1. 2-Mavzu: Uch karrali integral va uning xossalari. Uch karrali integralni hisoblash

SAIDAZIMOV AVAZXO’JA

1-TOPSHIRIQ

1-MA’RUZA BO’YICHA
1.2-Mavzu: Uch karrali integral va uning xossalari. Uch karrali integralni hisoblash.
Uch karrali integral integral bo‘lib, integrallanayotgan funksiya uchta o‘zgaruvchiga ega bo‘ladi. U kosmosdagi uch o'lchamli hududning hajmini hisoblash uchun ishlatiladi. Uch karrali integralning umumiy yozuvi;
Uch karrali integral bir nechta xususiyatlarga ega bo'lib, uni uch o'lchovli hududlar hajmini hisoblash uchun kuchli vosita qiladi. Bu erda asosiy xususiyatlardan ba'zilari:

1. Chiziqlik: Uch karrali integral chiziqli operator bo‘lib, u quyidagi xususiyatlarni qanoatlantiradi:

∫∫∫E (f(x,y,z) + g(x,y,z)) dV = ∫∫∫_E f(x,y,z) dV + ∫∫∫_E g(x,y,z) dV

∫∫∫_E (cf(x,y,z)) dV = c ∫∫_E f(x,y,z) dV

bu yerda f(x,y,z) va g(x,y,z) integrallashayotgan funksiyalar, c doimiy va E biz integrallashayotgan fazodagi mintaqadir.

2. Qo‘shish qobiliyati: Uchlik integral mintaqalar bo‘yicha qo‘shimcha hisoblanadi, ya’ni agar E ni ikkita bir-biriga mos kelmaydigan E_1 va E_2 mintaqalariga bo‘lish mumkin bo‘lsa, u holda:

-∫∫∫_E f(x,y,z) dV = ∫∫∫_{E_1} f(x,y,z) dV + ∫∫∫_{E_2} f(x,y,z) dV

3. Simmetriya: Uch karrali integral hisoblarni soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan bir nechta simmetriya xususiyatlariga ega. Masalan, agar f(x,y,z) juft funksiya bo'lsa, u holda:

∫∫_E f(x,y,z) dV = 2 ∫∫∫_{E_+} f(x,y,z) dV

bu yerda E_+ fazodagi x geq 0 boʻlgan hudud.

4. O‘zgaruvchilarning o‘zgarishi: uch karrali integral o‘zgaruvchilar o‘zgarishidan foydalanib, fazodagi boshqa mintaqa bo‘yicha ekvivalent integralga aylantirilishi mumkin. Bu hisob-kitoblarni soddalashtirish yoki tartibsiz shakldagi hududlarni birlashtirish uchun foydali bo'lishi mumkin.

2.4-mavzu: Vektor maydonlar. Vektor maydon sirkulyatsiyasi.

Vektor maydoni fazodagi har bir nuqtaga vektor tayinlaydigan funksiyadir. Vektor maydonlari ko'pincha harakatlanuvchi suyuqlikning tezligi va yo'nalishi yoki kuchning kuchi va yo'nalishi kabi jismoniy hodisalarni modellash uchun ishlatiladi, chunki u bir nuqtadan ikkinchi nuqtaga o'zgaradi ¹. Vektor maydonlari ¹ domenining har bir nuqtasiga haqiqiy sonlarning n-kartasini bog'laydigan vektor qiymatli funksiya bilan ifodalanishi mumkin.

Vektor maydonining aylanishi - suyuqliklar dinamikasi, elektromagnetizm va fizika va texnikaning boshqa sohalarini o'rganishda ishlatiladigan tushuncha. Aslini olganda, u yopiq egri chiziq atrofida vektor maydonining oqimini o'lchaydi.
Matematik jihatdan F vektor maydonining ikki o'lchovli fazoda C yopiq egri chizig'i atrofida aylanishi chiziqli integrali bilan berilgan:

\[ \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \]

Bu erda \(\vec{F}\) vektor maydonini, \(d\vec{r}\) egri chiziq bo'ylab differensial siljishni, \(\cdot\) belgisi esa nuqta mahsulotini bildiradi. Ushbu integral vektor maydonining butun egri chiziq bo'ylab yig'ilgan egri chiziqqa tangens komponentini o'lchaydi.

