Article in Journal of Applied Geophysics · January 2017 doi: 10. 1016/j jappgeo

3.

 Interpretation of medium wavelengths

We begin processing of intermediate wavelengths of gravity with three negative anomalies outlined 

with dashed lines in Fig. 2 (left). For each area, we reduced anomalies for a model of the regional field 

by applying again the upward and downward continuation procedures. The function is a solution of 

the Dirichlet’s problem. It satisfies the 2D Laplace equation in the area of investigation and have the 

same values at the boundary of the area as the observed field. After subtracting the model of the 

regional field, the residuals equal zero at the boundary. Therefore, the upward continuation along the 

study area only is possible. According to properties of harmonic functions, it is the smoothest possible 

function with known values at the boundary. Besides, this function has no extreme values within the 

area, so we do not create artificial anomalies. If we substitute the given data by the regional field 

model for each of the three areas, the mentioned negative anomalies are removed. The resulting field 

is further inverted for a 3D topography of density interface.

The residual anomalies were approximated by fields of several 3D line segments. The effect of a line 

segment was evaluated according to the formula given by Prutkin et al. (2011). To calculate the effect 

of a 3D line segment in one observation point, we need only about 2 times more computational time 

than that required for a point source. A 3D line segment approximates perfectly an effect of an object 

stretched in the some direction. For all three areas, two segments were found to be sufficient to 

approximate closely the residual anomalies. Each 3D line segment was described by 7 parameters: 3 

coordinates   of   both   ends   and   the   line   density.   Therefore,   we   had   to   determine   14   unknown 

parameters using several thousand observations. This procedure was obviously very stable. Further, 

we transformed a chosen set of line segments into a restricted object. The approximation based on 

line segments provided quite reliable estimates for its mass and a position of its centre of mass.

Fig. 2. Medium wavelengths and discrimination of their sources. Left: medium wavelengths, dashed lines  

outline three negative anomalies inside the area. Right: comparison of upper boundaries of Buntsandstein 

(Interface 1) and Zechstein (Interface 2) obtained by inversion and according to data from the boreholes (solid 

lines with stars and dots, correspondingly).

---

Two steps of our interpretation methodology (i.e., the subtraction of the regional field model and the 

approximation of residuals with the 3D line segments) are demonstrated on the northern negative 

gravity anomaly in Fig. 2 (left). The zoomed anomaly, the respective model of the regional field, the 

residuals after its subtraction and the results of approximation of the residual field with the field of 

two 3D line segments are shown in Fig. 3. The RMS of differences between the residual field and the 

effect of line segments is 0.41 mGal.

Next, we inverted the  observed gravity (without  the  negative anomalies) for  a  3D topography of 

density interface and transformed  the  sets of line segments into  the  3D restricted objects over all 

three local areas. In both cases, we applied our inversion algorithms. Inverse problems were reduced 

to a nonlinear integral equation of the 1

st

 kind for both, the restricted object and the contact surface.

For the restricted body, we assumed its star convexity relative to some interior point (for instance, 

relative to its centre of mass). In this way, it was then possible to introduce a spherical coordinate 

system (