Teorema.
Agar O nuqta ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi,
H – uning ortomarkazi bo’lsa, u holda
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(4.7)
tenglik o’rinli bo’ladi.
Isbot-1
. Berilgan ABC uchburchak uning o’rta
uchburchagiga G markazli
koeffitsientli gomotetikdir, Ya’ni
. Bu
gomotetiyada
va
(bu
yerda O-
uchburchakning ortomarkazi).
Shuning
uchun
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
,
bundan
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
o’rinli ekanligi kelib chiqadi.
Isbot-2
.
H va O nuqtalar uchun
̅̅̅̅
̅̅̅̅
va
̅̅̅̅
̅̅̅̅
vektor tengliklar
o’rinli. Bu tengliklarni quyidagicha yozib olaylik:
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
Bu tengliklarni bir-biridan ayiramiz:
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)(
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
̅̅̅̅
.
Xuddi shunday:
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅)
̅̅̅̅
ni topamiz.
Bu
yerda
̅̅̅̅
va
̅̅̅̅
vektorlar nol bo’lmagan nokolleniar vektorlar. Demak,bu
oxirgi ikkita tenglik bir vaqtda nolga teng bo’ladi
qachonki,
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅
bo’lsa. Bundan
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
. ▲
4.4. Uchburchakning 4 ta ajoyib nuqtalari
orasidagi bog’lanish.
Agar О nuqta ABC uchburchakka tashqi chizilgan
aylananing markazi
bo’lsa,
u holda
̅̅̅̅
(
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅) ( )
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ( )
tengliklardan
̅̅̅̅
̅̅̅̅
tenglik o’rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu
tenglikdan ko’rinadiki,
O, G, H nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotib G nuqta OH kesmani 1:2
nisbatda
bo’ladi. Bu nuqtalar yotgan yotgan to’g’ri chiziq uchburchak uchun