Agar vektor maydoni uch o'lchamli bo'lsa, sirkulyatsiya yopiq egri chiziq bilan chegaralangan sirt ustida vektor maydonining burmasining sirt integrali bilan beriladi.
Jismoniy jihatdan vektor maydonining aylanishini berilgan yopiq egri chiziq atrofida vektor maydonining "aylanish" harakatining o'lchovi sifatida ko'rish mumkin. Bu suyuqlik dinamikasidagi girdob tushunchasi bilan chambarchas bog'liq va havo plyonkasi atrofidagi suyuqlik oqimi yoki elektromagnetizmdagi magnit maydonlarning harakati kabi hodisalarni tushunish uchun zarurdir.
Yopiq egri chiziq atrofida vektor maydonining sirkulyatsiyasi nolga teng bo'lmasa, bu sohada aylanma komponent mavjudligini ko'rsatadi. Bu suyuqlik harakati, magnit maydonlarning xatti-harakati va vektor maydonlari tomonidan boshqariladigan boshqa hodisalarni tushunishda asosiy tushunchadir.
Xulosa qilib aytganda, vektor maydonining aylanishi maydonning yopiq egri chiziq atrofidagi xatti-harakatlari haqida muhim tushunchalarni beradi va turli fizik hodisalarni o'rganishda asosiy tushunchadir.

2-TOPSHIRIQ

3.3-Mavzu: Kompleks ozgaruvchili funksiya, uning limiti va uzlusizligi.

Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari kompleks tahlilning asosiy qismi bo'lib, matematikaning kompleks sonlarning funktsiyalari bilan shug'ullanadigan bo'limidir. Murakkab o'zgaruvchining funktsiyasi kompleks sonlarni kirish va chiqish sifatida qabul qiladi.

Matematik jihatdan kompleks o‘zgaruvchining funksiyasini quyidagicha aniqlash mumkin: \( f \) \( \mathbb{C} \) dan \( \mathbb{C} \) gacha bo‘lgan kompleks sonlar kichik to‘plamidan funksiya bo‘lsin. Keyin funksiya \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \ ko'rinishini oladi, bu erda \( z = x + iy \) kompleks o'zgaruvchi va \( u() x,y) \) va \( v(x,y) \) \( x \) va \( y \) real o'zgaruvchilarning real qiymatli funksiyalaridir. Bu yerda \( u(x,y) \) va \( v(x,y) \) mos ravishda \( f \) ning haqiqiy va xayoliy qismlari deyiladi.

Murakkab o'zgaruvchilarning funktsiyalari haqiqiy qiymatli funktsiyalarga nisbatan o'ziga xos xususiyatlarga ega. Masalan, ular haqiqiy qiymatli funktsiyalarga qaraganda ancha kuchliroq ma'noda farqlanishi mumkin. Agar limit \( \lim{{\Delta z \to 0}} \frac{f(z0 + \Delta) bo'lsa, \( f(z) \) funksiya \( z0 \) nuqtada kompleks differentsiallanuvchi deyiladi. z) - f(z0)}{\Delta z} \) mavjud va \( \Delta z \) nolga yaqinlashgan yo`nalishdan mustaqil.

Murakkab funktsiyalarning o'ziga xosligi va qutblari bo'lishi mumkin va ularni Koshi teoremasi, kompleks integratsiya va kontur integratsiyasi kabi usullar orqali tahlil qilish mumkin. Bu funktsiyalar, shuningdek, murakkab xaritalash va murakkab dinamikani o'rganish kabi usullar orqali tasvirlanganda chiroyli va murakkab naqsh va tuzilmalarni keltirib chiqaradi.

Ular matematika, fizika va muhandislikning turli sohalarida, jumladan suyuqliklar dinamikasi, elektromagnetizm, signallarni qayta ishlash va kvant mexanikasida keng qo'llanilishini topadilar. Bundan tashqari, murakkab funktsiyalarni o'rganish raqamlar nazariyasi, algebraik geometriya va funktsiyalarning kengroq nazariyasi bilan chuqur bog'liq bo'lib, boy va xilma-xil matematik landshaftlarga olib keladi.

