SEMINARSKI RAD
-INDEKSI-
Profesor: Zagorka Lozanov-Crvenkovi
|
Studenti: Branka Marković
Jelena Ilkić
|
Novi Sad, 2011.
SADRŽAJ
1.VREMENSKI NIZOVI 3
1.1.Nastajanje vremenskih nizova 3
1.2.Analiza vremenskih nizova 4
2.POKAZATELJI DINAMIKE 5
3.INDEKSNI BROJEVI 6
3.1.Individualni indeksi 6
3.2.Grupni indeksi 11
3.2.1.Neponderisani grupni indeksi 12
3.2.2.Ponderisani grupni indeksi 14
4.PRIMENA INDEKSA 21
4.1.Akcijski indeksi 22
4.1.1.Indeksi ponderisani cenom 23
4.1.2.Indeksi ponderisani tržišnom vrednošću 27
1.VREMENSKI NIZOVI
1.1. Nastajanje vremenskih nizova
Polaznu osnovu analize neke pojave u vremenu čini statistički vremenski niz. Vremenski niz je skup hronološki uređenih veličina u određenom rasponu vremena.
Vrednosti koje čine niz zovu se frekvencije niza, a broj frekvencija predstavlja dužinu niza.
S obzirom na vreme opažanja vrednosti pojave postoje dve vrste vremenskog niza:
1. intervalni vremenski niz
2. trenutni vremenski niz.
Kod intervalnog vremenskog niza vrednost pojave meri se u vremenskom intervalu. Do frekvencija intervalnog niza dolazi se sabiranjem vrednosti pojave (jedinica skupa) po odabranim osnovnim intervalima vremena.
Na primer, posmatra se proizvodnja čelika u Srbiji, a jedinični (osnovni) interval je jedna godina. Tada frekvencija jedne godine predstavlja ukupnu godišnju proizvodnju čelika. Ta frekvencija nastaje sabiranjem proizvodnje u toku celog godišnjeg razdoblja.
Sabirati frekvencije intervalnog vremenskog niza ima smisla, a veličine dobijene sabiranjem frekvencija imaju konkretno značenje. Vremenski intervalni nizovi imaju, prema tome, osobinu kumulativnosti.
Kod trenutnog vremenskog niza vrednost pojave meri se u trenutku vremena, tako da vremenski niz predstavlja skup hronološki uređenih veličina koje odražavaju nivo pojave u određenim trenucima vremena. Frekvencije ne nastaju sabiranjem pojava (jedinica skupa) po intervalima vremena. Takav niz, stoga, nema svojstvo kumulativnosti.
Na primer. Broj zaposlenih ima smisla posmatrati samo u određenim trenucima vremena. Ako je u junu u nekoj fabrici bilo zaposleno 500 radnika, u avgustu 480, a u decembru 510 zaposlenih, očito je da zbir navedenih vrednosti nema nikakvo značenje.
Statistički nizovi mogu biti izvorni i izvedeni. Izvorni niz predstavlja izraz direktnog merenja veličine pojave po odabranim intervalima vremena ili u odabranim vremenskim tačkama. Izvedeni vremenski niz nastaje tako da se nad frekvencijama izvornog niza izvode neke brojčane operacije.
Na primer, posmatramo dohodak stanovništva u Srbiji od 2000. do 2005. godine, po godinama, i posmatramo broj stanovnika u Srbiji. Ako podelimo dohodak sa pripadajućim brojem stanovnika dobijamo dohodak po glavi stanovnika. Vidimo da je ovo izvedeni niz.
Da bi istraživanje vremenskih nizova omogućilo ispravne zaključke o dinamici posmatranih pojava i faktorima koji ih opredeljuju, neophodno je da one budu homogene-sastavljene od uporedivih podataka. To znači da ista pojava mora biti definisana i merena na isti način za sve vreme njenog posmatranja. Podaci jedne vremenske serije koji predstavljaju formalno istu pojavu a čija se sadržina tokom dužeg vremena promenila, nisu uporedivi. Kako se vremenski nizovi formiraju tokom dužeg vremenskog perioda, sa razvitkom pojava dolazi i do promena koncepcija, definicija i metoda merenja i iskazivanja, što može značajno uticati na uporedivost podataka. Uporedivnost može doći u pitanje i kad se kod nedovoljno homogenih grupa izmene odnosi strukture. Kod ovakvih grupa relativno mala promena u količini ili ceni jednog sastavnog proizvoda može kompezovati veliku promenu drugogo proizvoda.
