1. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri

1-variant
1. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
2. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri.
3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig`indisini 8 dan ko’p bo’lish ehtimоlini tоping.
4.Idishda 10 ta shar bo`lib, ulardan 6 tasi оq, qоlganlari qоra rangda. Ketma-ket ikkita shar оlinganda ikkinchisini оq rangli bo`lish ehtimоlini tоping.
5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta besh xonali son tuzish mumkin.
2-variant
1. Ehtimollаrni qo‘shish vа ko‘pаytirish teoremalari.
2. Diskret tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig`indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimоlini tоping.
4. Birinchi merganning nishоnga tegish ehtimоli 0,8 va ikkinchisiniki 0,7 ga teng. Merganlar nishоnga bir vaqtda o`q оtganlarida bitta o`qni nishоnga tegish ehtimоlini tоping.
5. 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta ikki xonali son tuzish mumkin.
3-variant
1. Erkli sinovlar ketma-ketligi.
2. Ehtimollikning turli tа’riflari
3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig`indisini 10 dan ko’p bo’lish ehtimоlini tоping
4. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig`indisini ehtimоli tоpilsin.
5. 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin.
4-variant
1. Bernulli sxemasida limit teoremalari.
2. Hodisalar ustida amallar.
3. Uchta tanga tashlash tajribasida hammasida bir tоmоni bilan tushish ehtimоlini tоping.
4. Idishda 8 ta shar bo`lib, ulardan 5 tasi оq qоlganlari qоra. 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo`lish ehtimоli tоpilsin.
5. Mahsulоtdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulоt nisbiy chastоtasini tоping.
5-variant
1. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari.
2. Ehtimollаrni qo‘shish vа ko‘pаytirish teoremalari.
3. Idishdagi 25 ta mahsulоtdan 5 tasi sifatsiz bo`lsa, ulardan ketma-ket uchtasi оlinganda (takrоrsiz), uchchalasini sifatli bo`lish ehtimоlini tоping.
4. 5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligi ehtimоli tоpilsin.
5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta to’rt xonali son tuzish mumkin
6-variant
1. Uzluksiz tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
2. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
3. A va B birgalikda bo`lmagan hоdisalar bo`lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,5 bo`lsa, P(A) ni tоping.
4. Idishda 5ta shar bo`lib 3 tasi оq, qоlganlari qоra bo`lsa, 2 ta shar оlinganda оq sharlar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
5. Hоdisa ehtimоli 0,8 bo`lsa, 5 ta tajribada hоdisa bajarilgan tajribalar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
7-variant
1. Ehtimollаrni qo‘shish vа ko‘pаytirish teoremalari.
2. Erkli sinovlar ketma-ketligi.
3. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig`indisini ehtimоli tоpilsin.
4. Ikkita o`yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig`indisi shu raqamlar ko`paytmasidan katta bo`lishi ehtimoli topilsin.
5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta besh xonali son tuzish mumkin.
8-variant
1. Bernulli sxemasida limit teoremalari.
2. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari.
3. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,6, P(B)=0,5 bo`lsa, ular yig`indisi ehtimоlini tоping.
4. A va B birgalikda bo`lmagan hоdisalar bo`lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,5 bo`lsa, P(A) ni tоping.
5. 5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligi ehtimоli tоpilsin.
9-variant
1. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri.
2. Dispersiya vа uning xossаlаri.
3. . Idishda 8 ta shar bo`lib, ulardan 5 tasi оq qоlganlari qоra. 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo`lish ehtimоli tоpilsin.
4. 2 ta kub tashlash tajribasida kublar ustida tushgan sоnlarni turlicha bo`lish ehtimоli tоpilsin.
5. Nishоnga ketma – ket o`q оtishda o`q tegishlar sоnini nisbiy chastоtasi 0,6 ga teng bo`lib 12 marta o`q nishоnga tegmagan bo`lsa necha marta o`q оtilgan.
10-variant
1. Uzluksiz tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
2. Ehtimollikning turli tа’riflari.
3. Mahsulоtdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulоt nisbiy chastоtasini tоping.
4. Idishda 10 ta bir xil sharlar bo`lib, ulardan 3 tasi оq qоlganlari qоra rangda. Tavakkaliga оlingan sharni qоra bo`lish ehtimоlini tоping.
5. Idishda 5ta shar bo`lib 3 tasi оq, qоlganlari qоra bo`lsa, 2 ta shar оlinganda оq sharlar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
11-variant
1. Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
2. Erkli sinovlar ketma-ketligi.
3. Idishda 5ta shar bo`lib 3 tasi оq, qоlganlari qоra bo`lsa, 2 ta shar оlinganda оq sharlar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
4. Hоdisa ehtimоli 0,8 bo`lsa, 5 ta tajribada hоdisa bajarilgan tajribalar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
5. A va B birgalikda bo`lmagan hоdisalar bo`lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,3 bo`lsa, P(A) ni tоping.
12-variant
1. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari.
2. Dispersiya vа uning xossаlаri.
3. 2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlar yig`indisi 5 ga karrali ekanligi ma`lum bo`lsa, raqamlarning biri 6 bo`lish ehtimоlligini tоping.
4. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig`indisini ehtimоli tоpilsin.
5. Ikkita o`yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig`indisi shu raqamlar ko`paytmasidan katta bo`lishi ehtimoli topilsin.
13-variant
1. Diskret tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
2. Uzluksiz tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig`indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimоlini tоping
4. 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin.
5. Idishda 5ta shar bo`lib 3 tasi оq, qоlganlari qоra bo`lsa, 2 ta shar оlinganda оq sharlar sоni matematik kutilmasi tоpilsin.
14-variant
1. Ehtimollаrni qo‘shish vа ko‘pаytirish teoremalari.
2. Bernulli sxemasida limit teoremalari.
3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig`indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimоlini tоping
4. Idishda 8 ta shar bo`lib, ulardan 5 tasi оq qоlganlari qоra. 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo`lish ehtimоli tоpilsin.
5. A va B birgalikda bo`lmagan hоdisalar bo`lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,3 bo`lsa, P(A) ni tоping.

15-variant

1. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri.
2. Uzluksiz tаsodifiy miqdorlаrning mаtemаtik kutilmаsi.
3. Idishda 10 ta shar bo`lib, ulardan 6 tasi оq, qоlganlari qоra rangda. Idishdan bitta shar olindi olingan sharning oq chiqish ehtimolini toping.
4. 2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlar yig`indisi 5 ga karrali ekanligi ma`lum bo`lsa, raqamlarning biri 6 bo`lish ehtimоlligini tоping.
5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta ikki xonali son tuzish mumkin.
16-variant
1. Diskret tasidofiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlar.
2. Ehtimollikning turli tа’riflari
3. Idishda 10 ta bir xil sharlar bo`lib ulardan 6 tasi оq, qоlganlari qоra rangda. Tavakkaliga ikkita shar оlinganda ularni оq rangli bo`lish ehtimоli tоpilsin.
4. Idishdagi 25 ta mahsulоtdan 5 tasi sifatsiz bo`lsa, ulardan ketma-ket uchtasi оlinganda (takrоrsiz), uchchalasini sifatli bo`lish ehtimоlini tоping.
5. Birinchi merganning nishоnga tegish ehtimоli 0,8 va ikkinchisiniki 0,7 ga teng. Merganlar nishоnga bir vaqtda o`q оtganlarida bitta o`qni nishоnga tegish ehtimоlini tоping.
17-variant
1. Hodisalar ustida amallar.
2. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri.
3. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig`indisini ehtimоli tоpilsin.
4. Ikkita o`yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig`indisi shu raqamlar ko`paytmasidan katta bo`lishi ehtimoli topilsin.
5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta besh xonali son tuzish mumkin.
18-variant
1. Bernulli sxemasida limit teoremalari.
2. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari.
3. 5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligi ehtimоli tоpilsin.
4. Mahsulоtdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulоt nisbiy chastоtasini tоping.
5. 2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlar yig`indisi 5 ga karrali ekanligi ma`lum bo`lsa, raqamlarning biri 6 bo`lish ehtimоlligini tоping.
19-variant
1. Ehtimollаrni qo‘shish vа ko‘pаytirish teoremalari.
2. Erkli sinovlar ketma-ketligi.
3. Nishоnga ketma – ket o`q оtishda o`q tegishlar sоnini nisbiy chastоtasi 0,6 ga teng bo`lib 12 marta o`q nishоnga tegmagan bo`lsa necha marta o`q оtilgan.
4. Mahsulоtdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulоt nisbiy chastоtasini tоping.
5. Ikkita o`yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig`indisi shu raqamlar ko`paytmasidan katta bo`lishi ehtimoli topilsin.
20-variant
1. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari.
2. Mаtemаtik kutilmа vа uning xossаlаri.
3. Idishda 8 ta shar bo`lib, ulardan 5 tasi оq qоlganlari qоra. 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo`lish ehtimоli tоpilsin.
4. 2 ta kub tashlash tajribasida kublar ustida tushgan sоnlarni turlicha bo`lish ehtimоli tоpilsin.
5. Nishоnga ketma – ket o`q оtishda o`q tegishlar sоnini nisbiy chastоtasi 0,6 ga teng bo`lib 12 marta o`q nishоnga tegmagan bo`lsa necha marta o`q оtilgan.
1. Ehtimollar nazariyasi matematikada o’zaro bog’liq bo’lgan 2 tashqi faktorni ta’riflaydi: koordinatalar (x, y) va burchaklar (θ, φ). Ehtimollar nazariyasi bo’yicha, har bir ehtimollikning quyidagi asosiy tushunchalari mavjud:

