Bab I sistem koordinat



Yüklə 124,47 Kb.
səhifə1/2
tarix02.01.2018
ölçüsü124,47 Kb.
  1   2


BAB I

SISTEM KOORDINAT

Bab I buku ini membahas tiga hal pokok yang berhubungan dengan sistem koordinat, antara lain (1) sistem koordinat dalam bidang, (2) sistem koordinat ruang, dan (3) sistem koordinat lainnya.


Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami sistem koordinat pada bidang dan ruang serta dapat menerapkan pada masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari.


Kompetensi Dasar

  1. Mahasiswa dapat membandingkan sistem koordinat pada bidang dan ruang.

  2. Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada bidang dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub.

  3. Mahasiswa dapat menyatakan letak titik pada bidang dengan koordinat kartesius dan mengubah dalam koordinat kutub atau sebaliknya.

  4. Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada ruang dalam koordinat kartesius, koordinat tabung, dan koordinat bola.

  5. Mahasiswa dapat menyatakan letak titik pada ruang dengan koordinat kartesius dan mengubah dalam koordinat tabung dan bola atau sebaliknya.

  6. Mahasiswa dapat menjelaskan kembali pengertian sistem koordinat ekliptika heliosentrik, sistem koordinat ekliptika geosentrik, sistem koordinat ekuator geosentrik, dan sistem koordinat horison.

Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk menentukan letak suatu titik pada bidang atau ruang . Adalah ahli matematika berkebangsaan Perancis bernama Pierre Fermat (1601-1665) dan Rene Descartes (1596-1650) yang telah memperkenalkan sistem koordinat yang kita kenal hingga saat ini. Dasar pemikiran kedua ahli tersebut adalah untuk menunjukkan kedudukan sebarang titik (sebut saja P) pada bidang atau ruang.

Seiring perkembangan pengetahuan dan teknologi, selanjutnya letak suatu titik pada suatu bidang atau ruang biasanya dinyatakan dalam koordinat-koordinat. Pada bidang letak suatu titik dapat dinyatakan dalam koordinat kartesius (siku-siku) atau koordinat kutub (polar), sedangkan pada ruang letak suatu titik biasanya dinyatakan dalam koordinat Kartesius, koordinat tabung atau koordinat bola.

Selain ketiga macam sistem koordinat sebagaimana disebutkan di atas, terdapat beberapa sistem koordinat yang penggunaannya dalam ilmu hisab. Sistem koordinat tersebut adalah: (1) sistem koordinat ekliptika heliosentrik (heliocentric ecliptical coordinate), (2) sistem koordinat ekliptika geosentrik (geocentric ecliptical coordinat). (3) sistem koordinat ekuator geosentrik (geocentric equatorial coordinate). (4) sistem koordinat horison (horizontal coordinate).

Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya, misalnya sistem koordinat ekuator toposentrik (topocentric equatorial coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini.



    1. Sisten Koordinat dalam Bidang (R2)

Sebagaimana telah dijelaskan di atas, bahwa letak suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat kartesius atau koordinat kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang dijabarkan sebagai berikut:

Sistem Koordinat Kartesius

Istilah Kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filosuf dari Perancis Rene Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri, kartesius adalah latinisasi untuk Descartes. Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan geometri analitik, kalkulus, dan kartografi. Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637 dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Sistem koordinat kartesius dalam dua dimensi umumnya didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang XOY. Sumbu horizontal diberi label x, dan sumbu vertikal diberi label y. Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu yang lain yang sering diberi label z. Sumbu-sumbu tersebut ortogonal antar satu dengan yang lain. Titik pertemuan antara kedua sumbu, titik asal, umumnya diberi label O (origin). Setiap sumbu juga mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x disebut absis lalu diikuti nilai yang disebut ordinat. Dengan demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak dibalik-balik.

Perhatikan gambar sumbu koordinat siku-siku berikut ini





























Gambar 1

Berdasarkan Gambar 1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y, masing-masing bidang yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat dinamakan kwadran. Pada gambar 1 di atas terdapat 4 kwadran, yaitu kuadran I dengan batas-batas (x > 0, y > 0), kwadran II dengan batas-batas(x < 0, y > 0), kwadran III dengan batas-batas (x < 0, y < 0), dan kwadran IV dengan batas-batas (x > 0, y < 0). Dengan demikian dapat dibuat tabel keberadaan kuadran sebagai berikut:


KuadranNilai xNilai yI> 0> 0II< 0> 0III< 0< 0IV> 0< 0

Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka letak titik P tersebut sangat memungkinkan posisinya di kwadran I, kwadran II, kwadran III, atau kwadran IV tergantung dari besaran x dan besaran y.

