Analisa variabel kompleks

Yüklə 446 b.

tarix	07.11.2017
ölçüsü	446 b.
	#8814

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS

ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
Oleh:
Drs. Toto’ Bara Setiawan, M.Si.
(Email : totobara@fkip.unej.ac.id)

BAB I

BAB I
BILANGAN KOMPLEKS
Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA
Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS
DEFINISI 2
Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.
DEFINISI 3
Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:
z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)
z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂ
Jadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.
Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi
bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan
khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika
Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan
dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner
murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan
imajiner.

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)
2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif) 4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)

6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian

6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian
7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy)
sehingga z+(–z)=0
8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1.
Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

Contoh soal:

Contoh soal:
1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,
buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)
2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.
tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan

Kompleks Sekawan

Kompleks Sekawan
Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy.
Contoh:
sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.
Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

Teorema 1 :

Teorema 1 :
a. Jika z bilangan kompleks, maka :
1.
2.
3.
4.

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :
1.
2.
3.
4. , dengan z2≠0.

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks
Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

Tugas :

Tugas :
Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 4 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z, ditulis z = x+iy =
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,
maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di
titik z1 dengan jari-jari r.
Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r
Gambarkanlah pada bidang z.

Teorema 2 :

Teorema 2 :
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !

1. Bukti:

1. Bukti:

2. Bukti:

2. Bukti:

3. Bukti:

3. Bukti:

4. Bukti:

4. Bukti:

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan
Kompleks
Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

Adapun hubungan antara keduanya, dan

Adapun hubungan antara keduanya, dan
adalah :
x = r cos , y = r sin,
sehingga  = arc tan
 adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz
didapat juga
Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah
z = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis .
dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos  - i sin ).

Definisi 5 :

Definisi 5 :
Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos  + i sin ), sudut  disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut  dengan 0  < 2 atau - <    disebut argument utama dari z, ditulis  = Arg z. Pembatasan untuk sudut  tersebut dipakai salah satu saja.
Definisi 6 :
Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 = r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos  + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.
Tugas: Buktikan bahwa ei = cos  + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos  , sin  dan et dengan mengganti t = i.

Contoh :

Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Contoh :

Contoh :
Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !
Jawab :
z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰= 
Jadi z = (cos  + i sin ) = cis  =

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks
Perkalian dan Pemangkatan
Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos  + i sin ).
Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :
z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +
i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]
z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:
arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2
Pertanyaan :
Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan
z z z z … z = zn ?

Jika diketahui:

Jika diketahui:
z1 = r1(cos 1 + i sin 1)
z2 = r2(cos 2 + i sin 2)
zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,
maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .
Akibatnya jika, z = r(cos  + i sin ) maka
zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1
Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre
(cos  + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.

Pembagian:

Pembagian:
Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai
berikut:
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan
sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka
diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]
Dari rumus di atas diperoleh:
arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),

Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ),
maka:
Untuk: .
Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan
penyebut, maka didapat :
. . . . . . . 2

Dari 1 dan 2 diperoleh:

Dari 1 dan 2 diperoleh:
, Dalil De-Moivre
berlaku untuk semua n bilangan bulat.

Contoh:

Contoh:
Hitunglah :
Jawab :
Misalkan maka
karena z di kuadran IV, maka dipilih
jadi

Akar Bilangan Kompleks

Akar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis .
Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat.
Akibatnya dan
Jadi . . .

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks
w = r(cos+i sin) adalah:
z = [cos( ) + i sin ( )],
k bulat dan n bilangan asli.
Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu.
Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1);
0  < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

Contoh :

Contoh :
Hitunglah (-81)1/4
Jawab :
Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian
persamaan z4 = -81.
Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800),
sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800),
diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan .
Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]
Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan
mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

Latihan Soal Bab I

Latihan Soal Bab I
1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan
z = (x,y) = x + iy.
2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i.
Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2
3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0.
4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi
sifat: a. z-1 = z dan b.
5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks
berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1. )
6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i.