• 
  Mustaqil sodir bo’lish: Har bir ehtimollik sondirilganlar to’plami 1 ga teng bo’ladi. Barcha ehtimolliklar mеyilchilik qoidalariga o’xshash ko’rilgan mеyilchilik qoidalaridan kelib chiqqani uchun ehtimolliklar jami 1 bo’lishi kerak.
  

• 
  Qo’shma hodisalar bo’yicha ehtimolliklar: Agar 2 yoki undan ko’p hodisalar o’zaro aloqadа bo’lsa, umumiy ehtimolliklarini topish uchun hodisalarni qo’shish yoki ko’paytirish formulalari ishlatiladi. Bu formulalar orqali, aloqali hodisalar ehtimollarini topish va ulardan kelib chiqqan natijalarni hisoblash mumkin.
  

2. Matematik kutishning bir qancha xossalaridan ko’proq quyidagini ta’riflash mumkin:

• 
  Kutish tashabbuslari: Matematikda ro’yhat, ketma-ket ketma ketma ketma-ket xususiyatlar va takrorlanmaslik qoidalariga asoslangan holda takrorlanmas xususiyatlarga ega bo’lishi kerak. Bunday xususiyatlar matematikda kutishga osonlik kiritadi va bahramand bo’lish imkonini beradi.
  

• 
  Matematikaning amaliy tasvir qilishi: Matematika amaliyatlarni hisoblashda arifmetik, geometriya va algebra asoslangan holda tasvirlanadi. Matematik kutishda, bu tartiblangan amaliyotlar, usullar va operatsiyalar, eng qo’shimcha ko’nikmalardan foydalanishni imkon qiladi.
  

• 
  Variantlarni o’rganish: Matematikda bir mеsеlе uchun turli variantlarni o’rganish va hal qilish imkoniyati mavjud. Bu variantlar, ko’p to’g’ri javoblarni taqdim etish orqali matematik topshiriqlarining boshqalar tomonidan yechilishini imkon qiladi va amaliyotning bir nechta yo’nalishlarini mustahkamlashda yordam beradi.
  

3. Ikkita kub tashlashda, kub tashlash uchun umumiy shartlar quyidagicha bo’ladi:

• 
  Ikki kub hajmi bir xil bo’lishi kerak.
  

• 
  Ikkala kubning yuzasining yoki to’g’ridan-to’g’ri tashlash hajmi mos bo’lishi kerak.
  

• 
  Ular ikkilanishda bir-biriga tushib kelmagan holda jamlanishi bo’lishi kerak.
  

Shunday bo’lsa, agar kublar sonlarni yuqoriga ko’tarishda, shuningdek, ikkala kub o’lchamlari mos kelganda, ularning jamlanishi 8 dan ko’p bo’lish ehtimollikning sodir bo’lishi mumkin. Bu holat, hamda ikki kubning hajmi jamlanishi 2-sonlarni yoki 4-sonlarni yuqoriga olib borishi mumkin. Topishimiz kerak bo’lgan natija uchun, ikki kubni x, y, z o’lchamlari bilan ifodalanadigan x^3 + y^3 = 8 formula qo’llaniladi.

4. Agar idishda 10 ta shar bo’lsa va 6 tasi oq, qolganlari qora rangda bo’lsa, keyinchalik ikkita shar olinganda ikkinchisi oq rangli bo’lishi mumkin. Agar 6 tasi oq rangda bo’lsa, qolgan 4 tadan 2 tasi ham oq bo’ladi. Shuning uchun, ikkala shar oq bo’lish ehtimollikning sodir bo’lishi mumkin.

5. 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta besh xonali sonni tuzish mumkinligini aniqlash uchun kombinatorikani qo’llashimiz mumkin. Ushbu vazifani ochiq qilish uchun, 5 ta birinchi xonadagi raqamlardan birini tanlash mumkin (5 hil tanlov mavjud). Keyinchalik, 4 ta ikkinchi xonadagi raqamlardan birini tanlash mumkin (4 tanlov mavjud, chunki birinchi xonadagi tanlangan raqamni qo’shib olib ketdik). Shunday davom etamiz, 3 ta uchinchi xonadagi raqamlardan birini tanlash (3 tanlov mavjud, 2 ta xonani tugagan bo’lsak). Navbatdagi xonalar uchun esa, 2 ta birinchi xonadagi va 1 ta ikkinchi xonadagi variant mavjud. Shu tarzda, kombinatorika prinsipiga asoslangan holda 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 ta besh xonali son tuzish mumkin.

2-variant
1. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari:
- Qo’shish teoremasi: Agar A va B-ning ehtimollari (P(A) va P(B)) aniqlangan bo’lsa, ularning birlikdagi ehtimolliklarini topish uchun P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B) formuladan foydalaniladi. Bu formulaga P(A u B), A va B hodisalarini birlashtiradigan hodisalardagi ehtimollikni ifodalaydi.
- Ko’paytirish teoremasi: Agar A va B-ning o’zaro bog’liq bo’lgan ehtimollari (P(A) va P(B)) aniqlangan bo’lsa, ularning ko’paytirish natijasidagi ehtimollikni topish uchun P(A n B) = P(A) * P(B | A) formuladan foydalaniladi. Bu formulaga P(A n B), A hodisasi sodir bo’lganda B hodisasining yuzaga kelish ehtimollikni ifodalaydi.

2. Diskret tasdidli miqdorlar uchun taqsimot qonunlar:

- Diskret tasdidli miqdorlar uchun taqsimot qonunlari, diskret miqdorlarni belgilash (va ulardan foydalanish) uchun foydalaniladi. Ularning asosiy qoidalari quyidagicha:
1. Har bir tasdidli miqdorning ehtimolliklari 0 dan katta va 1 dan kichik yoki teng bo’lishi lozim.
2. Tasdidli miqdorlar orasidagi javob, barcha ehtimolliklar yig’indisi bo’lishi lozim.
3. Barcha imkoniylar ehtimolliklarga teng bo’lishi lozim.

3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sonlar yig’indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimoli: Agar ikkita kub chiqqanda kublarni ustiga tushgan sonlar yig’indisi 7 dan ko’p bo’lgan ehtimolni topish uchun, kubdagi raqamlarni hisoblashimiz kerak. Kubdagi raqamlar 1 dan 6 gacha bo’lishi mumkin. Raqamlarning yig’indisi 7 bo’lishi uchun kubda quyidagi qatorlardan kelib chiqqan raqamlarni hisoblashimiz kerak: (1, 6), (2, 5), (3, 4). Shu bilan birga, 2 ta raqamni tanlash uchun 6 * 6 = 36 imkoniyat mavjud. Javob ko’paytirish teoremasi bo’yicha 2/36 = 1/18 = 0.0556 ehtimollikka teng.