Zahtev za uporedivošću podataka vremenskih nizova iziskuje da vremenske jedinice u kojima se meri nivo posmatrane pojave moraju biti iste. Mogu se upoređivati samo podaci koji se odnose na iste vremenske jedinice. Posebno je važno voditi računa o dužini vremenskog perioda tamo gde su podaci vremenske serije dati po mesecima. Pre svega, broj kalendarskih dana nije jednak u svim mesecima, zatim je različit broj radnih, odnosno neradnih dana unutar svakog od njih. Sve to može dovesti do značajnih razlika u nivou posmatrane pojave iz meseca u mesec. Da bi se obazbedila uporedivnost, najčešće se mesečni nivoi pojave svode na prosečne dnevne nivoe na taj način što se mesečni iznos pojave deli sa brojem radnih dana u odgovarajućem mesecu.
U izvesnim slučajevima neuporedivi podaci mogu se pregrupisati-preračunati u serije uporedivih podataka. Podaci malih grupa ili malih teritorijalnih jedinica mogu se sabiranjem grupisati u veće, tekuće cene preračunati u stalne i sl. Kada to nije moguće komparacija nedovoljno uporedivih podataka ne može se vršiti bez odgovarajućih ograničenja i većeg ili manjeg rizika da se donesu pogrešni zaključci.
1. 2. Analiza vremenskih nizova
Statistička analiza vremenskih nizova ima zadatak da pruži podlogu za donošenje sudova o karakteristikama razvoja pojava u vremenu. U osnovne metode analize ubraja se grafička metoda. Grafički prikaz vremenskih nizova omogućuje uočavanje osnovnih tendencija, obeležja razvoja. Sudovi doneseni na osnovu grafikona su aproksimativni i nisu dovoljni. Za analitičke svrhe nužno je utvrditi vrednosti brojčanih pokazatelja. Pri tome se polazi od frekvencija vremenskog niza. Jednostavna statistička analiza vremenskog niza sastoji se u merenju varijacija frekvencija u obliku diferencija ili relativnih brojeva.
Na razvoj ekonomskih pojava utiču mnogobrojni faktori. Ti uticaji se na poseban način odražavaju na tok frekvencija, pa se u brojčanoj analizi oni tretiraju kao komponente. Vremenski niz se uobičajeno raščlanjuje na sledeće komponente: trend komponentu, cikličnu, sezonsku i slučajnu komponentu. One izražavaju uticaje tipičnih faktora.
Ako se pojava posmatra na celom obuhvaćenom rasponu vremena, njena tendencija se zove trend. Oblici trenda su različiti i zavise od slučaja do slučaja. Kada se pojava obnavlja na isti ili približno isti način u periodu kraćem od jedne godine, govori se o periodičnim pojavama. Sezonske pojave su takve pojave koje se obnavljaju u periodu od jedne godina. Ciklična kolebanja obnavljaju se u periodu dužem od godinu dana. Trend, sezonska i ciklična kolebanja predstavljaju sistematske komponente, dok slučajna komponenta predstavlja ostale uticaje na razvoj pojave u vremenu. One nemaju sistematski karakteri, odnosno ne ispoljavaju pravilnost.
Neka vremenska serija ne mora da sadrži, i po pravili ne sadrži sve komponente. U postavljanju statističkih modela vremenskih nizova nužno je voditi računa o pristunim komponentama.
Vremenski statistički nizovi prikazuju se različitim vrstama grafikona. Ako je niz intervalni, koriste se površinski i linijski grafikon. Trenuti vremenski nizovi uvek se prikazuju linijskim grafikonom. Ako pojava ima sezonski karakter, koristi se polarni dijagram.
Kada su korisniku potrebni podaci o relativnim promena pojave, koriste se polulogaritamski grafikoni. Oni se koriste i ako se upoređuju vremenski nizovi s frekvencijama izraženim u istim jedinicama mere, a njihove brojčane vrednosti su voema različite.
