1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning xosilasi

2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning atrofida

aralash hosilalarga ega bо‘lib, bu hosilalar nuqtada uzluksiz bо‘lsin. U holda funksiyaning aralash hosilalari nuqtada teng bо‘ladi:

◄Aytaylik, nuqta-lar nuqtaning atrofiga tegishli bо‘lsin:

.
Ushbu

,

funksiyalarni qaraylik

Ravshanki,

bо‘ladi. Bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasini ikki marta qо‘llab topamiz:

Shartga kо‘ra aralash hosila nuqtada uzluksiz. Demak, da

bо‘lib,
(7)

bо‘ladi.
Endi funksiya bilan birga quyidagi

funksiyani qaraymiz. Ravshanki,

bо‘ladi. Yuqoridagidek, bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasiini ikki marta qо‘llab, sо‘ng aralash hosilaning nuqtada uzluksizligidan foydalanib topamiz:

. Demak,

. (8)
(7) va (8) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi. ►

Mashqlar
1. Ushbu

funksiyaning ikkinchi tartibli differensiali topilsin.

2. Ushbu
   

funksiya quyidagi

tenglikni qanoatlantirishi isbotlansin.

Xulosa
Matematik analiz fani matematikaning fundamental boʻlimlaridan biri boʻlib, u matematikaning poydevori hisoblanadi. Matematik analiz kursi davomida koʻpgina tushuncha va tasdiqlar, shuningdek, ularning tatbiqlari keltiriladi.
Matematik analiz fanining asosiy vazifasi shu fanning tushuncha, tasdiqlar va boshqa matematik ma‘lumotlar majmuasi bilan tanishtiribgina qolmasdan, balki talabalarda mantiqiy fikrlash, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qoʻllash koʻnikmalarini shakllantirishdan iborat. Ushbu ishimda ikkita va undan ortiq o`zgaruvchili funksiyalar, aniqmas va aniq integrallar, integrallanuvchi funksiyalar sinfi, integral yordamida tekis shaklni yuzini va fazoviy shakllarning hajmini hisoblash, aniq integral yordamida aylanma jism yuzini hisoblash nazariyalarini ochib berdim hamda, hozirga vaqtda amaliyotda keng Riman integralini ham yoritib berdim.
Jumladan uch o`zgaruvchili funksiyani integrallashni ko`proq uchratamiz. Bugungi kunda zamonaviy matematikaning turli sohalarida, keng tadbiqqa ega bo’lgan aniq integralning fizika va mexanika nazariyasi bilan shug’ullanishmoqda.
Men kelajakdagi izlanishlarimda aniq integrallarni muhandislik sohasida, fizika va mexanikadagi tatbiqlarida yanada ko‘proq shug’ullanmoqchiman.