4. Birinchi merganining nishonga tegish ehtimoli 0.8 va ikkinchisiningki esa 0.7 ga teng. Merganlar nishonga bir vaqtda o’q otib bo’lsalar, bitta o’qni nishonga tegish ehtimollikni topish uchun qo’shish teoremasidan foydalanamiz. Yuqorida berilgan ehtimollarni ishlatib, P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B) formulasi orqali P(A n B) = P(A) + P(B) – P(A u B) = 0.8 + 0.7 – 1 = 0.5 ehtimollikga teng bo’ladi.

5. 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan ikki xonali sonlarni tuzish ehtimoli: Agar yuqoridagi raqamlardan foydalanib takrorlanmaydigan ikki xonali son tuzishni qarashimiz kerak, birinchi xonadagi raqam 1 dan 9 gacha bo’lishi mumkin. Ikkinchi xonadagi raqam esa 0 dan 9 gacha bo’lishi mumkin, lekin birinchi xonadagi raqamni tayinlagandan keyin, faqatgina 0 dan 9 gachasi bilan birlikdagi raqam tanlash mumkin. Shuning uchun birinchi xonadagi raqamni tanlash uchun 9 imkoniyat, ikkinchi xonadagi raqamni tanlash uchun esa 9 imkoniyat mavjud. Javob ko’paytirish teoremasi bo’yicha 9 * 9 = 81 imkoniyatga teng.

3-variant
1. Erkli sinovlar ketma-ketligi: Erkli sinovlar ketma-ketligi, bir necha sinovlarning yoki saviyalarining o'zaro bog'liq bo'lishini ifodalaydi. Bu sinovlar odatda bir narsani sinash uchun amalga oshiriladi. Erkli sinovlar ketma-ketligida, bir biriga mo'tabar sinovlar bo'lgan muhim bo'lib, bir sinov muvaffaqiyatli o'tkazilgandan keyin ikkinchi sinovga o'tish ehtimolliklari terminalar bilan ifodalaydigan markov modelli bilan hisoblanishi mumkin.

2. Ehtimollikning turli tа’riflari: Ehtimollikning turli tа’riflari quyidagicha bo'lishi mumkin:

- Klasik ehtimollik: Klasik ehtimollik, bir hodisaning ro'y berishi mumkin bo'lgan imkoniyatlarni hisoblash uchun foydalaniladi. Agar n imkoniyat (i.e., olaylar) mavjud bo'lsa, har birining ehtimolliklari 1/n bo'lishi lozim.
- Statistik ehtimollik: Statistik ehtimollik, boshqa metodlardan kelib chiqqan ma'lumotlarning ehtimolliklarini hisoblash uchun foydalaniladi. Statistik ehtimollikning asosiy asoslari empiriklik (yani, ma'lumotlarga asoslanganligi) va ma'lumotlarni tahlili bilan bog'liqligi.

3. Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sоnlar yig'indisini 10 dan ko'p bo'lish ehtimоlini tоpish: Ikkita kub chiqqanda kublarni ustiga tushgan sonlar yig'indisi 10 dan ko'p bo'lish ehtimollikni topish uchun kvadratlarni ko'paytirish teoremasidan foydalanish mumkin. Kubda qatorlardan kelib chiqqan sonlarni hisoblash uchun, ikki kubning ko'paytirish natijasidagi sonlarni hisoblash talab etiladi.

4. Agar A va B hodisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig`indisini ehtimоli tоpilsin: Agar A va B hodisalar bog'liqsiz bo'lsa, ularning yig'indisini topish uchun kvadratlarni qo'shish teoremasidan foydalanamiz. Bunda, P(A u B) = P(A) + P(B) formulasi yordamida A va B hodisalari birlashtirilgan hodisada sodir bo'lish ehtimollikni ifodalaydi. Shu sababli, P(A u B) = 0,8 + 0,5 - 0 = 1. Javob 1 ga teng.

5. 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin: 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan uch xonali son tuzish uchun, tasodifiy tartibda 1, 0, 0 raqamlarini o'rnating. Shu bilan birga, birinchiligi 0 ga teng bo'lmagan xonaga 0 dan 5 gacha bo'lgan besh ta raqamni o'rnashingiz mumkin. U holda, besh xonali sonlar yasash mumkin bo'ladi. Javob 5 ta son bo'ladi.

4-variant
1. Bernoulli sxemasida limit teoremalari: Bernoulli sxemasi, faqat ikkita natija bo'lishi mumkin bo'lgan olaylarni kuchaytirishda ishlatiladi. Bernoulli sxemasida limit teoremalari, katta sonli Bernoulli natijalari uchun yo'l qo'yiladi. Misol uchun, Bir nechta Bernulli natijalarning yig'indisi normal tarqatilgan bo'lish ehtimolliklarini o'rganish uchun ishlatiladi. Bu teorema statistika va ehtimollikning asosiy asoslari qatorida ishlatiladi.

2. Hodisalar ustida amallar: Hodisalar ustida amallar, berilgan hodisalarning ustida matematik amallar bajarishga yordam beradi. Misol uchun, garchi bir hodisamizning ehtimollik funktsiyasi ko'rsatilmasa ham, uni bo'lgan hodisalarga mos amalni o'tkazish uchun hodisalar ustida amallar ishlatiladi. Bu amallar bilan, hodisalarni qo'shish, ayirish, kopaytirish, o'zgartirish va qo'shimcha statistik amallar bajarilishi mumkin.

3. Uchta tanga tashlash tajribasida hammasida bir tomоni bilan tushish ehtimоlini tоping: Uchta tanga tashlash tajribasida hammasida bir tomоni bilan tushish ehtimоlini topish uchun uchta tangani yoniga ko'rsatish ehtimolliklari hisoblanishi kerak. Agar bir tanga yoniga ko'rsatish ehtimolliklari p bo'lsa, uchta tangani ham bir tomоni bilan tushish ehtimolliklari p^3 ga teng bo'ladi.

4. Idishda 8 ta shar bo'lib, ulardan 5 tasi оq qolgаnlaгi qora. 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo'lish ehtimоli tоpilsin: 8 ta shar bo'lib, ulardan 5 tasi оq qolgаn. Shuningdek, 4 ta shar linganda 2 tasi оq bo'lishi ehtimоli tоpishimiz kerak.

Bu mantiqiy masala yechimi quyidagicha: 5 ta оq shar va 3 ta qora shar оlish mumkin. Uningdek, 4 ta shar linganda 2 ta durilgan bо`lishi kerak. Bu natija esa, 4-zdeb 2 ni tanlash imkoniyatiga teng bo'ladi. Shuningdek, umumiy ehtimоllik natijasini topish uchun ovora ehtimоlliklarini kоpaytiring: (5/8) x (3/8) = 15/64. Javob 15/64 ga teng.

5. Mahsulоtdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulоt nisbiy chastоtasini tоping: Mahsulotdagi sifatli mahsulоtlar nisbiy chastоtasi, sifatli mahsulоtlar sonini umumiy mahsulоtlar soniga bo`lgan nisbati bilan ifodalaydi. Bu masalada, 200 ta mahsulоtdan 25 tasi sifatsiz ekan. Shuningdek, sifatli mahsulоtlar soni 200 - 25 = 175 bo'ladi. U holda sifatli mahsulоtlar nisbiy chastоtasi 175/200 = 0.875 (yoki 87.5%) ga teng.

5-variant

1. 
   Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari: Tasodifiy miqdorlar matematikada bajariladigan matematik amallarga misol bo’lib, ularni qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallarini bajarishda qo’llaniladi. Ular oxirgi natijani haqiqiy yoki tasdiqli sonlar shaklida ifodalaydi.
   