Xulosa qilib aytganda, murakkab o'zgaruvchining funktsiyalari kompleks tahlilning muhim qismi bo'lib, murakkab tekislikda aniqlangan funktsiyalarning harakatini tushunish va bir nechta fanlar bo'yicha turli xil ilovalarni topish uchun kuchli asosni taklif qiladi.

Murakkab o'zgaruvchining funktsiyalarining chegarasi va uzluksizligini muhokama qilganda, tushunchalar haqiqiy o'zgaruvchilarning funktsiyalari bilan chambarchas parallel bo'lib, kirish va chiqishning murakkab tabiati tufayli ba'zi sezilarli o'zgarishlar va noyob jihatlarga ega.

1. Kompleks o‘zgaruvchi funksiya chegarasi:

\( f(z) \) funksiyani ko'rib chiqamiz, bu erda \( z = x+iy \) kompleks o'zgaruvchi va \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) murakkab qiymatli funksiya boʻlib, mos ravishda \( u(x,y) \) va \( v(x,y) \) haqiqiy va xayoliy qismlarga ega. \( z \) kompleks songa yaqinlashganda \( f(z) \) chegarasi \( z0 = x0 + iy0 \) haqiqiy oʻzgaruvchi holiga oʻxshash tarzda aniqlanadi:
\[ \lim{{z \to z0}} f(z) = A \]
Chegara, agar har bir \( \varepsilon > 0 \) uchun \( \delta > 0 \) bo'lsa, shunday bo'lsa, shunday bo'ladiki, har doim \( 0 < |z - z0| < \delta \), keyin \( |f (z) - A| < \varepsilon \). Aslini olganda, \( f(z) \) \( z \) \( z0 \) ga yaqinlashganda \( A \) qiymatiga yaqinlashadi.

2. Murakkab o‘zgaruvchi funksiyaning uzluksizligi:

Kompleks o‘zgaruvchining \( f(z) \) funksiyasi \( z = z0 \) nuqtada uzluksiz deyiladi, agar funksiyaning \( z \) yaqinlashganda \( z0 \) chegarasi mavjud bo‘lsa va bo‘lsa. o'sha nuqtadagi funktsiya qiymatiga teng:
\[ \lim{{z \to z0}} f(z) = f(z0) \]
Funktsiya \( D \) domenida uzluksiz bo'ladi, agar u \( D \) ning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.

Haqiqiy o'zgaruvchan funktsiyalardan muhim farq shundaki, Koshi-Riman tenglamalari murakkab funktsiyalarning uzluksizligi va differentsialligini tavsiflashda asosiy rol o'ynaydi. Agar \( f(z) \) funksiya uning haqiqiy va xayoliy qismlari \( u(x,y) \) va \( v(x,y) \) bilan ifodalansa, funksiya deyiladi. Agar \( u \) va \( v \) ning qisman hosilalari \( z0 \) da Koshi-Riman tenglamalarini qanoatlantirsa, \( z = z0 \) nuqtada kompleks differentsiallanadi.

Murakkab o'zgaruvchan funktsiyalarning chegaralari va uzluksizligini o'rganish potentsial nazariya, garmonik funktsiyalar va fizika va muhandislikdagi keng ko'lamli ilovalar kabi turli sohalarni asoslaydigan kompleks tahlilni tushunish uchun juda muhimdir. Bundan tashqari, bu tushunchalar Koshi integral teoremasi va qoldiq teoremasi kabi kompleks tahlilning kuchli teoremalari uchun asos yaratishda hal qiluvchi ahamiyatga ega.

4.5-Mavzu: Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli formulasi. Muavr-Laplasning lokal va integral teoremalari. Puasson formulasi.

Sinovlarning takrorlanishi, shuningdek, test-qayta sinov ishonchliligi sifatida ham tanilgan, test yoki o'lchovning vaqt o'tishi bilan izchilligi va barqarorligini baholash uchun ishlatiladigan ishonchlilik o'lchovidir. U odatda psixologiya, ta'lim, sog'liqni saqlash va tadqiqot kabi turli sohalarda test natijalari izchil va takrorlanuvchan bo'lishini ta'minlash uchun qo'llaniladi.