Grafičko upoređivanje nije uspešno ako su frekvencije nizova na izrazito različitim visinama.
-
POKAZATELJI DINAMIKE
Kretanje vrednosti pojave vremenskog niza jasno se može videti iz grafi
kog prikaza. Međutim u statisti
koj analizi
esto se javlja potreba preciznijeg definisanja kretanja vriednosti neke pojave u vremenu. U tu svrhu služe apsolutni i relativni pokazatelji. Apsolutni pokazatelji računaju se običnim oduzimanjem vrednosti pojave u jednom vremenskom razdoblju od vrednosti iste pojave u drugom razdoblju i izražavaju se u originalnim jedinicama mere.
Pojedinačne apsolutne promene od razdoblja do razdoblja računaju se tako da se od vrednosti pojave u tekućem razdoblju oduzme vrednost pojave u prethodnom razdoblju:
(2.1)
Tumače se kao promena vrednosti pojave posmatranog vremenskog niza u originalnim jedinicama mere u tekućem razdoblju u odnosu na prethodno razdoblje.
Pojedinačne apsolutne promene u tekucem razdoblju u odnosu prema nekom baznom razdoblju računaju se tako da se od vrednosti pojave u tekućem razdoblju oduzme vrednost pojave u odabranom baznom razdoblju:
(2.2)
Tumače se kao promena vrednosti pojave posmatranog vremenskog niza u originalnim jedinicama mere u tekućem razdoblju u odnosu na odabrano bazno razdoblje.
Relativni pokazatelji, za razliku od apsolutnih, omogućavaju poređenje
kretanja pojava s razli
itim jedinicama mere.
3.INDEKSNI BROJEVI
-
Individualni indeksi
Individualni indeksi su relativni pokazatelji dinamike kretanja vrednosti pojave vremenskog niza i njima se uspoređuje stanje jedne pojave u različitim vremenskim intervalima ili momentima.
Individualni indeksi dele se na:
• verižne indekse
• bazne indekse.
Verižni indeksi pokazuju relativne promene (u %) pojave u tekućem razdoblju u odnosu na prethodno razdoblje, odnosno pokazuju za koliko % se vrednost pojave u jednom razdoblju promenila u odnosu na prethodno razdoblje.
Verižni indeksi se ra
unaju:
(3.1.1)
Iz izraza (3.1.1) vidi se da se verižni indeks računa tako da se stavi u odnos vrednost pojave iz tekućeg razdoblja s vrednošću pojave iz prethodnog razdoblja i sve se množi sa 100. S obzirom da vrednost vremenskog niza za prethodno razdoblje od prvog nije poznata, ne može se izračunati prvi verižni indeks u jednom nizu. Verižni indeksi se još nazivaju i lančani indeksi jer pokazuju promene pojave u uzastopnim vremenskim razdobljima i nadovezuju se jedan na drugi.
Verižni indeksi tuma
e se u procentima preko stope promene tako da se od njih oduzme 100.
(3.1.2)
Kako je već naglašeno pomoću verižnih indeksa računa se stopa promene vrednosti posmatrane pojave iz razdoblja u razdoblje. Stopa promene je relativna (u %) promena vrednosti neke pojave u tekućem u odnosu na prethodno razdoblje. Ra
una se prema izrazu:
(3.1.3)
Ako se u gornjoj jednakosti vrednosti u zagradi pomnože sa 100, važi da je:
(3.1.4)
što je vec dato izrazom (3.1.2).
Isto kao kod verižnih indeksa stopa promene ne ra
una se za prvo razdoblje, u nizu, jer vrednost posmatrane pojave ispred prve obi
no nije poznata.