2. 
   Ehtimollarini qo’shish va ko’paytirish teoremalari: Ehtimolliklar, ehtimollik nazariyasi bo’yicha matematik amallarga hodisalar ustida amallar aniqlovchi ma’lumotlarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari bilan bajariladi. Bu teoremalar ehtimollik yo’qotgani, bir-birini tashlayotgan ehtimolliklarning yig’indisi, kopaytirilishi va qo’shilishi bilan bog’liq amallarni aniqlashda foydalaniladi.
   

3. 
   Idishdagi 25 ta mahsulotdan 5 tasi sifatsiz bo’lsa, ulardan ketma-ket uchtasi оlinganda (takrorlanmas), uchchalasini sifatli bo’lish ehtimоlini tоping: Ushbu masalani yechish uchun, sifatli mahsulotlarning umumiy sonini sifatsiz mahsulotlarning umumiy soniga bo’lingan nisbini hisoblash kerak. Agar 25 ta mahsulotdan 5 tasi sifatsiz bo’lsa, sifatli mahsulotlar soni 20 ga teng bo’ladi. Shuningdek, uchchalasini sifatli bo’lish ehtimollikni topish uchun, 20 ta sifatli mahsulotdan 3 tasi оlinganda (takrorlanmas) 3 tasi sifatsiz bo’lishining ehtimolliklarini hisoblash kerak. Natija esa, 3 ta sifatsiz mahsulotning 20 ta sifatli mahsulotdan tanlanganishining ehtimolliklari bo’ladi: (3/20). Javob 3/20 ga teng.
   

4. 
   5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligi ehtimоli tоpilsin: 5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmaslik ehtimollikni topish uchun, tashlashdagi har bir tangani geriga solsinliklari hisoblash kerak. Tanga tashlashda barcha boshqa tashalanstirmalar tushmaslikligini hisoblashdan, gerb tushmasligi ehtimollik 1 dan ushlab qoladi. Shuning uchun, 5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligining ehtimollik 1 ga teng.
   

5. 
   1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta to’rt xonali son tuzish mumkin: 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta to’rt xonali son tuzish mumkinligini topish uchun tartiblangan tartib raqamlarning umumiy sonidan 10000 ni ayirish kerak. Bunda 1 dan boshlab 5 gacha tartib raqamlarni qo’shish va ko’paytirish amallaridan foydalanish mumkin. Natija esa, 7 ta to’rt xonali son tuzish mumkin.
   

6-variant

1. Uzluksiz tasodiqli miqdorlar uchun taqsimot qonunlar: Uzluksiz tasodiqli miqdorlar matematikada bajariladigan amallarga masalan kеlishamiz. Biroq bu misol, uzluksiz tasodifiy miqdorlarning ko'p aspekttalaryni va ulardan foydalanishni qo'llashni talab qiladi.

2. Ehtimollar nazariyasi asosiy tushunchalar: Ehtimollar nazariyasi, ehtimollar ustida asoslangan hatekcha matematik nazariyasi hisoblanadi. Bu nazariya o'z ichiga ehtimollyarning xususiyatlari, ulardan foydalanish prinsiplari va umumiy qoidalarini oladi.

3. A va B birgalikda bo'lmagan hodisalar bo'lsa, P(A+B)=0,9, P(B)=0,5 bo'lsa, P(A) ni toping: Ushbu masalada, A va B bir xil hodisalar bo'lmasligi bilan bog'liq ehtimollikni topish kerak. Shartlar bo'yicha P(A+B) = 0,9 va P(B) = 0,5 berilgani uchun, P(A) ni topishimiz kerak.

4. Idishda 5 ta shar bo'lib 3 tasi oq, qolg'anlari qora bo'lsa, 2 ta shar olinganda oq sharlar soni matematik kutilmasini toping: Ushbu savol 5 ta shar ijod qilish orqali oq va qora sharlar sonini hisoblashni talab qiladi. 5 ta shar iqtisodiy ravishda hosil qilinishi ehtimol bo'lgan hodisa bo'lishi kerak. Bu hodisa bo'yicha ikki ta shar olinayotganligi belgilangan. Natijada, oq sharlar sonini topishimiz kerak.

6. 
   Hodisa ehtimoli 0,8 bo'lsa, 5 ta tajribada hodisa bajarilgan tajribalar sonini matеmatik kutilmasini toping: Bu masala 5 ta tajribada hodisa bajarilgan va hodisa ehtimoli berilgan. Agar tajribalar bajarilishida hodisa ehtimoli 0,8 bo'lsa, tajribalar sonini hisoblashimiz kerak.
   

7-Variant

1. Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish teoremalari:
- Qo’shish teoremasi: Agar A va B-ning ehtimollari (P(A) va P(B)) aniqlangan bo’lsa, ularning birlikdagi ehtimolliklarini topish uchun P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B) formuladan foydalanamiz. Bu formulaga P(A u B), A va B hodomlarning qo’shish natijasidagi ehtimollikni ifodalaydi.
- Ko’paytirish teoremasi: Agar A va B-ning o’zaro bog’liq bo’lgan ehtimollari (P(A) va P(B)) aniqlangan bo’lsa, ularning ko’paytirish natijasidagi ehtimollikni topish uchun P(A n B) = P(A) * P(B | A) formuladan foydalanamiz. Bu formulaga P(A n B), A va B hodomlarning birlikdagi javobni yoki sonini ifodalaydi.

2. Erkli sinovlar ketma-ketligi: Matematikda erkli sinovlar ketma-ketligi, sinovlar seriyasining bir biriga bog’liqlikni ifodalaydi. Ya’ni, birinchi sinovdan so’ng kelgan sinovning natijasi, oldingi sinovning natijasiga ega bo’ladi. Bu qoidalarga asoslangan holda, erkli sinovlar seriyasining tushunchalarini va topshiriqlarini yechishda kelib chiqqan natijalardan foydalanish mumkin.

3. Agar A va B hodisalar bog’liqsiz bo’lib, P(A) = 0,8, P(B) = 0,5 bo’lsa, ularning yig’indisini ehtimollikni topish uchun P(A u B) formuladan foydalanamiz: P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B). Lekin A va B hodisalar bog’liqlik qurmaganda A va B hodisalarining jami emas, shuning uchun P(A n B) = 0 bo’lishi mumkin. Shu sababli, P(A u B) = P(A) + P(B) = 0,8 + 0,5 = 1,3. Lekin ehtimollilik 1 ga teng bo’lishi talab qilinadi, shuning uchun P(A u B) = 1.

4. Ikkita o’yin kubig’I tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig’indisi shu raqamlar ko’paytmasidan katta bo’lishi ehtimoli topish uchun, ikkita kubdagi raqamlarni hisoblashimiz kerak. Kubdagi raqamlar 1 dan 6 gacha bo’lishi mumkin.

Raqamlarning yig’indisi katta bo’lishi uchun har bir raqamning ehtimollikni olishimiz kerak va ulardan kelib chiqqan natijalarni hisoblashimiz kerak.

Agar Raqam A uleraro tanlash bo’lsa:

• 
  Raqam A ni tanlash ehtimolliklari P(A=1) = P(A=2) = P(A=3) = P(A=4) = P(A=5) = P(A=6) = 1/6.
  

Ofarinah A tanlanadigan har bir raqamning ehtimolliklari bir xil bo’lsa: P(A) = P(A=1) + P(A=2) + P(A=3) + P(A=4) + P(A=5) + P(A=6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1.

Shunda, ikkita kubdagi raqamlar yig’indisi katta bo’lishi ehtimoli 1 ga teng.

8-variant

1. 
   Bernoulli sxemasida limit teoremalari: Bernoulli sxemasi, ikki yoki undan kop natijalar (misol uchun “omad” yoki “muvaffaqiyat” va “noma’lum” yoki “buzilish”) bo’lishi mumkin bo’lgan qaysi bir amalni aks etiladigan amaldir. Limit teoremalari esa Bernoulli sxemalarida yuz beradigan hodisalar soniga, ularning ehtimolliklariga va qaysi hodisalarning sodir bo’lishi vaqti bilan bog’liq bo’lishi haqidagi nazariyalarni o’rganadi.
   

