1. Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida. Aniq integralning ta’rifi va uning geometrik ma’nosi. Aniq integralning asosiy xossalari

Misol: integralni hisoblang:
Yechish: almashtirish olamiz, bo’lib,
bo’lganda, bo’ladi.
Shunday qilib,
natijaga ega bo’lamiz.
Bo’laklab integrallash

formulasidan foydalanamiz:
Agar funksiya kesmada uzluksiz, funksiya esa differensiallanuvchi bo’lib, shu bilan birga , bo’lsa, u holda ushbu tenglik o’rinli:

Ko’pincha o’rniga qo’yish o’rniga teskari almashtirishdan foydalaniladi. Bu holda integrallashning yangi chegaralari va bevosita va tengliklardan topiladi. Bunda integrallash chegaralarini almashtirishni quyidagi jadval jadval shaklida yozish qulay.



Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash
funksiya grafigi, ikkita to’g’ri chiziqlar va o’qi bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bunday egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(1)
formula bilan hisoblanadi
Umumiy hol, ya’ni chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(2)
aniq integralga teng bo’ladi .
chiziqlar bilan chegaralangan yuza
(3)
aniq integral bilan hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik

tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda shu egri chiziq , to’g’ri chiziqlar va o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
(4)
formula bo’yicha hisoblanadi, bunda va tenglamalardan aniqlanadi.
funksiya grafigi va , ikkita nur bilan chegaralangan figura egri chiziqli sektor deyiladi, bunda va qutb koordinatalari. Egri chiziqli sektorning yuzi

formula bo’yicha hisoblanadi.
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. To’g’ri burchakli koordinatlar sistemasida kesmada silliq (ya’ni hosila uzluksiz) bo’lsa, bu egri chiziq yoyining uzunligi
(5)
formula yordamida hisoblanadi.
Egri chiziq parametrik tenglama

Parametrik tenglamalar bilan berilgan bo’lsa, bu egri chiziqning parametrning monoton o’zgarishiga mos yoyning uzunligi bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi

aniq integral bilan hisoblanadi.
Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarida tenglama bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi
(6)
formula bilan hisoblanadi.