Osim ovakve pojedina
ne stope promene iz razdoblja u razdoblje, statisti
ka analiza
esto zahteva ra
unanje prosečne stope promene za
itavo posmatrano razdoblje. Prosečna stopa promene je prose
na relativna (u %) promena vrednosti neke pojave kroz razdoblja u ukupnom posmatranom vremenskom periodu. Pretpostavka je da se vrednost posmatrane pojave u svakom razdoblju menja (raste ili pada) za jednak procenat kroz neki izabrani, dalji vremenski period. Prosečna stopa promene za neki dalji period ra
una se pomo
u geometrijske sredine verižnih indeksa. Kako verižnih indeksa ima (N-1), jer se prvi u nizu ne ra
una, geometrijska sredina bi
e (N-1) koren od njihovih umnožaka:
(3.1.5)
Iz desne strane jednakosti (3.1.5) može se videti da se mogu kratiti sve vrednosti pojave osim i , stoga važi da je geometrijska sredina verižnih indeksa:
(3.1.6)
dakle, pod korenom ostaje odnos poslednje i prve frekvencije vremenskog niza.
Prosečna stopa promene računa se prema (3.1.7):
(3.1.7)
Ako su zadati godišnji podaci onda je to prosečna godišnja stopa promene, ako su podaci dati po mesecima, reč je o prosečnoj mesečnoj stopi promene i slično.
Može se vršiti i preračunavanje prosječne stope promene s dužeg na kraći i s kraćeg na duže vremensko razdoblje.
Na primer, ako se želi izračunati prosečna mesečna stopa promene od prosečne godišnje stope dobijamo:
(3.1.8)
dakle, ra
una se dvanaesti koren od godišnje geometrijske sredine jer godina ima 12 meseci.
Na primer, ako se želi izračunati prose
na godišnja stopa promene od prose
ne polugodišnje stope biće:
(3.1.9)
odnosno ra
una se na drugi stepen od polugodišnje geometrijske sredine jer godina ima 2 polugodišta.
Uz pretpostavku da će se vrednosti neke pojave nastaviti kretati i u budućnosti na isti na
in, odnosno prema izra
unatoj prose
noj stopi promene kao i u posmatranom razdoblju preko geometrijske sredine može se, po
evši od poslednjeg elementa () u nizu, vršiti prognoza njenog kretanja:
(3.1.10)
gde je:
- prognostička vrednost pojave uz pretpostavku neizmenjenog G u N+1 razdoblju
- poslednja vrednost pojave u nizu
G - izračunata ili pretpostavljena geometrijska sredina verižnih indeksa
t - broj vremenskih razdoblja nakon poslednjeg u nizu, za koje se vrši prognoza.
Primer 3.1.1.
Proizvodnja vina u vinariji „Z“ u razdoblju od 1996. do 2005. god.
-
Godina
|
Proizvedene količine vina u litrama
|
Verižni indeksi ()
|
Stope promene ()
|
1996.
|
1538
|
|
|
1997.
|
1709
|
111,1
|
11,1
|
1998.
|
1552
|
90,8
|
-9,2
|
1999.
|
1860
|
119,9
|
19,9
|
2000.
|
1962
|
105,5
|
5,5
|
2001.
|
2176
|
110,9
|
10,9
|
2002.
|
2097
|
96,4
|
-3,6
|
2003.
|
2263
|
107,9
|
7,9
|
2004.
|
2481
|
109,6
|
9,6
|
2005.
|
2315
|
93,3
|
-6,7
|
Zadatak je izračunati verižne indekse i pripadajuće stope promene.
Vrednosti verižnih indeksa navedene su u trećoj koloni tabele, a pripadaju
e stope promene u četvrtoj koloni.
Prvi izra
unati verižni indeks iznosi 111,1 i pokazuje da je na svakih 100 litara vina proizvedenih u 1996. godini dolazilo 111, 1 litara proizvedenih u 1997. godini, ili za 11,1% više.
Indeksi na stalnoj bazi ili bazni indeksi pokazuju relativne promene (u %) pojave u tekućem razdoblju u odnosu na neko odabrano bazno razdoblje, odnosno pokazuju za koliko % se vrednost pojave u jednom razdoblju promenila u odnosu na odabrano bazno razdoblje.
Bazni indeksi se računaju:
(3.1.11)
Gde je vrednost pojave u nekom izabranom baznom razdoblju. Kod baznih indeksa uobičajen je zapis za bazno razdoblje da je jednako 100, (b=100).
Iz izraza (3.1.11) se vidi, da se bazni indeks računa tako da se postavi u odnos vrednost pojave iz tekućeg razdoblja s vrednošću pojave iz odabranog (baznog) razdoblja i pomnoži sa 100. Bazni indeksi se tumače u procentima tako da se od njih oduzme 100.
