Аksiomatik mеtod bilan qurish tushunchasi. Pеano aksiomalari

II. n = k uchun 1 + 2 + 3 +... + k = ni, ya’ni A(k) predikatni rost deb faraz qilamiz.
III.n = k + 1 uchun A(k + 1) predikatning rostligini, ya’ni

to’g’riligini isbotlaymiz:


Bu esa A(k + 1) mulohazaning o’zidan iboratdir. Demak, A(n) predikat n ning barcha qiymatlarida rost.
b) (n³+2n)⋮ 3 ekanligini matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish. I. n = 1 da l³+21 = l + 2 = 3⇒3⋮3.
II.n = k da(k³+2k)⋮3 deb faraz qilaylik.
III.n = k + 1 da[(k + 1)³+2(k + 1)]⋮3 ekanligini isbotlaymiz.
Isbot.
(k + 1)³ + 2(k + 1)=k³+3k² +3k + 1+2k + 2 =
= (k³ + 2k) +(3k² + 3k + 3) = (k³ + 2k) + 3∙(k² + k + 1).
Bu yig’indi 3 ga karrali, chunki birinchi qo’shiluvchi (k³ + 2k)⋮3 — farazga asosan, ikkinchi qo’shiluvchi 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi: 3 • (k² + k + 1)⋮3. Demak, (n³ + 2n)⋮3bo’ladi.
d)(n³+11n)⋮6bo’lsa, uni matematik induksiya metodi yordamida isbotlang.
Yechish.
I. n=1 da l³ +11 • 1 = 1 + 11 = 12 ⇒12⋮6.
II.n = k da(k³ + 11k)⋮6 deb faraz qilaylik,
III.n = k+ 1 da [(k+l)³+ll(k+l)]⋮6ni isbotlaymiz.
Isbot. (k+ 1)³+11(k+1) = k³ + 3k² + 3k+ 1 + 1k + 11 =(k³ + 12 k) ++(3k² + 3k+ 12) = (k³ + 12k) + 3(k² + k + 4).
Bunda (k + 12)⋮6 — farazga asosan, 3 • [k² + k + 4] — bu ifodaning 3 ga karrali ekanligi ko’rinib turibdi, (k² + k + 4) ifoda esa 2 ga karrali. Demak,(n³ + 11n)⋮6bo’ladi.
Nazorat uchun savollar:

1. 
   Nomanfiy butun sonlar to`plamini aksiomatik qurish haqida tushuncha bering.
   
2. 
   Peano aksiomalarini ayting.
   
3. 
   Matematik induksiya haqida tushuncha bering.
   

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b. ( 70-73 betlar)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1. 
   Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (133-142 betlar)