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 2
Pada gambar 2 keempat kuadran sistem koordinat kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya tak terhingga pada arah panah tersebut. Pilihan huruf-huruf didasari oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y) digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan untuk menandakan nilai yang diketahui.

Misal P(x1,y1) dan terletak di kwadran I hal ini berarti x1 >0 dan y1 >0














Gambar 3
Berdasarkan gambar 3 di atas, tampak suatu segitiga yaitu yang salah satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras

OP2 = OM2 + MP2

= (x1-0)2 + (y1-0)2

= x12 + y12

=

atau ditulis dengan notasi

Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang menghubungkan titik O(0,0) dengan titik P(x,y)

Selanjutnya perhatikan gambar berikut.











Gambar 4

Gambar 4 di atas menunjukkan segitiga PQR yang masing-masing titik sudutnya yaitu terletak pada kuadran II, terletak pada kuadran IV, terletak pada kuadran III dan jarak masing-masing titik dinyatakan oleh:














Selanjuntnya, misal dan terletak pada bidang, maka jarak dua titik P dan Q dapat dinyatakan dengan rumus

Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Selanjutnya perhatikan gambar berikut ini!













Gambar 5

Berdasarkan gambar 5 di atas, pandang PSQ, dengan menggunakan teorma Pythagoras







Selanjutnya

Pada gambar 5 di atas M adalah sebarang titik pada garis PQ dengan perbandingan atau

Sehingga diperoleh

PM’ : MQ’ = m : n dan MM’ : QQ’ = m : n

Selanjutnya akan dicari koordinat M.

Karena

maka





atau

Dengan cara yang sama



maka





Jika diketahui dan dan titik tengah PQ maka

Koordinat M dapat ditentukan dengan rumus

dan

Pembuktian rumus di atas ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi pembaca buku ini.


Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

  1. Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6).

Jawab

Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus



=

=

=

= 5


  1. Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan (-8,-2) adalah titik-titik sudut dari segitiga sama kaki ABC.

Jawab

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh



= dan =

Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, maka dapat dikatakan segitiga tersebut di atas adalah segitiga sama kaki.




  1. Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4) terletak pada satu garis lurus

Jawab

Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC

Dengan rumus jarak dua titik diperoleh AB = , BC = 2 dan

AC = 6, sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B, dan C terletak pada satu garis lurus


Gradien Garis Lurus


















Gambar 6
Selanjutnya jika garis PQ diperpanjang, maka garis tersebut akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang dibentuk oleh garis PQ dengan sumb X disebut disebut inklinasi.

Selanjutnya perhatikan PQR, menurut perbandingan goniometri diperoleh



Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan atau gradien atau tangensial dan dinotasian dengan



.

Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen dari sudut inklinasi.

Misal dan dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka beberapa hal yang mungkin dari kedua garis tersebut adalah:


  1. dan sejajar

  2. dan berpotongan

  3. dan atau saling tegak lurus.

Jika dan sejajar syarat yang harus dipenuhi adalah gradien dan gradien sama atau . Jika dan saling tegak lurus maka perhatikan gambar di bawah ini














Gambar 7
Karena dan saling tegak lurus, maka , sehingga



)

Dengan membagi masing-masing bagian dengan , diperoleh





Karena dan saling tegak lurus, maka , sehingga haruslah



atau
Luas Poligon yang Titik Sudutnya Ditentukan

Perhatikan gambar berikut!

Misal , , dan . Adalah titik sudut segitiga yang terletak pada bidang XOY seperti berikut.












Gambar 8


Pada gambar 8 di atas, luas PQR adalah

= (Luas trapesium PP’Q’Q + luas trapesium QQ’R’R)- luas trapesium P’R’RP









Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matrik ordo 3 x 3



Soal-soal



  1. Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang diketahui berikut ini:

  2. P(4,5) dan Q(-1,3)

  3. P(8,-2) dan Q(3,-1)

  4. P(-1,-2) dan Q(-3,-8)

  5. P(5,3) dan Q(2,-5)

  6. Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik sudutnya adalah

  7. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

  8. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

  9. Tunjukkan apakah segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini adalah sama sisi.

  10. A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)

  11. K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2)

  12. P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)

  13. U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)

  14. U(1,1), V(5,1) dan W(5,5)

  15. Tunjukkan bahwa segitiga berikut adalah siku-siku dan tentukan luasnya dengan menggunakan aturan yang ada.

  16. A(0,9), B(-4,-1), dan C(3,2)

  17. P(10,5), B(3,2), dan C(6,-5)

  18. A(3,-2), B(-2,3), dan C(0,4)

  19. K(-2,8), L(-6,1), dan N(0,4)

  20. Buktikan bahwa titik-titik berikut ini adalah paralelogram

  21. (-1,-2), (0,1), (-3,2), dan (-4,-1)

  22. (-1,-5), (2,1), (1,5), dan (-2,-1)

  23. (2,4), (6,2), (8,6), dan (4,8)

  24. Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus dengan menggunakan metode jarak.