Sinovlarni takrorlashda bir xil test yoki o'lchov bir xil shaxslar guruhiga ikkita alohida holatda qo'llaniladi. Keyin testning ishonchlilik darajasini aniqlash uchun ikkita ma'muriyat natijalari taqqoslanadi.

Sinovlarni takrorlashda asosiy fikrlar quyidagilardan iborat:

1. Muvofiqlik: Maqsad, testdan olingan ballar yoki o'lchovlar ikki ma'muriyatda mos kelishini baholashdir. Izchil natijalar shuni ko'rsatadiki, test ishonchli va vaqt o'tishi bilan barqaror natijalar beradi.

2. Vaqt oralig'i: Sinovning ikki ma'muriyati o'rtasidagi vaqt oralig'i muhim omil hisoblanadi. Interval xotira yoki o'rganish effektlarining ta'sirini minimallashtirish uchun etarlicha uzun bo'lishi kerak, shuningdek, o'lchanayotgan asosiy konstruktsiya barqaror bo'lib qolgan deb taxmin qilish uchun etarlicha qisqa bo'lishi kerak.

3. Statistik tahlil: Testlarni takrorlash natijalarini tahlil qilish uchun turli statistik usullardan foydalaniladi. Bular ikkita ma'muriyatdan olingan ballar o'rtasidagi korrelyatsiyani hisoblash, sinf ichidagi korrelyatsiya koeffitsientlaridan foydalanish yoki Cronbach alfa kabi ishonchlilikning boshqa ko'rsatkichlarini qo'llashni o'z ichiga olishi mumkin.

4. Sinovni o'zgartirish: Ba'zi hollarda natijalarga ta'sir qiladigan amaliyot effektlari yoki charchoq ehtimolini kamaytirish uchun test ma'muriyati o'rtasida biroz o'zgartirilishi kerak bo'lishi mumkin.

5. Tashqi omillar: Tadqiqotchilar, shuningdek, takroriy test natijalariga ta'sir qilishi mumkin bo'lgan tashqi omillarni, masalan, ishtirokchilarning sog'lig'i holati, atrof-muhit sharoitlari yoki boshqa vaziyat o'zgaruvchilari o'zgarishini hisobga oladi.

Umuman olganda, testlarni takrorlash o'lchovlarning izchilligi va barqarorligi haqida qimmatli tushunchalarni beradi, bu tadqiqotchilar va amaliyotchilarga o'zlari ishlatayotgan testlarning ishonchliligi va asosliligi to'g'risida ongli qaror qabul qilish imkonini beradi. Bu, shuningdek, testlardan olingan natijalar ishonchli bo'lishini va turli sohalarda xulosalar yoki qarorlar qabul qilish uchun ishonchli ishlatilishini ta'minlashga yordam beradi.

Shveytsariya matematigi Daniel Bernulli nomi bilan atalgan Bernulli formulasi suyuqliklar dinamikasidagi asosiy tenglama bo‘lib, u ko‘pincha turli muhandislik va fizika kontekstlarida qo‘llaniladi. Formula suyuqlik oqimidagi oqim chizig'i bo'ylab energiyani saqlash printsipidan kelib chiqadi. Bu oqim chizig'i bo'ylab barqaror oqimda suyuqlik bosimi, tezligi va balandligi qanday bog'liqligi haqida tushuncha beradi.

