1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning xosilasi

2⁰. Yuqori tartibli differensialar. Faraz qilaylik, funksiya ochiq tо‘plamda berilgan, nuqtada ikki marta differensiallanuvchi bо‘lsin.
1-ta’rif. funksiya differensiali ning differensiali berilgan funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Endi funksiya ikkinchi tartibli differensialini uning xususiy hosilalari orqali ifodalanishini kо‘rsatamiz.
Ravshanki,

bо‘lib, u ga hamda larga bog‘liq bо‘ladi. Bu tenglikda larni tayinlangan deb hisoblab, ni о‘zgaruvchilarning funksiyasi siftaida qarab, uning differensialini topamiz:

Bunda simvollik ravishda yozilishidan foydalaniladi. U quyidagicha tushuniladi: qavs ichidagi yig‘indi kvadratga kо‘tarilib, sо‘ng ga "kо‘paytiriladi". Keyin daraja kо‘rsatkichlari xususiy hosilalar tartibi deb hisoblanadi. Demak,
. (1)
funksiyaning nuqtadagi uchinchi, tо‘rtinchi va h.k. tartibdagi differensiallari ham yuqoridagidek ta’riflanadi.
Umuman, funksiyaning nuqtadagi -tartibli differensiali ning differensiali ning -tartibli differensiali deyiladi va kabi belgilanadi:
.
Agar, funksiya nuqtada marta differensialanuvchi bо‘lsa, u holda
(2)
bо‘ladi.

3⁰. Murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-siallari. Biz yuqorida funksiyaning yuqori tartibli differensallarini bayon etdik. Unda funksiya argumenti lar erkli о‘zgaruvchilar edi.
Aytaylik, funksiyada о‘zgaruvchilarning har biri о‘zgaruvchilarning funksiyalari bо‘lsin .
Qaralayotgan va funksiyalar marta differensiallanuvchilik shartlarini bajargan deb, murakkab funksiyaning yuqori tartibli differen-siallarini hisoblaymiz.
Ma’lumki, differensial shaklning invariantligi xossasiga binoan, murakkab funksiyaning differensiali

bо‘ladi. Differensiallash qoidalaridan foydalanib funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini topamiz:

.
Demak,
(3)
Shu yо‘l bilan berilgan murakkab funksiyaning keyingi tartibdagi differensiallari topiladi.