patrones existentes en las progresiones. Luego de esto se trabajó con las propiedades de los logaritmos (la del producto y la del cociente) y los estudiantes lograron intuir que se relacionaban de alguna manera con los patrones encontrados en la fase previa. Finalmente, a pesar de haber intuido la relación de las propiedades con los patrones encontrados, los estudiantes no las utilizaron para resolver la actividad, por lo cual fue necesario que se les “recordara” lo realizado. En base a esto, se concluye que se logró el objetivo de la actividad, a pesar de que no se relacionaran ambas progresiones (aritmética y geométrica).

Esperamos por tanto que nuestros resultados sean similares, pues usaremos el mismo material de trabajo y estudiantes de nivel similar. No debería haber una gran diferencia, y es posible incluso que el progreso que logren nuestros sujetos sea ligeramente superior. Cabe destacar que, debido a circunstancias externas, la prueba se realizó con dos estudiantes, de forma separada, de carreras relacionadas a la biología y química. Sin embargo, ambas dieron respuestas similares.

Realización de la experiencia:

Cabe destacar que, debido a circunstancias externas, la experiencia fue realizada a dos estudiantes de forma separada, de Bioquímica y Biología Marina. Ambas estudiantes han tenido cursos de cálculo previamente.

Experiencia 1

Primera parte

Actividad 1: Se dispusieron las tarjetas de manera desordenada, y se le pidió a la estudiante que las ordenase. Intuitivamente las ordeno de manera ascendente, a pesar de que no se le dieron instrucciones. Cuando se le pregunto por qué las ordeno de esa manera, respondió que solo “seguía el patrón de las tarjetas”

Actividad 2: se le entregaron a la estudiante 6 fichas en blanco y un plumón, para que ella extendiera la secuencia. Cabe destacar que la extendió en ambos sentidos, aunque sin incluir valores negativos.

Actividad 3: Al entregarle, la secuencia con menos fichas (salteada) la estudiante no asumió que podría ser una nueva secuencia, sino que solo que debía completar las fichas faltantes de la secuencia anterior.

Segunda parte

Actividad 4.1: Se le entrego a la estudiante las fichas dispuestas de tal manera que multiplicara los valores superiores de las fichas, y que buscara la ficha resultante en las fichas disponibles. Esta parte se logró sin mayor dificultad.

Actividad 4.2: Cuando se le pregunto qué era lo que estaba ocurriendo con los números inferiores de las fichas, identifico inmediatamente que se estaban sumando entre sí.

Actividad 4.3: Al igual que en la actividad 4.1, se le entregaron las fichas, pero esta vez la estudiante debía escribir el resultado. Esta fase fue lograda exitosamente.

Actividad 5.1: En esta actividad, fue bastante similar a la actividad 4.1, con la diferencia de que debía dividir los números superiores. Esta actividad fue completada exitosamente.

Actividad 5.2: Al preguntarle que sucedía con los números inferiores de las fichas, identifico que estos se estaban restando.

Actividad 5.3: Al ser esta actividad similar a la actividad 4.3, se esperaba que fuese lograda sin mayor dificultad. En cambio, al pedirle que escribiese el resultado, no logró conectar lo realizado anteriormente con lo que debía hacer ahora, llegando a realizar “regla de 3”. Cuando noto que el resultado no tenía sentido, pudo identificar qué era lo que debía realizar, y la actividad pudo ser completada.

Tercera parte

Actividad 6.1: Al entregársele la nueva serie, la estudiante logro completarla, identificando la nueva secuencia.

Actividad 6.2: Al entregársele una ficha con el valor inferior solamente, logró completarla al identificar el patrón de la serie. En esta parte, se le entregaron varias fichas de la serie, y pudo completarlas sin problemas, aunque no lo hizo con lo realizado en la parte 2, sino que lo hizo utilizando las propiedades de las potencias. Cuando se le pidió que lo hiciese utilizando lo realizado en la parte anterior, pudo completar la actividad de manera más rápida.

Experiencia 2

Primera parte

Actividad 1: Se entregó las tarjetas revueltas, y se le pidió a la estudiante que las ordenase. Ella las ordeno de manera ascendente, al igual que el sujeto anterior. Cuando se le pregunto por qué las ordeno de esa manera, respondió “es el orden lógico”.