(3.1.12)
Pri sprovđenju statisti
ke analize u praksi treba pažljivo birati bazno razdoblje jer se pogrešnim izborom mogu dobiti iskrivljene predstave o dinamici pojave. Ako se na primer za bazno razdoblje odabere takvo razdoblje u kom je vrednost pojave najmanja u nizu, izra
unati bazni indeksi će pokazivati porast u odnosu na bazu. Ako se, suprotno, za bazno razdoblje odabere ono u kom je vrednost pojave najveća u nizu, bazni indeksi će pokazivati stalan pad u odnosu na izabranu bazu. Na taj način se u praksi može manipulisati podacima.
Primer.3.1.2
Uvoz banana na područje “Z” u period od 1996. do 2005.
-
Godina
|
Uvezene količine banana u hiljadama tona
|
Bazni indeksi
1996.=100
()
|
Stope promene
()
|
1996.
|
21
|
100
|
0
|
1997.
|
19
|
90,5
|
-9,5
|
1998.
|
25
|
119,0
|
19,0
|
1999.
|
20
|
95,2
|
-4,8
|
2000.
|
18
|
85,7
|
-14,3
|
2001.
|
23
|
109,5
|
9,5
|
2002.
|
25
|
119,0
|
19,0
|
2003.
|
28
|
133,3
|
33,3
|
2004.
|
24
|
114,3
|
14,3
|
2005.
|
27
|
128,6
|
28,6
|
Zadatak je izračunati bazne indekse (1996.=100) i pripadajuće stope promene.
Vrednosti baznih indeksa navedene su u trećoj koloni tablice, a pripadajuće stope promene u četvrtoj koloni. Poslednji izračunati bazni indeks iznosi 128,6 i pokazuje da je na svakih 100 t uvezenih banana u 1996. godini dolazilo 128,6 t uvezenih u 2005. godini, ili za 28,6% više.
Kako je već rečeno, bazni indeksi se računaju deljenjem svakog člana niza istim brojem (bazom) i množenjem istim faktorom (sa 100). Prema tome se može zaključiti da su bazni indeksi direktno proporcionalni originalnim vrednostima vremenskog niza, pa sve što se može izračunati deljenjem originalnih vrednosti pojave, može se dobiti i deljenjem baznih indeksa (naravno po istoj bazi).
Stoga važi da je geometrijska sredina verižnih indeksa:
(3.1.13)
gde su i , prvi i poslednji bazni indeks u nizu.
Prera
unavanje baznih indeksa po jednoj bazi u bazne indekse po drugoj bazi se vrši na slede
i na
in:
(3.1.14)
gde je b novo bazno razdoblje za indekse
Ra
unanje verižnih indeksa preko baznih indeksa je:
(3.1.15)
i su bazni indeksi jednake baze.
Prera
unavanje verižnih indeksa u bazne po nekoj bazi b vrši se preko slede
ih izraza izvedenih iz (3.1.15):
• za razdoblja pre baznog (b=100), ra
una se unatrag:
(3.1.16)
• za razdoblja posle baznog (b=100), računa se unapred:
(3.1.17)
Primer 3.1.3.
Zadati su verižni indeksi intervalnog vremenskog niza “Ostvarene investicije u dugotrajnu imovinu u R.Hrvatskoj od 1996. do 2001. godine”
Zadatak je na osnovu zadatih verižnih indeksa izračunati bazne indekse sa bazom 1998. Godinom (tj. 1998.=100) i prosečnu godišnju stopu promene ostvarenih investicija u R. Hrvatskoj.
godina
|
Verižni indeksi
()
|
Bazni indeksi
(), 1998.=100
|
1996.
|
|
68,286
|
1997.
|
135,9679
|
92,847
|
1998.
|
107,7044
|
100
|
1999.
|
103,5513
|
103,551
|
2000.
|
101,7306
|
105,343
|
2001.
|
111,4750
|
117,432
|
Bazni indeksi se iz verižnih računaju tako što se najpre odredi baza 100, koja je u ovom slučaju zadata za 1998. godinu, odnosno za treće razdoblje po redu.
