U holda bu tengliklardan kelib chiqadi ekanligi, ya'ni bo'ladi
Yüklə 141,88 Kb.
|
|
U holda bu tengliklardan kelib chiqadi. ekanligi , ya'ni bo'ladi. 34.3-teorema. (qoldiqli bo'lish) Xar qanday va tenglikni qanoatlantiruvchi va butun sonlari mavjud va ular yagona ravishda aniqlanadi. Isbot. Mavjudligi. son dan katta bo"lmagan, ga bo'linuvchi eng katta natural son bo'lsin, u holda Bu tenglikning ikkala qismiga ni qo'shsak, hosil bo'ladi. Agar deb olsak, ni hosil qilamiz. Yagonaligi. Faraz qilaylik, munosabatlar o'rinli bo'lsin. U holda bu tengliklarning ayirmasidan kelib chiqadi. Bundan, hosil bo'ladi, demak, kelib chiqadi. Lekin bo'Igani uchun shart faqatgina , ya'ni bo'lgandagina bajariladi. Bundan esa ekanligi kelib chiqadi. Teoremadagi tenglikka sonlarni qoldiqli bo'lish va undagi songa bo"linma, songa esa qoldiq deyiladi. Misol 34.1. -197 ni 11 ga qoldiqli bo'lsak, . bu yerda . Qoldiqli bo'lish haqidagi teoremaga asosan quyidagi tengliklari yozish mumkin. Bu tengliklarning o'ng tomonidagi tengsizliklarga e'tibor bersak, quyidagi tengsizliklar bog'lanishi ko'zga tashlanadi: bu yerda barcha lar natural sonlardir. Natural sonlar quyidan chegaranganligi tufayli biror-bir nomerdan boshlab bo'ladi. (34.2) tengliklar sistemasiga Yevklid algoritmi deb yuritiladi. Misol 34.2. 2576 va 154 sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz: 34.4-ta'rif. butun sonlarning har birini bo'ladigan songa shu sonlarning umumiy bo 'luvchisi deyiladi. 34.5-ta'rif. Kamida biri noldan farqli bo'lgan va butun sonlarning umumiy bo 'luwchilari ichida eng kattasi ularning eng katta umumiy bo'luvchisi deyiladi va yoki qisqacha kabi belgilanadi. 34.6-ta'rif. Agar bo'lsa, va sonlar o'zaro tub sonlar deyiladi. 34.7-tasdiq. va butun sonlarning EKUBi Yevklid algoritmidagi oxirgi qoldiqqa tengdir, ya'ni . Isbot. va butun sonlar uchun Yevklid algoritmini tuzamiz. holda tengliklarning birinchisiga asosan va butun sonlarning ixtiyoriy umumiy bo'luvchi ni bo'ladi, va aksincha ga asosan va larning xar qanday umumiy bo'luvchisi sonni bo'ladi. Demak, . Bu mulohazalami Yevklid algoritmiga ikkinchi, uchinchi va undan keyin keladigan tengliklarga qo'ysak, tengliklarni hosil qilamiz, demak, . Endi sonlarning EKUBi haqidagi muhim xossalarni keltiramiz. 34.8-xossa. Agar berilgan sonlarni biror songa ko paytirsak, u holda ularning EKUBi ham shuncha marta ortadi. Isbot. Yevklid algoritmini va sonlarga tadbiq etsak, tengliklarni xar bir hadi marta ortadi. Shuning uchun, 34.9-xossa. Agar va sonlarning har biri biror songa bo'linsa, ularning EKUBi ham shu songa bo'linadi, ya'ni tenglik o'rinli bo'ladi. Isbot. 34.8-xossaga asosan Bundan ekanligi kelib chiqadi. Xususiy holda bo'lsa, kelib chiqadi, ya'ni agar va bo'lib, bo'1sa, bo'ladi. 34.10-teorema. Agar va bo'lsa bo'ladi, ya'ni va sonlar o'zaro tub bo'lib, ko paytma ga bo'linsa, u holda son songa bo'linadi. Isbot. tenglikning ikkala tomonini ga ko paytiramiz: Teorema shartiga asosan, va son ga karrali bo'Iganligi uchun, yuqoridagi xossalarga asosan , bundan esa ekanligi kelib chiqadi. 34.11-teorema. uchun topiladiki, bo'ladi, bu yerda . Isbot. Quyidagi funksiyani qaraymiz. Agar va sonlar bir vaqtda nolga teng bo'lmasa, bu funksiya musbat qiymatlarni ham, manfiy qiymatlarni ham qabul qiladi. Bundan tashqari va sonlari bu funksiyaning qiymatlar sohasi ga tegishli bo'ladi. Bu funksiya musbat qiymatlarining eng kichigini bilan belgilaymiz, ya'ni son noldan katta eng kichik musbat son bo' 1 sin. U holda sonini ga qoldiqli bo'lib, ni hosil qilamiz. Bu yerdan ekanligidan kelib chiqadi. soni ga tegishli bo'lgan eng kichik musbat son bo'lganligi uchun kelib chiqadi, ya'ni soni ga bo'linadi. Shunga o'xshash, sonining ham ga bo'linishi ko'rsatiladi. Ikkinchi tomondan va sonlarning xar qanday bo'luvchisi sonni ham bo'ladi va shunga ko'ra dan katta bo'Imaydi, demak . Shuni ta'kidlaymizki, chiziqli ifodani amalda topish uchun Yevklid algoritmidagi tengliklarda pastdan yuqoriga qarab harakat qilinadi: Tabiiyki, va sonlar o'zaro tub bo'lishi uchun shartni qanoatlantiruvchi sonlarning mavjud bo'lishi zarur va yetarlidir. Misol 34.3. 