Actividad 2: Se le entregó a la estudiante 6 fichas en blanco y un plumón, para que extendiera la secuencia. Agregó una ficha a la izquierda y el resto a la derecha.

Actividad 3: Al entregarle, la secuencia con menos fichas (salteada) la estudiante asumió que debía reconstruir la secuencia anterior.

Segunda parte

Actividad 4.1: Se le entrego a la estudiante las fichas dispuestas de tal manera que multiplicara los valores superiores de las fichas, y que buscara la ficha resultante en las fichas disponibles, lo cual realizó sin errores.

Actividad 4.2: Cuando se le pregunto qué era lo que estaba ocurriendo con los números inferiores de las fichas, indicó que se estaban sumando entre sí.

Actividad 4.3: Al igual que en la actividad 4.1, se le entregaron las fichas, pero esta vez la estudiante debía escribir el resultado, lo cual también fue realizado sin problemas.

Actividad 5.1: En esta actividad, fue bastante similar a la actividad 4.1, con la diferencia de que debía dividir los números superiores, lo que se realizó sin inconvenientes.

Actividad 5.2: Al preguntarle que sucedía con los números inferiores de las fichas, indicó que se estaban restando.

Actividad 5.3: Al igual que en el caso anterior, la estudiante identificó la situación como un símil de la anterior, y la resolvió sin problemas.

Tercera parte

Actividad 6.1: Al entregar el nuevo set de fichas, las ordenó de mayor a menor y reconstruyó la pieza faltante sin problemas.

Actividad 6.2: Al entregársele una ficha adicional con el valor inferior, no tuvo problemas para identificar el patrón y agregarla a la serie. De igual forma, pudo extender con facilidad la serie con nuevas tarjetas.

Observaciones

Queremos volver a poner en consideración el contexto educativo de nuestros sujetos. Si bien trabajaron de forma independiente, lo similar de su formación se hace evidente al ver sus respuestas. Sin embargo, podemos notar algunas diferencias puntuales que resultan interesantes. Un ejemplo de esto, se dio en la actividad 5.2, donde solo una de las estudiantes asoció lo realizado anteriormente con este apartado.

Otra diferencia relevante, se dio en la última actividad, en la cual una de las estudiantes resolvió la actividad mediante los patrones encontrados en las actividades anteriores en contraste con la otra estudiante que realizo la actividad mediante propiedades de potencias.

Por otro lado, nuestros sujetos no tuvieron dudas al momento de resolver cada actividad. No se cuestionaron si existían otras formas de ordenar las fichas o si realmente existían otras maneras de resolver las actividades, solo fueron resolviendo las actividades siguiendo las instrucciones dadas por los observadores.

Las fases de manejo de patrones y de utilización de propiedades fueron completadas casi en su totalidad por las estudiantes, salvo en los casos que ya fueron explicitadas anteriormente.

Con respecto a la última fase, de uso de patrones y propiedades, fue lograda en forma efectiva por una de las estudiantes, la cual sí reconoció los patrones y utilizó las propiedades de las fichas. La otra estudiante, si bien logro realizar la actividad, la hizo sin utilizar las propiedades vistas en las actividades anteriores.

Ninguna de las estudiantes conectó lo realizado en las actividades con las propiedades de los logaritmos, sino que solo asumieron que eran propiedades locales de las tarjetas o de las potencias. Cuando se les explicó al finalizar la actividad que efectivamente esta estaba orientada a identificar los logaritmos y sus propiedades, ambas quedaron algo sorprendidas debido a que fue, según sus palabras, “lo último que se les habría pasado por la cabeza”.

Referencias

Ferrari, M. (2004). La covariación como elemento de resignificación de la función logaritmo. En L. Díaz (Ed.). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. (Vol. 17, Tomo I, pp. 45-50). México.

Ferrari, M. y Hernández, M. (2005) Los Logaritmos a Partir de la Covariación de Sucesiones. En Lezama, Javier; Sánchez, Mario; Molina, Juan Gabriel (Eds.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 531-536). México DF, México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.

Ferrari, M. y Hernández, M. (2007). La emergencia de los logaritmos como herramienta para facilitar cálculos. En Crespo, Cecilia Rita (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 507-512). Camagüey, Cuba: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.