To ’plami / Toshkent, tdpu, 2007 y

to ’plami / Toshkent, TDPU, 2007 y.

Differensial tenglam alar nazariyasi amaliy matematika, fizika, biologiya iqtisod va h.k. larda

uchraydigan ko ’plab masalalarni tadqiq etishda muhim vosita hisoblanadi. Differensial tenglam alar

ishlatilmaydigan fan tarm og’ni topish qiyin. Ushbu o ’quv qo’lla^ina pedagogika oliy ta’lim muassasalari

talabalanga differensial tenglam alam i tushunish, yechish va interpretasiya qilishda yordam beradi. Q o ’lanmada

oddiy differensial tenglam alarning asosiy turlariga oid nazariy m aium otiar va bunday tenglam alam i yechish

usullari bayon qilingan. Maple® kompyuter sistem asiga tayangan differensiai tenglamalami sim volik va sonli

yechish metodlari bayon qilingan.

Bu qo'llanm adan «Fizika va astronomiya» ta ’lim yonalishidagi talabalar ham foydalanishi mumkin.

Тургунбаев P , Исмаилов 111, Абдуллаев О. Сборник примеров и задач по курсу

дифференциальных уравнений / Ташкент. ТГПУ , 2007 г.

Теория дифференциальных уравнений является важным средством в исследовании многих задач,

возникающих в прикладной математике, физике, биологии, экономике, и т .л Фактически трудно найти

ветвь науки, где не используются дифференциальные уравнения.

Это пособие призвано помочь студентам высших педагогических учебных заведений в

понимании, реш ении и интерпретации дифференциальных уравнений.

В пособии даются необходимая теоретическая информация и методы решения важных классов

обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведено большое количество приложений в физике,

геометрии и других наук. О писаны методы символьных и численных решений в компьютерной системе

Maple®.

R.Turgunbayev, Sh.lsmailov, О .Abdullayev. The Collection o f examples and problems in course o f

differential equations / Tashkent, TSPU, 2007.

Theory o f differential equations is an im portant tool in the investigation o f many problems in applied

mathematics, physics, biology, economics, etc.. In fact, it is hard to find a branch in science where differential

equations is not used.

This book will be used to help for students o f higher pedagogical institutions in understanding, solving,

and interpreting differential equations.

In this book the theoretical information and the m ethods o f solution o f important classes o f ordinary differential

equations are given. Examples o f applications to physics, geom etry and the other sciences abound. M ethods o f

symbolic and num erical solutions in Maple® com puter sysrem are described.

Taqrizchilar: O ’.Toshmetov, Nizomiy nomidagi TDPU, professor

A.Xashimov, O ’zR FA MI, katta ilmiy hodim

Mas ul muharrir:

B.lslomov, fizika-matematika fanlari doktori, professor

O ’quv qo’llanma Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika

universiteti Ilmiy kengashida ko’rib chiqilgan va o’quv qo’llanma sifatida

nashrga tavsiya qilingan.

2007 yil « 25 » yanvar 6 -sonli m ajlis bayoni.

© Nizomiy nomidagi Toshkent davlat pedagogika universiteti

www.ziyouz.com kutubxonasi

SO’Z BOSHI

Ushbu o’quv qo’llanma pedagogika oliy ta’lim muassasalari «Matematika va

informatika» ta’lim yonalishi uchun «Differensial tenglamalar» kursining dasturi

asosida yozilgan bo’lib, uning asosiy qismi «Fizika va astronomiya” ta‘lim

yo’nalishida ham foydalanilishi mumkin.

Mustaqil o’rganuvchi talabalar uchun qo’llanmadan foydalanishni osonlashtirish

maqsadida muhirn nazariy ma'lumotlar keltirilgan, bu ma‘lumotlami bilish misol va

masalalami tushunib echish uchun zaruriy hisoblanadi. To’liq nazariy maMumotlami

qo’llanma so’ngida keltirilgan adabiyotlardan topish mumkin.

Qo’llanma uch bobdan iborat bo’lib, birinchi bobda birinchi tartibli oddiy

differensial tenglamalar, ikkinchi bobda yuqori tartibli oddiy differensial

tenglamalarga oid asosiy ma'lumotlar, ularga doir misol va masalalar yechish

namunalari, amaliy mashg’ulotlarda hamda mustaqil ishlash uchun misol va masalalar

keltirilgan. Qo’llanmada differensial tenglamalar yordamida fizik va geometrik

masalalami yechishga alohida e‘tibor berilgan. Uchinchi bobda Maple® kompyuter

algebrasi vositasiga tayangan. masalalar yechish metodikasi bayon qilinib, bunda

differensial tenglamalami analitik hamda taqribiy yechish, grafiklarini chizish

ko'rsatilgan. Shuningdek, mazkur qo’llanmada individual vazifalar to’plami ham

berilgan.

Ushbu qo’llanmani o’qib chiqib, o’zining qimmatli fikrlarini bildirgan professor

O ’.Tosmetovga va fizika-matematika fan lari nomzodi, A.Xashimovga samimiy

minnatdorchiligimizni bildiramiz.

MuaUiflar.

з

www.ziyouz.com kutubxonasi

I-BO B. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR.

l-§. Asosiy tttshunchalar. O’zgaruvchitori ajraladigan tenglamalar.