2. 
   Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari: Tasodifiy miqdorlar matematikada bajariladigan amallar jamlanmasiga misol bo’lib, ularni o’rganish uchun taqsimot qonunlari kеlishamiz. Bu qonunlar tasodifiy miqdorlarning taqsimotini ifodalaydi, misol uchun normal taqsimot, binomial taqsimot, uniform taqsimot va boshqalar.
   

3. 
   Agar A va B hodisalar bog’liqsiz bo’lib, P(A)=0,6, P(B)=0,5 bo’lsa, ular yig’indisi ehtimollikni toping: Ehtimolliklar ustida bog’liqsizlik tushunchalariga asoslangan hodisa haqidagi savolda, A va B hodisalarining ehtimolliklari berilgan. Ular yig’indisining ehtimollikni topish uchun, ularning ehtimolliklarini qo’shib yoki yig’ish formulalaridan foydalanishimiz kerak.
   

4. 
   A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,5 bo’lsa, P(A) ni toping: Ushbu masalada, A va B bir xil hodisalarning birgalikda bo’lmaganligi bilan bog’liq ehtimollik haqida so’ralgan. Shartlarni hisobga olganda, P(A+B) = 0,9 va P(B) = 0,5 berilgandagina, P(A) ni topishimiz kerak.
   

5. 
   5 ta tanga tashlashda bitta ham gerb tushmasligi ehtimollikni toping: Bu savol 5 tanga tashlash jarayonida gerb tushmasligi haqida so’ralgan. Gerb tushmasligi amaliyotda hammasi bir xil ehtimollikda sodir bo’lishi talab qilinadi. Natijada, bitta ham gerb tushmasligi ehtimollikni topishimiz kerak.
   

9-variant

1. 
   Mаtemаtik kutilmа va uning xossаlаri: Mаtemаtik kutilmа, bir hodisа olishi kutilаdimа yuz bеrilgan hаllаnidа hosil bо`lgаn аmil yoki fаktаrdаn ibоrаt bo`lgаn mаlumоtlаrdаn fоydаlаnаrаk yuz bеrilаyotgаn kо`rsаtlmа. Mаtemаtik kutilmаning xossalari аrаsindа objеktivlik, tа`sirаbаndlik, rеprеzеntаtivlik, imtiyoziyаt, sоnli o`rtаm fikrlаshlаsbilish, аmmо nаtrаl bо`lish, tиzаpаtri bо`lish, funksiyalar o`rtalishi o``zаrо mаrо fоydаlаnmа qоbiq bо`lishi kabi fаktаrlаr kiritilаdi.
   

2. 
   Dispersiya va uning xossalari: Dispersiya statistikada ma’lum bir o’zgaruvchining qiymatlarining nechta farqli qiymatlardan qirqildanlarning o’tishini aniqlash uchun ishlatiladi. Dispersiya qaysi ma’lumotlar to’plamining tikanlikdagi tarqatishini ko’rsatadi. Uning xossalari arasida:
   

- Objektivlik: Dispersiya bir hodisa gardashlarining qiymatlari asosida aniqlanadi va hodisalarni ta’riflash orqali ko’rsatiladi.

- Tasirabandlik: Dispersiya hodisalarning qiymatlari va o’zgarishlarining haqiqiy voqeliklarini aniqlaydi.
- Sukunat: Dispersiya hodisalarning qiymatlari orasidagi farqni ko’rsatadi.
- Taassubkorlik: Dispersiya hodisalarning o’zgarishlarining tarqatish darajasini tushuntiradi.

3. 
   Idishda 8 ta shar bo’lib, ulardan 5 tasi oq qolgаnlari qоrа. 4 ta shar lingаndа 2 tasi оq bo’lish ehtimоli tоpilsin: Ushbu masalada, idishdagi 8 ta shar haqida ma’lumotlar bergan. Shartlarni hisobga olganda, 5 tа оq qo`lgаn va 4 ta lingаngа tеgshаr bо`lib 2 tasi оq bо`lish ehtimollikni topishimiz kerak.
   

4. 
   2 ta kub tashlash tajribasida kublar ustida tushgan sоnlarni turlicha bо`lish ehtimоli tоpilsin: Bu savolda, 2 ta kub tashlash tajribasida kublar ustida tushgan sonlar haqida so’ralgan. Sonlarni turlicha bo’lish ehtimollikni aniqlash uchun, kub tashlash tajribasining natijalari va tushgan sonlar soni tasavvur qilinadi.
   

5. 
   Nishоnga ketma – ket o`q o`tishda o`q tegishlar sоnini nisbiy chastоtasi 0,6 ga teng bo`lib 12 marta o`q nishоnga tegmagan bо`lsa necha marta o`q оtilgan: Ushbu masalada, nishonga ketma-ket o’q o’tishda o’q tegishlar sonining nisbiy chastotasi va o’q nishongaga tegmaganlik haqida ma’lumotlar berilgan. Shartlarni hisobga olganda, nishonga qancha marta o’q ochib bo’lganini topishimiz kerak.
   

11-variant

1. Ehtimollar nazariyasinin asosiy tushunchalari:
- Ehtimollik: Bir hodisa yoki voqeaning mo`ljaliga erishishning imkoniyatini ifodalaydi.
- Ehtimollikning axborot shakllari:
* Katta “P” bilan ifodalangan ehtimollik: Masalan, P(A) hodisa “A”ning erishi ehtimollikni ifodalayadi.
* Ulchi bilan ifodalangan ehtimollik: Masalan, miqdori yoki uzunligi, kuzatilishni ta’minlayish ehtimollikni ifodalayadi.
* Omil bo’ladigan ehtimollik: Masalan, “A” hodisaning kelish ehtimollikni ifodalayadi, “B” hodisaning bajarish ehtimollikni ifodalayadi va “A va B” hodisalarining birgalikda bajarish ehtimollikni ifodalayadi.
- Ehtimollikning asosiy qonuni: Barcha ehtimollarning yig’indisi 1 ga teng bo’ladi.
- Birliklar qonuni: Agar ikki hodisa bir-biriga moslashmasa, ularning ehtimolliklarini qo`shish mumkin.

2. Erkli sinovlar ketma-ketligi: Erkli sinovlar ketma-ketligi, bir sinovning nechta marta amalga oshirilishi va natijalarning bir-biriga bog’liq bo’lishi kabi ma’lum bir strukturaga ega bo’lgan sinovlarning ibtidodan aytib kelgandagi tartib, urna va to’plangan muhiti tushunishga yordam beradi.

3. Idishda 5 ta shar bo`lib 3 tasi оq, qоlganlari qоra bo`lsa, 2 ta shar оlinganda оq sharlar sоni matematik kutilmasi tоpilishi:
Agar 5 ta shar bo’lsa va 3 ta oq bo’lsa, 2 ta shar olingandagina nechta oq sharlar kelishi matematik kutilmasi bilan topilishi mumkin emas. Bu masala matematik jihatdan yechilmaydi.

4. Hоdisa ehtimоli 0,8 bo`lsa, 5 ta tajribada hоdisa bajarilgan tajribalar sоni matematik kutilmasi tоpilishi:

Agar hodisaning ehtimollik qiymati 0,8 bo’lsa, 5 ta mustahkam sinovda hodisa bajarilganda hodisalar soni matematik kutilmaydi. Bu javobni hisoblash uchun hodisalar sonining aniqlanishi kerak.

6. 
   A va B birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`lib, P(A+B)=0,9, P(B)=0,3 bo`lsa, P(A) ni topish:
   

Agar A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lsa, A va Bning yig’indisi orqali P(A+B) ni topish mumkin. Lekin, P(B) berilgan, shuning uchun P(A) ni aniqlash uchun qo`shimcha ma’lumotlar kerakdir.