2576 va 154 sonlarining EKUBini ularning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalang. 34.2-misolda biz ekanligini ko'rsatgan edik. Unda keltirilgan Yevklid algoritmidan foydalanib, pastdan yuqoriga qarab yozsak: hosil bo'ladi. Demak, . Ikkita sonning EKUBini topish tushunchasini bir nechta sonlarning EKUBini topishga ham tadbiq etish mumkin. Faraz qilaylik, ta sonlar ketma-ketligi berilgan bo'1sin. Bu sonlarning EKUBini topish uchun birinchi bo'lib , so'ngra EKUBlarni topamiz. Hosil bo'1gan soni berilgan sonlar ketma-ketligining EKUBi bo'ladi, ya'ni 34.12-ta'rif. Agar sonlar ketma-ketligida , bo'Isa, bu sonlar ketma-ketligi juft-jufti bilan o'zaro tub deyiladi. 34.14-ta'rif. va sonlarning xar biriga bo'linadigan son shu sonlarning umumiy karralisi deyiladi. Masalan, 12 va 18 sonlarning umumiy karralisi bo'ladi. 34.15-ta'rif. va sonlarning umumiy karralilari ichida eng kichigiga bu sonlarning eng kichik umumiy karralisi (EKUK) deyiladi va orqali belgilanadi. Ikkita sonning EKUKi quyidagi oddiy xossalarga ega. 34.16-xossa. a) ikkita sonning EKUKi shu sonlar ko'paytmasini ularning EKUBiga bo'lgan nisbatiga teng, ya'ni ; b) va sonlar o'zaro tubdir, ya'ni ; c) va sonlarning umumiy karralisi, ularning EKUKiga karralidir; d) agar bo'lsa, bo'ladi. e) agar va bo'1sa, u holda bo'ladi. Isbot. Ushbu xossalardan faqat birinchisini ko'rsatish bilan chegaralanamiz. Aytaylik, soni va sonlarning biror umumiy karralisi bo' . U holda va , ya'ni Bundan soni ga bo'linishi kelib chiqadi. bo'lsa, u holda va deb olib, ekanligidan munosabatni, bo'lganligi uchun bo'lishini hosil qilamiz. Demak, soni ga bo'linadi, ya'ni tenglik o'rinli bo'ladi. Buni ga olib borib qo'ysak, hosil qilamiz. Demak, va sonlarning ixtiyoriy umumiy karralisi yuqoridagi formula orqali ifodalanadi. Agar bo'lsa, va sonlarning EKUKini topish formulasi hosil bo'ladi, ya'ni . Misol 34.4. bo'lib, bo'ladi. Ikkitadan ortiq sonlarning EKUKini topish masalasi ikkita sonning EKUKini topish kabi hal qilinadi. Agar bizga sonlar berilgan bo'lib, , bo'lsa, u holda topilgan soni berilgan sonlarning EKUKi bo'ladi, ya'ni Agar berilgan sonlar ketma-ketligi juft-jufti bilan o'zaro tub bo'lsa, u holda bo'ladi. 35 - §. Uzluksiz va munosib kasrlar Bizga va butun sonlar berilgan bo'1sin. Bu sonlar uchun Yevklid algoritmini qo'llasak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz: Natijada nisbatni quyidagi ko 'rinishda yozish mumkin: Berilgan nisbatning yuqoridagi ko'rinishiga uning uzluksiz kasrga yoyilmasi deyiladi. Odatda uzluksiz kasr quyidagicha belgilanadi: Uzluksiz kasrda quyidagi uch hil holat bo "lishi mumkin: 1. , bu holda bo'ladi; 2. , bu holda bo'ladi; 3. bo'1sa, nisbatni shaklda yozib olamiz. Bu yerda to'g'ri musbat kasr bo'lib, natijada quyidagi yoyilma hosil bo'ladi: Misol 35.1. kasrni uzluksiz kasrga yoying. Berilgan ratsional sonning mumosib kasrlari deb. kasrlarga aytiladi. Bu munosib kasrlarning eng oxirgisi berilgan ratsional kasrga teng bo'ladi. Munosib kasrlarni hisoblash uchun , deb quyidagilarni yozib olamiz: Matematik induksiyaga asosan tenglikni olamiz. Bu yerda Ushbu bog'lanish munosib kasrni hisoblash uchun xizmat qiladigan rekkurent formuladir. Quyidagi sxema istalgan va sonlarni hisoblash imkonini beradi.
