1. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish

---

1- mavzu: Teskari matrisa. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. 
Dars rejasi: 
1.
 
Chiziqli tenglamalar sistemasi. 
2.
 
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish va tekshirish. 
3.
 
Kramer qoidasi. 
4.
 
Matritsa usuli. 
 
Teskari matritsa. 
6-ta’rif. Bizga A – kvadrat matritsa berilgan bo’lsin. Agar 
X
– kvadrat matritsa ( tartibi 
A
matritsanikiga teng) uchun 
bo’lsa, u holda 
X
– matritsa 
A
matritsaga teskari 
matritsa deyiladi. 
Umuman olganda matritsalarni ko’paytirish kommutativ bo’lmaganligi sababli 
ligini hisobga olishimiz kerak, lekin 
matritsaga quyidagi ikki shart qo’yiladi: 
va 
. Bundan 
matritsani 
matritsa uchun ikki tomonlama teskari matritsa deyish 
mumkin. Agar boshqa 
va 
matritsalarni olsak va 
va 
bo’lsa, u holda 
matritsa o’ng teskari matritsa, 
esa chap teskari matritsa deyiladi. Agar o’ng va chap teskari 
matritsalar teng bo’lsa, bunday matritsa teskari matritsa deyiladi: 
. 
Agar matritsa maxsus bo’lsa, unga teskari matritsa mavjud emas, agar matritsa maxsusmas 
bo’lsa, unga teskari matritsa doimo mavjud. 
1.
Matritsalarni qo'shish amali uchun kommutativlik – o'rin almashtirish xossasi o'rinli, ya'ni
A
B
B
A



;
2.
Matritsalarni qo'shish amali uchun assotsiativlik- guruhlash xossasi o'rinli, ya'ni


)
(
C
B
A
C
B
A





; 
3.
Matritsalarni songa ko'paytirishda qo'shishga nisbatan distributivlik xossasi o'rinli, ya'ni 
B
A
B
A









)
(
4.
Matritsalarnikupaytirishamalidakushishganisbatandistributivlikxossasio'rinli, ya'ni 


C
A
B
A
C
B
A






yoki
C
B
C
A
C
B
A






)
(
; 

---

5.
Matritsani songa ko'paytirish va matritsalarni matritsaga ko'paytirish orasida quyidagi xossa 
o'rinli, ya'ni 

  
 
.
B
A
B
A
B
A









; 
6.
Matritsalarni ko'paytirish amali uchun guruhlash xossasi o'rinlidir, ya'ni 
C
B
A
C
B
A





)
(
)
(
. 
Natural 
k 
son uchun quyidagi tenglik orqali 



марта
k
k
A
A
A
A





...
A 
matritsaning « 
k
-darajasi» ni aniqlaymiz. U quyidagi xossalarga ega:
0
1
,
, (
)
,
.
m n
mn
m
n
m n
A
E A
A A
A
A A
A





Eslatma.
0
m
A

ekanligidan 
0
A

kelib chiqdi. 
Shartliravishda
E
A

0
va
A
A

1
debqabulqilinadi.
3
Biror 
tartibli …matritsaning 
ta yo’li va 
ustunini olib, 
kxk
tartibli kvadrat 
matritsa tuzamiz. Bu kvadrat matritsa determinanti A matritsaning 
tartibli minori deyiladi. 
Bunday k tartibli minorlar bir nechta bo’lib, ular turli xil qiymat qabul qilishi mumkin. 
Ular orasida noldan farqli bo’lgan yuqori tartibli minorni topish muhimdir. 
A matritsaning noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibi uning rangi deyiladi va rang 
A ko’rinishda belgilanadi.
Misol. rangini toping. 
bo’lganligi uchun rang A 
Rang hisoblashda turli xil deteminantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Shuning uchun rang 
hisoblashning osonroq usullaridan birini keltiramiz. 
Berilgan matritsada
1) ikki parallel qator o’rinlarini almashtirish, 
2) biror qatorni o’zgarmas songa ko’paytirish, 
3) biror qatorga o’zgarmas songa ko’paytirilgan boshqa parallel qatorni qo’shish. 
shu matritsaning elementar almashtirishlari deyiladi. 
Elementaralmashtirishlarmatritsaranginio’zgartirmaydi. 
Demak, matritsa dioganal ko’rinishga keltiriladi va rangi oson topiladi.
3
Gerd Baumann, Mathematics for Engineers.II. Oldenburg Wissenschaftsverlag 
GmbH,Munchen, 2010.217-218 bet.

---

Misol.
matritsani rangini toping. 
Dastlab, 1-yo’lni (-1) ga ko’paytrib 4-yo’lga , (-3) ga ko’paytrib 2, 3–yo’llarga qoshamiz: 
2–yo’lini (-1) ga ko’paytrib, 3, 4-yo’llarga qo’shamiz: 
3-yo’lini (-1) ga ko’paytrib , 4- yo’lga qo’shamiz: 
Bu matritsaningnoldan farqli eng katta minorlaridan biri 
bo’ladi va 
ekanligidan rang A=3 
Ushbu ko‘rinishdagi 
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
,
...
,
.....................................
...
n
n
n
n
m
m
mn
n
m
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

 




 






 


tenglama