12-variant

1. Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari:
- Tasodifiy miqdor: Bir qiymatning tasodifiy qator yoki tаrkibiy son ko`rinishiga ega bo`lishi. Misol uchun, bir karta olib qo`yganingizda uni tasodifiy miqdor deb hisoblang.
- Tasodifiy miqdorlarni taqsimlash:
* Yuqori chegaroq qiymat: Miqdorlarni quyidagi qoida asosida taqsimlash mumkin: tasodifiy miqdor / yuqori chegaroq qiymat.
* Past chegaroq qiymat: Miqdorlarni quyidagi qoida asosida taqsimlash mumkin: tasodifiy miqdor * past chegaroq qiymat.

2. Dispersiya va uning xossalari:

- Dispersiya: Ma’lum bir muqobilga o`xshash miqdorlar to’plamining o’rtacha ({v})dan qanchalik bo`yicha bo’lgan farqning kvadratini ifodalaydi. Dispersiya, ma’lum bir muqovilni “kengaytirilgan” shaklda ta’riflash uchun ishlatiladi.
- Dispersiyaning xossalari:
* Non-negativligi: Dispersiyani hisoblashda o`xshash miqdorlar orasidagi farqning kvadrati ifodalanganligi uchun bu qiymat oldindan ko`p bo`lishi mumkin emas.
* Miqdorlarning o’rtacha qiymatlariga bog’liqlik: Dispersiya, miqdorlarning o’rta qiymatlaridan qanchalik uzoqda yotishini ifodalaydi.
* Ma’lum muqovilning sifatini aks etkazishi: Dispersiya, muqobilga xoss bo’lgan farqlar kattaligida oshish orqali muqovilning sifatini tasvirlaydi.

3. 2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlar yig’indisi 5 ga qarrali ekanligi ma’lum bo’lsa, raqamlarning biri 6 bo’lish ehtimollikni toping:

Raqamlar ikkita kub tashlanganda tasodifiy chiqqanda, raqamlarning yig’indisi 5 ga qarralidir. Bu bilishimizga asoslanib, raqamlarning biri 6 bo’lishining ehtimollik qiymatini topishimiz mumkin emas. Bu masala matematik kutilmasi bilan to’pilmaydi.

4. Agar A va B hоdisalar bоg`liqsiz bo`lib, P(A)=0,8, P(B)=0,5 bo`lsa, ularning yig’indisini ehtimоli tоpilsin:

Agar A va B bog’liqsiz hodisalar bo’lsa, ularning yig’indisini topish uchun P(A) va P(B) ni qo’shishimiz mumkin. Shuning uchun yig’indisning ehtimollik qiymati P(A+B)=P(A)+P(B)=0,8+0,5=1,3 bo’lishi ham mumkin emas. Ehtimollik 1 dan katta bo’lamiz, shuning uchun javobni hisoblash uchun huquqiyroq ehtimollik qiymatlari bilishimiz kerak.

6. 
   Ikkita o`yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kublardan chiqqan raqamlar yig’indisi shu raqamlar ko`paytmasidan katta bo’lishi ehtimoli topilsin:
   

Ikkita kub tashlandi va chiqqan raqamlar yig’indisi ko’paytma va yuqori chegaroqda bo’lishini ko’rsatadi. Bu bilishimizga asoslanib, raqamlarning yig’indisi shu ko’paytma dan katta bo’lishining ehtimollik qiymatini topishimiz mumkin emas. Bu masala matematik kutilmasi bilan to’pilmaydi.

13-variant

1. 
   Diskret tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlari:
   

Diskret tasodifiy miqdorlar: Ma’lum bir miqdorning yolg’iz qiymatni olib ko’rish mumkin bo’lgan miqdorlar. Misol uchun, bir zarbi tashlashda yutuq miqdorni tasodifiy miqdorlar deb hisoblash mumkin.

Taqsimot qonuni:

- Har bir tasodifiy miqdorning ehtimollik qiymati non-negativ bo’lishi kerak: P(X) >= 0

- Barcha tasodifiy miqdorlarning ehtimollik qiymatlarining yig’indisi 1 ga teng bo’lishi kerak: ΣP(X) = 1

2. 
   Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlari:
   

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar: Ma’lum bir miqdorning istalgan qiymatni olib ko’rish mumkin bo’lgan miqdorlar. Misol uchun, bir hujumning to’satdan kelishi vaqti uzluksiz tasodifiy miqdorlar bilan ifodalash mumkin.

Taqsimot qonuni:

- Har bir uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik funktsiyasi non-negativ bo’lishi kerak: f(x) >= 0

- Uzluksiz tasodifiy miqdorlarning ehtimollik funktsiyalarining integrali barcha uzluksiz qiymatlarda 1 ga teng bo’lishi kerak: ∫f(x)dx = 1

3. 
   Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sonlar yig’indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimollikni toping:
   

Agar bitta kubni yashirib qo’ysak, ikkita kub tashlashda qo’ygan sonlarimiz 1, 2, 3, 4, 5, 6 bo’lishi mumkin. Bu sonlar yig’indisi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 ga teng bo’lgan.

Ikkita kub tashlashda 21 ta tasodifiy natija olishimiz mumkin. Agar tasodifiy bir son tanlasak, uning 7 dan katta bo’lish ehtimali 0 bo’ladi. Shuning uchun, ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sonlar yig’indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimoli 0 bo’ladi.

4. 
   0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzish mumkin:
   

Berilgan raqamlardan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzishni topish uchun permütatsiya (tartiblash) formulasi foydalaniladi. Bu holda, nechta uch xonali son tuzishni topish uchun 6! / (6-3)! Formulasi qo’llaniladi.

Bu tartiblash formulasi orqali, nechta uch xonali takrorlanmaydigan sonlarni tuzishning 6! / (6-3)! = 6! / 3! = 6 * 5 * 4 = 120 ta ehtimollikli natijaga erishishimiz mumkin.

Shuning uchun, 0, 1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta uch xonali son tuzish uchun 120 ta ehtimollikli natija mavjud.

5. 
   Idishda 5ta shar bo’lib 3 tasi oq, qolganlari qora bo’lsa, 2 ta shar olinganda oq sharlar soni matematik kutilmasi topilsin:
   

Agar idishda 5 ta sha oq bo’lsa, qolgan 3 ta sha qora bo’lgan, va 2 ta sha tanlash uchun to’plamda 5 dan 2 ta ni tanlash mumkin. Shuning uchun, 3C2 formulasi (kombinatsiya) bilan matematik kutilmasi topiladi.

3C2 = 3! / (2!(3-2)!) = 3! / (2!1!) = 3 * 2 / 2 = 3 ta oq shar tanlash ehtimoli mavjud.
Shuning uchun, 2 ta shar olinganda oq sharlar soni 3 ga teng bo’ladi.
14 variant

1. 
   Ehtimollarini qo’shish va kopaytirish teoremalari:
   

Ehtimollarni qo’shish teoremasi: Agar A va B tub sonlar bo’lsin, unda P(A u B) = P(A) + P(B) – P(A n B), yoki qisqacha ifoda bilan P(A + B) = P(A) + P(B), shartki, A va B o’zaro tangsiz bo’lsin.

Ehtimollarni kopaytirish teoremasi: Agar A va B o’zaro tangsiz bo’lsa, unda P(A n B) = P(A) * P(B), yoki qisqacha ifoda bilan P(A * B) = P(A) * P(B).

2. 
   Bernulli sxemasida limit teoremalari:
   

Bernulli sxemasida amalga oshirilgan n tadbirning marta mofaqiyat ehtimoli P(A) bo’lsa, n tendirlikdagi tadbirlar sonining k’ichiklik darajasi natijasidagi marta mo’layim qiymati (expected value) µ = n * P(A) ga, va mofaqiyat ehtimoli (variance) σ² = n * P(A) * (1 – P(A)) ga yaqinlasadi. Bu teorema Bernulli tuzilganligi va tadbirning o’zaro bog’liqliksizligi xususiyati bilan bog’liqdir.

3. 
   Ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sonlar yig’indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimollikni toping:
   

Ikki kubni tashlashda yutuq sonlarimiz 2 dan 12 gacha bo’lgan 11 ta tasodifiy sonlardir. Bu sonlar yig’indisi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 ga teng bo’lgan.

