1. Qabariq ko`pyoqlar, muntazam ko`pyoqlar. Qabariq ko`pyoqlar uchun Eyler teoremasi

Ko`pyoqlar uchun Eyler teoremasi

Reja:

1. Qabariq ko`pyoqlar, muntazam ko`pyoqlar.
2. Qabariq ko`pyoqlar uchun Eyler teoremasi.
3. Muntazam ko`pyoqlarning mavjudligi va ularning soni.


Ta‘rif. Ko`pyoq sirtining jinsi shu ko`pyoqning jinsi deyiladi.
Ta‘rif. Agar ko`pyoqning chegarasi sodda ko`pyoqli sirtdan iborat bo`lsa, uni sodda ko`pyoq deyiladi.
Sodda ko`pyoq ikki o`lchovli yopiq ko`pxillikdan iborat bo`lib, chegaraviy nuqtalarga ega emas.
Nolinchi jinsli ko`pyoqning sirti sferaga gomeomorfdir. Shuning uchun bunday sirtlar uchun
f<sub>0</sub> - f<sub>1</sub> + f<sub>2</sub>=2
yoki
f<sub>0</sub> + f<sub>2</sub>=2+ f<sub>1</sub> (*)
tenglikni yozamiz.
(*) tenglik mashhur Eyler teoremasini ifodalaydi, yani xar qanday nolinchi jins ko`pyoqda uchlar soni bilan yoqlar sonining yig`indisi qirralar sonidan ikki birlikka ko`pdir.
Ta‘rif. Agar nolinchi ko`pyoqning barcha yoqlari bir xil uchlarga va ko`pyoqli burchaklari bir xil yoqlarga ega bo`lsa, uni topologik muntazam ko`pyoq deyiladi.
Faraz qilaylik Р topologik muntazam ko`pyoq bo`lsin. Uning xar bir yog`i n ta uchga va xar bir uchidagi burchak g ta yoqqa ega bo`lsin.
Р ko`pyoq xar bir qirrasi ikkitadan yoqqa umumiy bo`lib, xar bir yog`ida n ta qirra bo`lgani uchun
nf₁=2f₁ (1)
tenglik o`rinli bo`ladi.
Ko`pyoqning xar bir uchi g ta qirraning umumiy uchidan iborat bo`lgani uchun
gf₀=2f₁ (2)
bo`ladi. (1) va (2) tengliklardan
f<sub>0</sub>=2f<sub>1</sub>/g, f<sub>2</sub>=2f<sub>1</sub>/n (3)
tengliklarni topamiz.
Р muntazam ko`pyoq nolinchi jins ko`pyoqning xususiy xoli bo`lgani uchun unga Eyler teoremasini tadbiq qila olamiz. Shuning uchun (*) va (3) tengliklardan
((2/g)+(2/n) - 1)₁=2 (4)
kelib chiqadi. Bundan
(2/g)+(2/n)>1 (5)
bo`lishi kerak.
Lekin ma‘lumki 3g va 3n bo`lgani uchun (5) tengsizlikdan
(2/g)>1-(2/n)1-(2/3)=(1/3) дан g<6.
Xuddi shuningdek, n<6 ni topamiz.
Shunday qilib, n va g lar 3,4,5 qiymatlarni qabul qilishi mumkin ekan. n va g ning mumkin bo`lgan turli qiymatlarining kombinatsiyasini ko`raylik.
1) n=g=3 bo`lsa, (1),(2),(4) formulalardan f<sub>1</sub>=6, f<sub>0</sub>=4, f<sub>2</sub>=4 ni topamiz. Bu ko`pyoq tetraedrdir.
2) g=3, n=4 бo`лса, f<sub>1</sub>=12, f<sub>0</sub>=8, f<sub>2</sub>=6. Bu ko`pyoq geksaedrdan iborat.
3) g=4, n=3 bo`lsa, f<sub>1</sub>=12, f<sub>0</sub>=6, f<sub>2</sub>=6. Bu ko`pyoq oktaedrdan iborat.
4) g=3, n=5 bo`lsa, f<sub>1</sub>=30, f<sub>0</sub>=20, f<sub>2</sub>=12. Bu ko`pyoq dodekaedrdan iborat.
5) g=5, n=3 bo`lsa, f<sub>1</sub>=30, f<sub>0</sub>=12, f<sub>2</sub>=20. Bu ko`pyok ikosaedrdan iborat.
Yuqorida ko`rib o`tilgan n va g ning qiymatlaridan tashqari barcha kombinatsiyalar (5) tengsizlikka ziddir. Shuning uchun muntazam ko`pyoklarning faqatgina yuqorida ko`rib o`tilgan beshta turi mavjud xolos. Ular topologik ekvivalent bo`lmagan ko`pyoqlardir.