1. Asosiy tushunchalar.

x erkli o’zgaruvchi, shu o’zgaruvchining у funksiyasi va y ' hosilani

bog’lovchi

F ( x ,y ,y ) = 0 (1)

munosabat 1- tartibli differensial tenglama deyiladi.

Agar (1) munosabatda у ni

F[^x,(p{x),(p\x)) = Q ayniyat hosil bo’lsa,


deyiladi.

Agar

дФ ЭФ , „

----+ -----у = 0,

дхду

Ф (х,у,С ) = 0

munosabatlardan С parametr yo’qotilgandan so’ng (1) tenglama hosil bo’lsa, u holda

Ф (* ,* С ) = 0 (2)

oshkormas funksiya ( 1) tenglamaning umumiy integrali deyiladi.

Ixtiyoriy С o’zgarmasga ma‘lum С = C0 qiymat berish natijasida

Ф (х,у,С ) = 0 umumiy integraldan hosil qilingan Ф(х,>,С(1) = 0 oshkormas funksiya

(1) differensial tenglamaning xususiy integrali deyiladi.

Geometrik nuqtai nazardan umumiy integral koordinatalar tekisligida С

parametrga bog’liq bo’lgan va tenglamaning integral egri chiziqlari deb ataladigan

egri chiziqlar oilasini ifodalaydi. Xususiy integralga bu oilaning С = C0 ga mos

bo’lgan egri chizig’i mos keladi.

Ayrim hollarda (2) dan

y^(f{x,C) (3)

ko’rinishdagi ( 1) tenglamaning umumiy yechimini hosil qilish mumkin.

Umumiy integralni, shuningdek umumiy yechimni topish jarayoni (1)

tenglamani integrallash deb yuritiladi.

Izoh. Ayrim hollarda qulaylik tug’dirish maqsadida o’zgarmas С ning o’miga

kC yoki £lnC olinadi, bu yerda к - ixtiyoriy son.

С o’zgarmasga ma‘lum C = C0 qiymat berish natijasida y-ip(x,C) umumiy

yechimdan hosil qilingan har qanday у = ф(х,С0) funksiya (1) differensial

tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.

Qulaylik uchun ( I) differensial tenglama hosilaga nisbatan yechilgan

www.ziyouz.com kutubxonasi

^ = f( x ,y ) (4) dx

tengiama shaklida yoki simvolik ravishda differensiallar ishtirok etgan

M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 (5)

tengiama shaklida ifodalashga harakat qilinadi.

Izoh. Ayrim hollarda (4) o’rnigay ni erkli o’zgaruvchi deb, shu o’zgaruvchining

jc( у ) funksiyasiga mos — = — ^— tengiama ham qaraladi.

dy f( x ,y )

( 1) tenglamaning boshlang’ich shart deb nomlanadigan

yixa)=yo [ (6)

ko’rinishdagi shartni qanoatlantiradigan yechimlarini topish masalasi Koshi masalasi

yoki boshlang 'ich masata deyiladi.

(4) tengiama uchun Koshi masalasi qisqacha quyidagicha yoziladi:

£ = - v U ^ o

Koshi masalasi geometrik nuqtai nazardan qaraganda barcha integral egri

chiziqlar ichidan berilgan (x0,y0) nuqtadan o’tuvchi integral egri chiziqni topish

masalasidir.

Agar (xa,y0) nuqtadan ikkita va undan ko’p integral chiziqlar o’tsa bu nuqtada

yagonalik sharti bajarilmagan deb yuritiladi.

Agar (1) tenglamaning tp(x) yechimi uchun ixtiyoriy (дс0,#>(дс0)) nuqtada

yagonalik sharti bajarilmasa u holda

Izoh. ( 1) differensial tenglamaning


С ning hech qanday qiymatida (3) ni (shuningdek (2) ni) qanoatlantirmaydi.

Maxsus yechimlami aniqlash uchun alohida usullar mavjud. Biz ulami 5-§ da

bayon qilamiz.

Berilgan y' - f(x,y) tengiama aniqlanish sohasining har bir nuqtasidan o’tuvchi

va abssissa o’qi bilan a = arctgf{x,y) burchak tashkil qiluvchi to’g’ri chiziqlar

oilasiga differensial tenglamaningyo ’nalishlar maydoni deyiladi.

Har bir nuqtasida yo’nalishlar maydoni bir xil bdlgan chiziq izoklina deyiladi.

Izoklina tushunchasini yana quyidagicha izohlash mumkin:

Bir hil yo’nalishga ega bo’lgan integral egri chiziqga o’tkazilgan urinmalar

urinish nuqtalarining geometrik 6mi izoklina deyiladi.

y ' = f( x ,y ) tenglamaning izoklinalar oilasi f(x,y)= k tenglamalar bilan

aniqlanadi.

(4) tenglamaning (x0,.y0) nuqtadan o’tuvchi integral chiziqni tasvirlash uchun к

ning yetarlicha ko’p qiymatlariga mos izoklinalar chiziladi. Har bir izoklina bo’ylab

mos burchak koeffitsienti к ga teng shtrixlar yasaladi.

(jr0,y0) nuqtadan boshlab har bir izoklinani mazkur strixlarga parallel ravishda

integral chiziq yasaladi.

1 Koshi Lui Ogyusten (1789-1857)- fransiyalik matematik.