Ushbu va sonlar orasida quyidagi bog'liqlik mavjud: Bu formuladan ekanligi osongina kelib chiqadi. Misol 35.2. ga mos ratsional son topilsin.
Demak, berilgan uzluksiz kasr uchun ko rinishga keladi. Bu yoyilmaga a sonining kanonik ko'rinishi deb ataladi. Sonlarning kanonik yoyilmasi berilgan sonlarning EKUB va EKUKlarini topishda qo'llaniladi. Bizga va sonlarning kanonik shakllari berilgan bo'lsa, u holda bo'lib, bu yerda va . Misol 36.1. 24 va 50 sonlarni EKUB va EKUK larini toping. Buning uchun ularning kanonik shaklga keltiramiz: bo'ladi. Xuddi shunday bo*lib, natijaga ega bo'lamiz. VIII BOB. TAQQOSLAMALAR 37 - §. Taqqoslamalar va ularning xossalari Bizga va butun sonlar va qandaydir natural son berilgan bo'1sin. 37.1-tarif. Agar va sonlarini ga bo'lgandagi qoldiqlari teng bo'lsa, va sonlar modul bo'yicha taqqoslanuvchi deyiladi va shaklda yoziladi. Masalan, va sonlari modul bo'yicha taqqoslanadi, ya'ni . 37.2-xossa. va sonlari modul bo'yicha taqqoslanuvchi bo'lishi uchun soni ga bo'linishi zarur va yetarli. Isbot. Haqiqatdan, va sonlarni ga qoldiqli bo'lsak, munosabatlarni hosil qilamiz. Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi, ya'ni soni ga bo'linadi. Demak, va sonlarining modul bo'yicha taqqoslanuvchanligi ekanligiga teng kuchlidir. Bundan esa quyidagi xossaning o'rinli ekanligi bevosita kelib chiqadi. 37.3-xossa. Agar va bo'lsa, u holda Endi taqqoslamaning asosiy xossalarini keltiramiz. 37.4-xossa. Bir hil modulli taqqoslamalarni hadma-had qo'shish mumkin, ya'ni va bo'lsa, Isbot. Aytaylik, va bo' . U holda va sonlari ga bo linadi. ekanligidan sonining ga bo"linishi kelib chiqadi, demak, . 37.5-xossa. Bir xil modulli taqqoslamalarni hadma-had ko'paytirish mumkin, ya'ni va bo'lsa, Isbot. Haqiqatdan, va sonlari ga bo'linishidan, sonining ham ga bo'linishi kelib chiqadi. Demak, . 37.6-xossa. Taqqoslamaning xar bir hadini va modulini bir hil songa ko'paytirish mumkin, ya'ni bo'lsa, bo 1 ladi. Isbot. ekanligidan tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni ikkala tomonini ga ko'paytirsak, kelib chiqadi, ya'ni . 37.7-xossa. Taqqoslamaning har bir hadini va modulini bir hil songa bo'lish mumkin. Isbot. Aytaylik, bo'lib, va bo' . U holda tenglikdan hosil bo'ladi, ya'ni . 37.8-xossa. Agar va sonlari modullar bo'yicha taqqoslanivchi bo'1sa, u holda va bu sonlarning eng kichik umumiy karralisi bo'yicha taqqoslanuvchi bo'ladi. Isbot. ekanligidan sonining larning barchasiga bo'linishi kelib chiqadi. Demak, ularning eng kichik umumiy karralisiga ham bo“linadi. 37.9-xossa. Agar va sonlari modul bo'yicha taqqoslanuvchi bo'lsa, u holda ular ning ixtiyoriy bo'luvchisi bo'yicha taqqoslanuxchi bo'ladi. Isbot. ekanligidan shartni qanoatlantiruvchi soni uchun kelib chiqadi, demak . 