Dalje se računaju bazni indeksi:
-
Za razdoblje pre baznog (b=100), računa se unatrag:
,
.
-
Za razdoblje posle baznog (b=100), računa se unapred:
,
,
.
Na primer, bazni indeks znači da su u R. Hrvatskoj ostvarene investicije u 2001. godini bile veće za 17,432% u odnosnu na baznu 1998. godinu.
Prosečna godišnja stopa promene ostvarenih investicija u R. Hrvatskoj, iako nema originalnih podataka, može se dobiti I preko baznih indeksa:
,
Što znači da se prema originalnim podacima iz tablice može pretpostaviti da su u posmatranom šestogodišnjem razdoblju ostvarene investicije u R. Hravatskoj prosečno godišnje rasle za 11,4508%.
-
Grupni indeksi
Za razliku od individualnih indeksa, kojima se izražava dinamika jedne pojave prikazane u jednoj statističkoj seriji, grupni indeksi predstavljaju relativne varijacije grupe srodnih pojava. Grupni indeksi nam omogućavaju praćenje kretanja kompleksnih cena, kao što su na primer: proizvodnja industrije, proizvodnja poljoprivrede, vrednost ukupnog prometa, cena prehambrenih proizvoda i slično.
Svi indeksi, individualni i grupni, svrstavaju se u tri osnovne grupe: indekse cena, indekse količina i indekse vrednosti. Iz ovih indeksa izvedeni su: indeksu produktivnosti, indeksi troškova života, indeksi nominalnih i relativnih primanja i slični indeksi.
3.2.1. Neponderisani grupni indeksi
Zajedničke varijacije više vremenskih serija mogu se izraziti na dva načina: metodom agregata i metodom prosečnih odnosa (srednjih vrednosti) individualnih indeksa sastavnih serija.
Po metodu agregata grupni indeksi se izračunavaju na taj način što se zbir podataka svih sastavnih serija u posmatranom periodu stavi u odnos prema zbiru podataka istih tih serija u baznom periodu.
Uvedimo oznake:
Po metodu agregata formule za izračunavanje grupnih indeksa su sledeće:
Indeks cena je
Indeks količina je
Indeks vrednosti je
Primer 3.2.1.
Izvoz rezane građe i celuloze iz Srbije u Italiju 2000. i 2001. godine.
-
Izvoz u tonama
|
Cena po toni
|
|
2000.
|
2001.
|
2000.
|
2001.
|
Meka rezana građa
|
11,44
|
17,14
|
17,13
|
44,93
|
Tvrda rezana građa
|
455,09
|
476,11
|
18,23
|
63,68
|
Celuloza
|
25,50
|
24,03
|
34,08
|
128,76
|
Suma
|
492,03
|
517,28
|
69,44
|
237,37
|
Baza je 2000. godina.
Iz tabele, grupni indeks izvozne cene rezane građe i celuloze za 2000. godinu je:
Indeks količine:
Indeks vrednosti:
Metod prosečnih odnosa ili srednjih vrednosti ne polazi od prvobitnih podataka obuhvaćenih serija, nego od njihovih individualnih indeksa, sračunatih na isti period kao bazu i uzima srednju vrednost tih indeksa za posmatrani period.
Koristeći aritmetičku sredinu kao srednju vrednost individualnih indeksa, grupni indeksi se računaju na sledeći način:
Indeks cena:
Indeks količina:
Indeks vrednosti:
Gde predstavlja broj individualnih indeksa.
U našem primeru dobijamo sledeće vrednosti za grupne indekse:
Izvozne cene rezane građe i celuloze povećale su se u 2001. u odnosu na 2000. godinu za .
Fizički obim izvoza povećao se za .
Svi individualni indeksi na osnovu kojih se izračunava grupni indeks, moraju imati istu bazu. U našem primeru to je 2000. godina.
Geometrijska sredina individualnih indeksa na osnovu podataka iz našeg primera:
Indeks izvozne cene:
Indeks količine:
Indeks vrednosti izvoza:
Izravnanje individualnih indeksa može se postići i pomoću drugih sredina: harmonijske, medijane, modusa.
Dostları ilə paylaş: |