7.Gambarkan pada diagram argand dan

7.Gambarkan pada diagram argand dan
sebutkan nama kurva yang terjadi :
a. z – 5 = 6 dan z – 5 > 6
b. z + i = z – i
c. 1 < z – i < 3
8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam
bentuk polar dan eksponen !
9. Hitunglah (-2+2i)15
10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0

BAB II

BAB II
FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN
Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks.
Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks
Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya.

1. Lingkungan/persekitaran

1. Lingkungan/persekitaran
a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang
terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo,
berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau z – zo < r.
b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik
zzo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat
di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau
0< z – zo < r.

Contoh :

Contoh :
a. N(i,1) atau z – i  < 1, lihat pada gambar 1
b. N*(O,a) atau 0< z – O < a, lihat pada gambar 2

2. Komplemen

2. Komplemen
Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S.
Contoh :
Gambarkan !
A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.

A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z 1}.
B ={ z | 2

3. Titik limit

3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka N*(zo,)  S  . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.

3. Titik limit

3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka N*(zo,)  S  . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.

3. Titik limit

3. Titik limit
Titik zo disebut titik limit dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) maka N*(zo,)  S  . Jika zo ∈ S dan zo bukan titik limit, maka zo disebut titik terasing.
4. Titik batas
Titik zo disebut titik batas dari himpunan S jika untuk setiap N*(zo,) memuat suatu titik di S dan memuat suatu titik yang tidak di S.
5. Batas dari himpunan S
adalah himpunan semua titik batas dari S.

6. Interior dan Eksterior

6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,)  S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.

6. Interior dan Eksterior

6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,)  S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.

6. Interior dan Eksterior

6. Interior dan Eksterior
Titik zo disebut interior dari himpunan S jika ada N(zo,) sehingga N(zo,)  S. Titik yang bukan titik interior atau bukan titik batas disebut titik eksterior.
7. Himpunan Terbuka
Himpunan S disebut himpunan terbuka jika semua anggota S adalah titik interior S.
8. Himpunan Tertutup
Himpunan S disebut himpunan tertutup jika S memuat semua titik limitnya.

9. Himpunan Terhubung

9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.

9. Himpunan Terhubung

9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.

9. Himpunan Terhubung

9. Himpunan Terhubung
Himpunan terbuka S disebut terhubung, jika setiap dua titik di S dapat dihubungkan oleh penggal garis yang seluruhnya terletak di S.
10. Daerah domain
Himpunan terbuka S yang terhubung disebut daerah domain.
11. Daerah Tertutup
Daerah tertutup S adalah daerah terbuka digabung dengan batasnya.

12. Penutup dari himpunan S

12. Penutup dari himpunan S
adalah himpunan S digabung dengan titik limitnya.

Contoh :

Contoh :
1. Diberikan A = { z / |z|<1}, maka:
A adalah himpunan terbuka dan terhubung.
Batas dari A adalah { z / |z|=1}.
Penutup dari A adalah { z / |z|1}.

2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:

2. Diberikan B = { z / |z|<1} U {(0,1)}, maka:
B adalah bukan himpunan terbuka dan juga bukan himpunan tertutup.
Titik-titik limit dari B adalah { z / |z|1}.

3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:

3. Diberikan C = { z / |z| 2}, maka:
Titik-titik interior C adalah { z / |z|<2}.

Fungsi Kompleks

Fungsi Kompleks
Definisi :
Misalkan D himpunan titik pada bidang Z.
Fungsi kompleks f adalah suatu aturan yang memasangkan setiap titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada bidang W, yaitu (z,w).
Fungsi tersebut ditulis w = f(z).
Himpunan D disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf , yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

Contoh :

Contoh :
a) w = z + 1 – i
b) w = 4 + 2i
c) w = z2 – 5z
d) f(z) =
Contoh a,b,c adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z.
Contoh d adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada bidang Z , kecuali z =

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.

Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y) yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua variabel real x dan y.
Apabila z = r(cos + i sin), maka w = u(r, ) + iv(r, ).

Contoh :

Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !

Contoh :

Contoh :
Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Jawab :
Misal z = x + iy,
maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i
= 2(x + iy )2 – i
= 2(x2+2xyi-y2) – i
= 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.

Jika z = r(cos + i sin).

Jika z = r(cos + i sin).
Tentukan f(z) = z2 + i

Jika z = r(cos + i sin).

Jika z = r(cos + i sin).
Tentukan f(z) = z2 + i
Jawab
f(z) = z2 + i
= [r (cos+i sin)]2 + i
= r2[cos2 - sin2 + 2isincos] + i
= r2 (cos2 - sin2) + r2isin2 + i
= r2 (cos2 - sin2) +(1+r2sin2)i
berarti u = r2(cos2 - sin2) dan v = 1+r2sin2) .

Komposisi Fungsi

Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.
‣ Jika Rf  Dg  , maka ada fungsi komposisi (g⃘f) (z) = g (f (z)), dengan domain Df.

‣ Jika Rg  Df  , maka ada fungsi komposisi (f⃘g) (z) = f (g (z)), dengan domain Dg.

‣ Jika Rg  Df  , maka ada fungsi komposisi (f⃘g) (z) = f (g (z)), dengan domain Dg.
∷ Tidak berlaku hukum komutatif pada (g⃘f) (z) dan (f⃘g)(z).

Contoh :

Contoh :
Misal: f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i
‣ Jika Rf  Dg  ,
maka (g⃘f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz

‣ Jika Rg  Df  ,

‣ Jika Rg  Df  ,
maka (f⃘g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Jadi (g⃘f) (z)  (f⃘g)(z) atau
(g⃘f)  (f⃘g), (tidak komutatif)

Interpretasi Geometris

Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks. Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan (transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.

Contoh 1 :

Contoh 1 :
Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i , berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2, w1 , dan w2 dapat dilihat di bawah ini

Contoh 2 :

Contoh 2 :
Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cos+i sin), maka diperoleh w = z2 = r2 (cos2+i sin2).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah 0  arg z   dipetakan menjadi daerah
0  arg w  2.
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.

Definisi :

Definisi :
Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika untuk setiap  > 0, terdapat  > 0 sedemikian hingga
|f(z) – wo |< , apabila 0 <|z – zo|< ,
ditulis:

Perlu diperhatikan bahwa :

Perlu diperhatikan bahwa :
Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.
Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari segala arah.
Apabila z menuju zo melalui dua lengkungan yang berbeda, mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati zo.

Contoh 1 :

Contoh 1 :
Buktikan bahwa :
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan  > 0, kita akan mencari  > 0 sedemikian, sehingga:
, untuk z  2
Lihat bagian sebelah kanan

Dari persamaan kanan diperoleh:

Dari persamaan kanan diperoleh:
Hal ini menunjukkan bahwa telah diperoleh.

Bukti Formal :

Bukti Formal :
Jika diberikan  > 0 , maka terdapat , sehingga untuk z  2, diperoleh
Jadi apabila
Terbukti

Teorema Limit :

Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.

Teorema Limit :

Teorema Limit :
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka

Teorema 2 :

Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo = (xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D.
Maka jika dan hanya jika
dan

Teorema 3 :

Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.
lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) +g(z)) = a + b (untuk z → zo)
2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)
3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !

Contoh 1 :

Contoh 1 :
Hitunglah

Contoh 1 :

Contoh 1 :
Hitunglah
Jawab:

Contoh 2 :

Contoh 2 :
Jika . Buktikan tidak ada !

Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan Fungsi
Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo,
maka lim f(z) = f(zo).

Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :

Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap titik pada daerah R tersebut.

Teorema 4 :

Teorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).