Ikkita kub tashlashda 66 ta tasodifiy natija olishimiz mumkin. Agar tasodifiy bir son tanlasak, uning 7 dan katta bo’lish ehtimoli 0 bo’ladi. Shuning uchun, ikkita kub tashlashda kublarni ustida tushgan sonlar yig’indisini 7 dan ko’p bo’lish ehtimoli 0 bo’ladi.

4. 
   Idishda 8 ta shar bo’lib, ulardan 5 tasi oq qolgani qora. 4 ta shar linganda 2 tasi oq bo’lish ehtimollikni toping.
   

Agar 4!/(2! * 2!) formulasi orqali hisoblashni amalga oshirsak, natija 6 ga teng bo’ladi. Shuning uchun, 4 ta shar linganda 2 tasi oq bo’lish ehtimoli 6/8 = ¾ ga teng bo’ladi.

5. 
   A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, P(A + B) = 0.9, P(B) = 0.3 bo’lsa, P(A) ni toping.
   

A va B birgalikda bo’lmagan hodisalar uchun P(A + B) = P(A) + P(B) formulasi ishlatiladi. Bizda P(A + B) = 0.9 va P(B) = 0.3 berilgan. Bu uchun P(A) + 0.3 = 0.9 bo’lishi kerak.

Shu maqsadga P(A) ni topish uchun, P(A) = 0.9 – 0.3 = 0.6 ga teng bo’ladi.

15 variant

1. 
   Matematik kutilma matematika fanining asosiy tushunchalarini qamrab oladi. Uning xossalari quyidagilardir:
   

- Adliy: Matematika haqiqiy dunyo bilan bog’liq bo’lgan muhim muammolar va ishlar yechishga yordam beradi.

- Tuzilmaviylik: Matematika kundalik hayotning tuzilishlarini va tartibini tushunishga yordam beradi. Misol uchun, san’at, arxitektura, yuridik, iqtisodiyot va boshqa sohalarda tuzilishlarni kuzatish va tahlil qilishda matematikani qo’llashimiz mumkin.
- Lоgikа: Matematik tushunchalari lojikaviy ravishda yuritiladi va yoritilgan muammolarni yechishda lojikaga asoslangan qoidalar va formulalar qo’llaniladi.
- Analitik: Matematika tushunchalari sonlarni va qatorlar bilan muvakkat xabarlar sistemalarini tushunishga yordam beradi. Bu, xisob-xonasining nеchiga qarab ifodalanishi, funksiya va grafikalar bilan ishlash va boshqa tegishli tadbirlarni o’rganishga ham alohida yordam beradi.
- Tahlillash: Matematika tushunchalari tahlil qilish uchun ko’p turdagi imkoniyatlarni beradi. Tahlilga misollar misol, jadval, umumanlashgan formulalar va boshqa vositalar yordam beradi.
- Rivojlanish: Matematika dunyoga oid yangiliklarni rivojlantirishga, yangi tadbirlarni aniqlash va boshqalar qo’llab-quvvatlashga yordam beradi.

2. 
   Uzluksiz tasodifiy miqdorlar matematikada o’ziga xos o’rnini egallaydi. Ular quyidagicha aks etadi:
   

- Har qanday keskin miqdor: Uzluksiz tasodifiy miqdorlar butun sonlar, fuqarolar, haqiqiy sonlar va boshqa misol qatorlaridir. Masalan, bir doim huddi 3.14 degan son raqami pi (π) Uzluksiz tasodifiy miqdordir.

- Normalizatsiya: Uzluksiz tasodifiy miqdorlarni 0 va 1 oraligida o’zgartirishga normalizatsiya deyiladi, masalan, 0 bilan 1 oraligida tasdiqlash.

3. 
   Idishda 10 ta shar bo’lib, ulardan 6 tasi oq, qolgani qora rangda. Idishdan bitta shar olindi olingan sharning oq chiqish ehtimolini topishimiz kerak.
   

Idishdagi sharlar sonlari bilan ifodalanadi. Ularning miqdori bilan baham chiqish ehtimolliklarni topish uchun, oq sharlar sonini oqim bilan, jumladan 6 va umumiy sharlar soni bilan hanuz bittasini olamiz. Shuningdek, qora sharlar soni qora rangda bo’lgani uchun, qora sharlar sonini qo’lda to’plaganlar soni ham bo’ladi (ya’ni 4).

Shu sababli, sharning oq chiqish ehtimolini topish uchun, oq sharlar sonining oqimining umumiy sharlar soniga nisbati (6 / 10) ni hisoblaymiz: 6 / 10 = 0.6.

4. 
   2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlar yig’indisi 5 ga karrali ekanligi ma’lum bo’lsa, raqamlarning biri 6 bo’lish ehtimollikni topishimiz kerak.
   

Bizning ma’lumotimiz bo’yicha, chiqqan raqamlar yig’indisi 5 ga teng bo’lgan. Bu yig’indini 2 kubli sonlar yig’indisiga, ya’ni 2 dan 12 gacha bo’lgan sonlar yig’indisiga qaraymiz.

Yig’indiga ega bo’lgan sonlar: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Bu sonlarni o’rganishda, 2 kubli sonlarni hisobga olishimiz kerak:

2² = 4, 3² = 9, 4² = 16 (karrasini olamiz), 5² = 25, 6² = 36 (karrasini olamiz), 7² = 49, 8² = 64 (karrasini olamiz), 9² = 81, 10² = 100 (karrasini olamiz), 11² = 121, 12² = 144 (karrasini olamiz).

Ko’rganimizdek, chiqgan raqam yig’indisi 5 ga teng bo’lgan sonlar 4 va 9. Bu sonlardan faqatgina bitta raqam 6 ga teng bo’lishi mumkin (9 ning boshida bitta 6 chiqadi). Shu sababli, raqamlarning biri 6 bo’lish ehtimollikni topish uchun, 2 ta kub tashlanganda chiqqan raqamlarning umumiy soni 2 ga teng bo’ladi.

5. 
   1, 2, 3, 4, 5 raqamlaridan foydalanib takrorlanmaydigan nechta ikki xonali son tuzish mumkinligini topishimiz kerak.
   

Berilgan raqamlardan ikki xonali son tuzish uchun kerakli shartlar takrorlanmaydiganlikka asoslangan. Bu esa har bir xonadagi raqamni farqli tanlash orqali amalga oshiriladi.

1 xonada 5 ta raqam (1, 2, 3, 4, 5) bo’lishi mumkin.
2 xonada esa 4 ta raqamdan (1, 2, 3, 4) foydalanish mumkin.
Shunday qilib, 1 va 2 xonalardagi raqamlarni yig’ilganda 9 ta takrorlanmaydigan ikki xonali son tuzish mumkin.
16 variant

1. 
   Bu taqsimot qonunlarida diskret tasidofiy miqdorlar haqida gaplashilmoqda. Diskret miqdorlar, aylanmaydigan, biron bir qiymat olish mumkin bo’lgan, oddiy aytganda qatnashib bо’lmagan miqdorlar sifatidir. Bu qonunlar asosida diskret miqdorlar ustida amal qilishning huquqiy asosiy tushunchalari va yordamda quida qayta ishlanilishi korsatiladi.
   

2. 
   Ehtimollik turli tа’riflari erkinlik, qiyinlik, ihtimollik va hattoni aniqlashning boshqa modellari bilan bog’liq bo’lishi mumkin. Ehtimollikning o’ziga xos usullari qonuni bilan topilishi mumkin. Misol uchun nisbiy ehtimollik (probabilistik), tahliliy ehtimollik (statistik) va kvantum ehtimollik kabi turli xil turdagi ehtimollik tа’riflari bor.
   

3. 
   Iltimos, so’rovning ma’nosi haqida ko’proq ma’lumat bering. Shu so’rovga qamrab olish uchun boshqacha ma’lumotlarga ehtiyojimiz bo’lishi mumkin.
   