37.10-xossa. Agar taqqoslamaning bitta hadi va moduli biror songa bo'linsa, u holda taqqoslamaning ikkinchi hadi ham shu songa bo'linadi. Isbot. Aytaylik bo'lib, bo'1sin. holda ekanligidan sonining ham ga bo'linishini hosil qilamiz. 37.11-xossa. Agar bo'1sa, u holda bo'ladi. Isbot. ekanligidan ning ga bo'linishi kelib chiqadi. va sonlarining EKUBini ularning chiziqli ifodasi orqali ifodalasak, tenglikdan, hamda va sonlari ga bo'linishidan ning ga bo'linishi kelib chiqadi, ya'ni . Shunga o'xshab, munosabat ham ko'rsatiladi, demak . Berilgan soniga karrali bo'lgan butun sonlar to'plamini orqali belgilaymiz, ya'ni Butun sonlar to plamida quyidagicha binar munosabat aniqlaymiz. Agar va sonlari uchun bo'lsa, deb qabul qilamiz. Boshqacha aytganda, modul bo'yicha taqqoslanuvchi sonlar jufti binar munosabatga tegishli bo'ladi. 37.12-teorema. to'plamda modul bo'yicha kiritilgan binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo lladi. Isbot. Teoremani isbotlash uchun ekvivalentlikning uchta shartini o'rinli bo'lishini ko'rsatamiz: , chunki soni ga bo'linadi, demak agar bo'lsa, u holda son ga bo'linadi. Bundan esa, soni ham ga bo'linishi, ya'ni ekanligi kelib chiqadi. Demak, agar dan kelib chiqadi. agar va bo'1sa, u holda va sonlar ga bo'linadi, son ham ga bo"lingani uchun kelib chiqadi. Demak, va ekanligidan kelib chiqadi. Ma'lumki, xar qanday ekvivalentlik munosabati berilgan to'plamni kesishmaydigan sinflarga ajratadi. Yuqorida aniqlangan ekvivalentlik munosabati bo'yicha hosil qilingan sinflarga chegirmalar sinflari deyiladi. 37.2-teoremaga asosan, ayirma ga bo'linsa, va sonlarni ga bo'lgandagi qoldiqlari teng bo'ladi, demak, modul bo'yicha aniqlangan chegirmalar sinfi ga bo'linganda bir hil qoldiq qoladigan butun sonlardan iborat bo'ladi. Butun sonni ga bo'lgandagi qoldiqlar sonlaridan biriga teng bo'lishini hisobga olsak, modul botyicha aniqlangan chegirmalar ta sinfdan tashkil topadi. Demak, biz quyidagi sinflarga ega bo'lamiz: Ta'kidlash joizki, modul bo'yicha chegirmalar sinflarining ta'rifidan munosabat munosabatga teng kuchlidir. 37.3-teoremaga asosan, to plamnining modul bo'yicha turli chegirmalar sinfi faktor to'plamning elementlari bo'ladi, ushbu faktor to'plam kabi belgilanadi, ya'ni Yuqorida keltirilgan xossalar faktor to'plamda qo'shish va ko'paytirish amalarini kiritishga imkon beradi, ya'ni elementlarning yig'indisi va ko'paytmasini quyidagicha aniqlaymiz: aniqlangan qo'shish va ko'paytirish amallari binar algebraik amallar bo'ladi. Haqiqatdan ham, 37.4 va 37.5 -xossalarga asosan. yig'indi va ko'paytmalar va elementlarning tanlanishiga bog'liq emas. Quyidagi jadvalda to plamda qo'shish va ko'paytirish amallari jadvallarini keltiramiz:
Ravshanki, to'plamda aniqlangan qo'shish va ko'paytirish amallari kommutativlik, assotsiativlik va distributivlik qonunlariga bo'ysunadi, ya'ni a) b) c) d) ; e) Hosil qilingan chegirmalar sinflari uchun quyidagi xossalar o'rinli. Yüklə 141,88 Kb. Dostları ilə paylaş:
|