  25. (0,4), (3,-2), dan (-2,8)

  26. (-2,3), (-6,1), (-10,-1)

  27. (1,2), (-3,10), (4,-4)

  28. (1,3), (-2,-3), (3,7)

  29. Tentukan sebuah titik yang berjarak 10 satuan dari titik (-3,6)

  30. Tentukan koordinat titik P(x,y) yang membagi ruas garis dengan perandingan diketahui:

  31. A(4,-3), B(1,4) dengan AP:PB = r = 2

  32. A(2,-5), (6,3) dengan AP:PB = r = ¾

  33. A(-5,2), B(1,4) dengan AP:PB = r = -5/3

  34. A(0,3), B(7,4) dengan AP:PB = r = -2/7

  35. A(-2,3), P(3,-2) dengan AP:PB = r = 2/5

  36. Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y) dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.

  37. Tentukan titik pusat (centroid) setiap segitiga diketahui titik-titik sudutnya di bawah ini:

  38. (5,7), (1,-3), (-5,1)

  39. (2,-1), (6,7), (-4,-3)

  40. (3,6), (-5,2), (7,-6)

  41. (7,4), (3-6), (-5,2)

  42. (-3,1), (2,4), (6,-2)

  43. Tentukan luas poligon yang titik sudutnya adalah:

  44. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

  45. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

  46. Tentukan koordinat titik-titik suatu segitiga, jika titik-titik tengah sisi-sisinya adalah:

  47. (-2,1), (5,2), (2,-3)

  48. (3,2), (-1,-2), dan (5,-4)

  49. Gradien dari garis lurus yang melalui titik A(3,2) adalah ¾. Lukislah titik-titik pada garis yang berjarak 5 satuan dari A.

  50. Tentukan gradien suatu garis lurus yang membuat sudut 45o dengan titik (2,-1) dan (5,3).

  51. Garis p membentuk sudut 60o dengan garis s, Jika gradien p = 1, tentukan gradien garis s.

  52. Sudut yang dibentuk oleh garis l yang melalui titik A(-4,5), B(3,y) dan garis u yang melalui titik P(-2,4), Q(9,1). Tentukan konstanta y tersebut.

Sistem Koordinat Kutub

Jika dalam sistem koordinat kartesius, menyatakan bahwa letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan , dengan x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan ke sumbu-x maka pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real , dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub) sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)













Gambar 9
Berbeda dengan sistem koordinat kartesius (Rene Descartes: 1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O . Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat , dengan k bilangan bulat. Mudah ditunjukkan pula bahwa koordinat pun juga menggambarkan titik P. Pada koordinat yang terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak pada bayangan sinar .


3

3





(b)
(a)

3


O
3


(c)

Gambar 10

Secara umum, jika menyatakan koordinat kutub suatu titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai berikut:



atau dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat dengan sebarang bilangan.


Hubungan antara Sistem Koordinat Kartesius dan Sistem Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat dalam sistem koordinat kartesius dan dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan sebagai berikut:





r












Gambar 11
Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1)

atau:

(1.2)



Contoh

  1. Nyatakan ke dalam system koordinat kartesius.

a. b. c.

Jawab


Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. .

Jadi, .
b..

Jadi, dalam sistem koordinat kartesius .


c..

Jadi, .


Apabila maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3)

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena akan memberikan 2 nilai yang berbeda, . Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik P, apakah di kwadran I atau II, ataukah dikwadran II atau IV. Apabila dipilih nilai yang lain, maka .


  1. Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a. b.
Jawab

Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a.

Selanjutnya, karena letak titik P di kwadran IV, maka:

, atau

.

Jadi, atau .

b.

Selanjutnya, karena letak titik Q di kwadran II, maka:

, atau

.

Jadi, atau .


  1. Nyatakan persamaan ke dalam sistem koordinat kartesius.

Jawab

Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka diperoleh:

Selanjutnya, karena dan maka:



yaitu persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari .




  1. Nyatakan ke dalam system koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi maka diperoleh:








  1. Dostları ilə paylaş:
  1   2


Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©genderi.org 2019
rəhbərliyinə müraciət

    Ana səhifə