4. 
   Bu so’rovda idishdagi mahsulotlar haqida gaplashilmoqda. Agar 25 ta mahsulotdan 5 tasi sifatsiz bo’lsa, bu ko’rinishda ular orasidan uchta mahsulotni (takrorlanmasa) tanlab olish ehtimolini topish kerak. Shunday qilib, nechta sifatli mahsulotlar oldindan aniqlanadi.
   

5. 
   Bu so’rovda nishonlar haqida gaplashilmoqda. Nishonlarning birinchi va ikkinchi merganlarga bindirilgan ehtimollik qiymatlari berilgan. Bundan tashqari, ayquvlar o’rtasida bir vaqtda yoki bir o’qqa o’rnatilgan larning yolg’izliklari bilan bog’liq ehtimollik ham aniqlanishi talab etilmoqda. Lekin, qoida qanday ko’rinishda aniqlanishi kerakligi haqida ko’proq ma’lumot berishingiz mumkin.
   

17 variant

1. 
   Hodisalar ustida amallar bilan bog’liq bo’lgan masalalar o’rganiladi. Hodisa, biror voqealar to’plami yoki hodisa tufayli yuzaga kelgan voqealar sifatida tushuniladi. Bu variantda hodisalar ustida amallar haqida gaplashilmoqda. Hodisalar ustida amallar, hodisalar tahlil qilinishi, o’zgarishlarning tasirini o’rganish va bundan tashqari, hodisalar ustida amallarni bajarish uchun ko’plab asosiy qoidalarni o’rganish kiritiladi.
   

2. 
   Matematik kutilma, matematikda aniqlanmagan amal, natija, ishoralar yoki o’zgarishlarni bildiradi. Ushbu variantda matematik kutilmaning muhim xossalari haqida gaplashilmoqda. Bu xossalarga misol uchun nisbiylik, aniqlilik, muvaffaqiyatlilik, matnli amal tushunchasi va muchalilik kiritiladi.
   

3. 
   Agar A va B bo’g’liqsiz bo’lsa va ularning har birining hodisa ehtimolliklari aks ettirilgan bo’lsa, masalan P(A)=0,8 va P(B)=0,5 bo’lsa, ularning yig’indisi ehtimoli aniqlash mumkin. Bu yerda ularning yig’indisi olish uchun A va B hodisalarining ehtimolliklarini qo’shib (yig’ib) olish kerak.
   

4. 
   Ikkita o’yin kubiga taslashni mushakka qilamiz. Kubikdan chiqqan raqamlar yig’indisi, ushbu raqamlar ko’paytmasidan katta bo’lishining ehtimoli topilishi talab etilmoqda. Bu variantda o’yin kubiklari bilan bog’liq amallar o’rganiladi.
   

5. 
   Berilgan raqamlardan (1, 2, 3, 4, 5) foydalanib, takrorlanmaydigan nechta besh xonali son tuzish ehtimolliği topishning talab etilishi mumkin. Bu belgilardan nechta tanlanayotgan bo’lsa, ularni kombinatsiyalar orqali besh xonali son tuzish mumkinligini topish kerak.
   

18 variant

1. 
   Bernulli sxemasida limit teoremasi, Bernulli sxemasidagi tasodifiy miqdorların toplamlarının limitinin davom etayotgan o’zgaruvchilarning bilan bog’liq qoidalarini o’rganishga yo’l qo’yadi. Bu variantda Bernulli sxemasi ustida amallar va limit teoremalari haqida gaplashilmoqda.
   

2. 
   Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari, tasodifiy miqdorlar haqida gaplashiladi. Tasodifiy miqdorlar, diskret va doimiy miqdorlar bilan bog’liq bo’lishi mumkin. Ular o’zlarini taqsimot qonunlariga muvofiq ravishda davom ettirishadi.
   

3. 
   5 ta tanga tashlash jarayonida bitta ham gerb tushmasligining ehtimoli topilishi talab etilmoqda. Bu masala matematik statistika va kombinatorika amalga oshirilgan misollar bilan hal qilinadi.
   

4. 
   200 ta mahsulot tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulotning nisbiy chastotasi (nisbiy tasodifiylik) topilishi talab etiladi. Bu amalni tahlil qilish uchun matematik statistika asoslaridan foydalaniladi.
   

5. 
   Ikki kub taslanganda chiqqan raqamlar yig’indisi 5 ga teng karrali ekanligi ma’lum bo’lsa, raqamlardan birining 6 bo’lish ehtimolliğini topish kerak. Ushbu masala kombinatorika, aniqlovchi kommutativlik va diskret miqdorlar qonuni asosida hal qilinadi.
   

19 variant

1. 
   Ehtimollarini qo’shish va ko’paytirish teoremalari, matematikda ehtimollar (olim, insonlar, shahslar)ning qo’shish va ko’paytirish jarayonlaridagi imkoniyatlarni aniqlashga yordam beradigan qoidalar va formulalar to’plami haqida gaplashilmoqda.
   

2. 
   Erkli sinovlar ketma-ketligi, sinovlar (testlar, imtihonlar) natijalarining tasodifiy va tasodifiy olmaydiganliklarini boshqarish va hisoblashning bir turi hisoblanadi. Bu jarayon statistika asoslarida ishlatiladi va sinovlar ketma-ketligini boshqarish uchun qoidalar va teoremalar mavjud.
   

3. 
   Noishonga ketma-ket o’q otishda o’q tegishlar sonining nisbiy chastotasi 0,6 ga teng bo’lib 12 marta o’q nishonga tegmagan bo’lsa, nechta marta o’q otishganini topish talab etiladi. Ushbu masala statistikada nisbiy tasodifiylik, nisbiy chastotalar, va nisbiy taglavhalarni hisoblash asosida hal qilinadi.
   

4. 
   Mahsulotdan 200 tasi tekshirilganda 25 tasi sifatsiz ekan. Sifatli mahsulotning nisbiy chastotasini topish talab etiladi. Bu amalni tahlil qilish uchun matematik statistika asoslaridan foydalaniladi.
   

5. 
   Ikki ta o’yin kubigi tavakkaliga tashlandi. Kubik chiqqan raqamlar yig’indisi shu raqamlar ko’paytmasidan katta bo’lishi ehtimoli topilishi talab etiladi. Ushbu masala kombinatorika, aniqlovchi va diskret miqdorlar qonuni asosida hal qilinadi.
   

20 variant

1. 
   Tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot qonunlari matematikda asosiy muddatlar hisoblanadi. Tasodifiy miqdorlar individual mahsulotlarda, hodisalarda yoki tadbirlarda tasodifiy tartibda paydo bo’ladigan miqdorlar hisoblanadi. Ularini taqsimot qonunlari esa, tasodifiy miqdorlarni taqsim qilish, ularning bir-biriga bo’lgan munosabatlarini va ularni statistik analizini tushunishga yordam beradi.
   

2. 
   Matematik kutilma, matematikdagi o’ziga xos tuzilmalar va qoidalar to’plamidir. Bu kutilmalar matematik bilimining asosiy konseptlari, formulalari, o’zgaruvchilari, hisoblash qoidalarini umumlashtrish va murakkab matematik masalalarni yechishga yordam beradi.
   

3. 
   Idishda 8 ta shar bo’lib, ulardan 5 tasi oq qolgani qora. 4 ta shar lindi, 2 tasi oq bo’lish ehtimoli topilishi talab etiladi. Bu masala kombinatorika, aniqlovchi va diskret miqdorlar qonuni asosida hal qilinadi.
   

4. 
   2 ta kub tashlash tajribasida kublar ustida tushgan sonlarni turlicha bo’lish ehtimoli topilishi talab etiladi. Bu masala statistika asoslarida, aniqlovchi va diskret miqdorlar qonuni asosida hal qilinadi.
   

5. 
   Noishonga ketma-ket o’q otishda o’q tegishlar sonining nisbiy chastotasi 0,6 ga teng bo’lib 12 marta o’q nishonga tegmagan bo’lsa, nechta marta o’q otishganini topish talab etiladi. Bu masala statistikada nisbiy tasodifiylik, nisbiy chastotalar, va nisbiy taglavhalarni hisoblash asosida hal qilinadi.