1. Tekislikdagi harakat, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi

1. Tekislikdagi harakat, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi

Tekislikdagi harakat ,uning eng soda turlari,analitik ifodasi.Harakatni o‘q simmetriyalar ko‘paytmasiga yoyish.Tekislikda harakat klassifikassiyasi.Harakat gruppasi va uning qism gruppalari.

REJA:

1.Tekislikdagi harakat, uning eng sodda turlari, analitik ifodasi.

2.Harakatni o`q simmetriyalar ko`paytmasiga yoyish.
3.Tekislikda harakat va uning xossalari.
4.Harakatning sodda turlari.

1. Maktab geometriya kursida eng sodda almashtirishlar bilan tanishish ko’zda tutiladi, ular: parallel ko’chirish, simmetriya burish va o’xshash almashtirishlardan iborat.
Parallel ko’chirish, simmetriya va burish barchasi adabiyotlarda bitta «harakat», yoki «siljitish» yoki «izometriya» deb aytiladi.
1-ta’rif. Tekislikning ixtiyoriy ikki nuqtasi orasidagi masofani o’zgartirmaydigan almashtirish «harakat» yoki «izometriya» deyiladi.
Harakatni L orqali belgilaymiz.
L harakat bo’lsa, tekislikning har qanday ikki M,N nuqtasi uchun
ρ(M,N) =ρ(L(M), L(N)) (M¹ = L(M) N¹ = L(N))
Harakat xossalarini ko’rib chiqaylik.
1°. Harakat kesmani o’ziga teng kesmaga o’tkazadi.
2°. Harakat bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtani, yana bir to’g’ri chiziqda yotuvchi nuqtaga o’tkazadi.
3°. Harakat to’g’ri chiziqni, to’g’ri chiziqqa o’tkazadi.
4°. Harakat nurni nurga o’tkazadi.
5°. Harakatda burchak kattaligi o’zgartirmaydi.
6°. Harakat, parallel to’g’ri chiziqlarni ya’na parallel to’g’ri chiziqlarga o’tkazadi.
7°. Harakat ko’pburchakni yana ko’pburchakka o’tkazadi (bunda mos burchaklarning kattaligi, tomonlarining uzunliklari o’zgarmaydi)
8°. Harakat aylanani yana aylanaga o’tkazadi, bunda aylana radiuslari o’zgarmaydi.
9°. Tekislikdagi harakatlar to’plami gruppa tashkil qiladi
Isboti: 1° xossani isbotlaylik. Tekislikda ikkita A va B nuqtalarni olaylik. Harakat A va B nuqtalarni L(A)=A' va L(B)=B' nuqtalarga o’tkazsin.
Agar CAB bo’lsa, u holda (57-chizma)
ρ(AC)+ρ(CB)=ρ(AB) (28.1)
Harakat ta’rifiga asosan
ρ(A'C') +ρ(C'B') = ρ(A'B') (28.2)
bu esa C'A'B' ko’rsatadi.
Aksincha, agar qandaydir C’ nuqta C’A’B’ bo’lsa, u holda (28.2) tenglik o’rinli bo’ladi, bundan (28.1) tenglikning o’rinligini, undan esa CAB bo’ladi.
2° isbotini ko’rib chiqaylik. A, B, C bir to’g’ri chiziq nuqtalari bo’lsin, harakatda ularga A’, B’, C’ nuqtalar mos kelsin. Aniqlik uchun C nuqta A va B nuqtalar orasida yotsin deylik. U holda 1° xossaga asosan C'A’B’ da yotadi. Demak, A’, B’, C’ nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotadi.
N uqtalarning bir to’g’ri chiziqda yotish xossasini kollinearlik munosabati deyiladi. Kollinearlik munosabatini saqlovchi almashtirish kollineatsiya deyiladi. Demak, tekislikdagi harakat kollineatsiyadan iborat bo’ladi.
3° Tekislikda L-harakat va ixtiyoriy d to’g’ri chiziq berigan bo’lsin. d to’g’ri chiziqda yotuvchi ikkita A va B nuqtalarni olamiz. Harakat L(A)=A', L(B)=B'. A’ va B’ nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziqni d’ bilan belgilaymiz (58-hizma).
Agar M nuqta d to’g’ri chiziqqa qarashli ixtiyoriy nuqta bo’lsa, u holda 1° xossaga ko’ra L(M)=M’d’.
4°-9° larni talabalar mustaqil ish sifatida o’rganiladi.
2-ta’rif. Agar ikki figuradan birini ikkinchisiga o’tkazadigan harakat mavjud bo’lsa, bu figuralar kongruent deyiladi. Bu kongruent figuralar tekislikdagi vaziyatlari bilan farq qiladi xolos.
Teorema. Tekislikdagi L harakat R to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini, R' to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasiga o’tkazsa, M'=L(M) nuqtaning R' koordinatalar sistemasidagi koordinatalari M nuqtaning R to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidagi koordinatalari bilan bir xil bo’ladi (59-chizma).
Isbot. R(0,i,j) tekislikdagi to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi. Harakat xossalarini ko’rib chiqaylik.