Formula turli xil shakllarda ifodalanishi mumkin, ammo siqilmaydigan, barqaror, o'zgarmas suyuqlik oqimining umumiy shakli quyidagicha:
[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant} \]
Qayerda:
- \( P \) - oqim chizig'i bo'ylab berilgan nuqtadagi suyuqlik bosimi.
- \( \rho \) - suyuqlikning zichligi.
- \( v \) - suyuqlikning shu nuqtadagi tezligi.
- \( g \) - tortishish ta'sirida tezlanish.
- \( h \) - oqim chizig'i bo'ylab nuqtaning mos yozuvlar darajasiga nisbatan balandligi.
- Butun summa oqim chizig'i bo'ylab doimiydir.
Bu tenglama oqim chizig'ining istalgan nuqtasida suyuqlikning massa birligiga to'g'ri keladigan energiyani qamrab oladi. U mos ravishda suyuqlikning bosim energiyasi, kinetik energiyasi va potentsial energiyasiga mos keladigan uchta shartni o'z ichiga oladi.
Bernulli formulasining asosiy ta'siri va qo'llanilishi quyidagilardan iborat:
1. Oqim dinamikasi: Bernulli tenglamasi suyuqlik oqimidagi bosim, tezlik va ko'tarilish o'rtasidagi muvozanat haqida tushuncha beradi, ayniqsa quvurlar, nozullar va venturislar orqali oqim kabi stsenariylarda.
2. Aero- va gidrodinamika: formula havo va suvning turli tizimlarda, jumladan, havo pardasi, suv to'g'onlari va gidravlik sakrashlarda harakatini tushunish uchun tegishli.
3. Muhandislik ilovalari: Odatda ventilyatsiya tizimlarini loyihalash, quvurlardagi oqim tezligini hisoblash va suyuqlik va gazlarning haqiqiy stsenariylarda harakatini tushunish kabi muhandislik dasturlarida qo'llaniladi.
4. Cheklovlar va taxminlar: Shuni ta'kidlash kerakki, Bernulli tenglamasi aniq farazlar ostida olingan, masalan. u yopishqoqlik, siqilish yoki issiqlik uzatishni hisobga olmaydi.
Umuman olganda, Bernoulli formulasi suyuqlik oqimlarini tushunish va tahlil qilish uchun kuchli vosita bo'lib, uning qo'llanilishi mashinasozlik, qurilish muhandisligi, aeronavtika va suyuqliklar mexanikasi kabi ko'plab sohalarda qo'llaniladi.

Sizning savolingizda biroz chalkashlik bo'lishi mumkinligiga ishonaman. Laplas tenglamasi va Laplas konvertatsiyasi muhim matematik tushunchalardir, ammo standart matematikada taniqli "Mouavr-Laplasning mahalliy va integral teoremasi" yo'q.

Biroq, agar siz Laplas tenglamasi va Laplas konvertatsiyasi bilan qiziqsangiz, men ushbu ikkita muhim matematik mavzu haqida batafsil ma'lumot berishdan mamnun bo'laman. Laplas tenglamasi, Laplas konvertatsiyasi yoki boshqa matematik tushunchalar haqida bilishni xohlasangiz, menga xabar bering, men sizga mamnuniyat bilan yordam beraman.

Puasson formulasi matematikada, xususan, kompleks tahlil va qisman differensial tenglamalar sohalarida turli xil ilovalarga ega. Puasson formulasining ikkita asosiy talqini:

1. Kompleks tahlil:
Kompleks tahlilda Puasson formulasi garmonik funktsiyani (Laplas tenglamasini qanoatlantiruvchi funktsiya) diskdagi chegaraviy qiymatlari bo'yicha ko'rinishidir. Agar \( u \) ochiq diskda aniqlangan garmonik funksiya bo'lsa \( D \), u holda diskdagi \( z \) nuqtada \( u(z) \) qiymatini quyidagi yordamida ifodalash mumkin. Puasson integrali:
\[ u(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|e^{i\theta} - z|^2 } f(e^{i\theta}) d\theta \]
Bu yerda \( f \) - \( D \) chegarasida berilgan funksiya.

2. Qisman differentsial tenglamalar:

Poitsial nazariyadagi Puasson tenglamasi kontekstida Puasson formulasi tegishli chegara shartlari bilan \( \mathbb{R}^n \) doirasidagi sohadagi Puasson tenglamasining yechimini tavsiflaydi. Bu funktsiya va Green funksiyasining chegaraviy qiymatlarining integrali sifatida sohaning istalgan nuqtasida Puasson tenglamasining yechimini ifodalash usulini taqdim etadi.

Ikkala holatda ham Puasson formulasi bizga domen ichidagi funktsiyaning harakatini uning domen chegarasidagi xatti-harakati bilan bog'lash imkonini beradi.

Puasson formulasi matematik fizikada garmonik funktsiyalar, potentsial nazariya va qisman differentsial tenglamalarni o'rganish bilan bog'liq turli muammolarni hal qilishda hal qiluvchi vositadir.