Chiziqli programmalashtirishning masalalari. Optimatlashtirishning chiziqli programmalashtirish

Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli
(25)
Variatsion hisoblashda izlanayotgan funktsiya quyidagi Eyler shartiga mos
bo’lishi kerak
SF d OF 1 Sy
----= 0 bunda y = —
Sy Sx Sy Sx
(26)
Chegara qo’yilishi keyinroq ko’riladi. Eyler shartini qo’llanilishini yaxshi tushunib olish uchun avvalo quyidagi osonroq masalani ko’raylik (16-rasm)
16-rasm. Variatsion hisoblash usulini tushunishga doir
A va V nuqalarni tutashtiruvchi u=u(x) shunday funktsiya aniqlansinki, shu funktsiya grafigi bo’yicha harakatlangan A V chizig’i uzunligi minimal bo’lsin. Konkretroq bo’lishi uchun A nuqta koordinatalari (x=0; u=0), V nuqta koordinatalari (x=1; u=1) bo’lsin. Rasmga asosan minimallashtirish kerak bo’lgan integral quyidagicha ifodalanadi
B B _ B
I = | ds -jyjdx2 + dy2 = ^ 1 + (y1)2 dx
A A A
Demak, F funktsiya quyidagicha bo’ladi.
F = V 1 + (y1 )2
Bundan
SF _ ^ SF y1 d dF d y1
Sy ’ Sv1 71 + (y1)2 ’ dx dy dx W1 + (y1)2 ,
Aniqlanganlami Eyler shartiga qo’yamiz.
Differentsiali nolga teng bo’lgan funktsiya o’zgarmas miqdor bo’ladi. va bu miqdomi S bilan belgilasak
y
41 + (yl)
= C
ni hosil qilamiz. Bu tenglamani y1 ga nisbatan echsak
1 C dy C
y =^—2; ^y
V1 - C2 ’ dx ^1 - C2
va oxirgini integrallab echsak
C 1*.
y = , =■ = x K
VT-C7
kelib chiqadi.
Bu izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi A va V nuqtalarning berilgan koordinatalarini hisobga olsak K=0; S/1-S2=1 kelib chiqadi. Demak echim: Optimal funktsiya u=x bo’ladi.
Agar chegaraviy munosabatlar ham qo’yilgan bo’lsa Eyler sharti boshqacharoq bo’ladi. Aytaylik quyidagi berilgan integralni minimallashtiruvchi
I
g
u
j F (x, y, yl)dx -
->min
j G (x, y, y1 )dx = K
>
a
(27)
chegaraviy munosabatlami qanoatlantiruvchi u=u(x) funktsiya aniqlanishi kerak bo’lsin. Bunda K - o’zgarmas son. Bu holda
b
J [f (X y, y1)- G(x y, y-1 )]&;
a
integralni minimalashtirish uchun Eyler sharti quyidagicha bo’ladi
dF ndG d dF d dG
-!■ - +A- = 0
dy dy dx dy dx dy
(28)
Misol tariqasida quyidagini ko’raylik (17rasm)
17-rasm. Variatsion hisoblash usuli misoliga doir
A,V nuqtalarni tutashtiruvchi uzunligi minimal va grafigi ostidagi yuza S= n /R. ga teng bo’lgan y=u(x) funktsiya aniqlansin. Nuqtalar koordinatalari rasmda keltirilgan oldingi misolda aniqlanganidek
b
I = JV1 + (y1)2 dx ^ min;
a
b
g = J ydx
a
n
R
Demak bu misol uchun,
F = V1 + (y1)2 va G=y
Eyler shartiga asosan
d y1 dxV1 + (y1)2
+ 0 = 0
Oxirgi differentsial tenglamani echsak
(A = C -1) da y = yjdx - x2
va hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga ko’tarib, quyidagi radiusi 1 ga teng va markazi (1;0) nuqtada bo’lgan aylana tenglamasini olamiz
va izlangan egri chiziq shu bo’ladi.
Shunday qilib optimal loyihalash jarayonlarida keng qo’llanilishi mumkin bo’lgan differentsiallash, Lagranj ko’paytuvchilari, sonli, chiziqli programmalashtirish va variatsion hisoblash usullari qisqacha ko’rib chiqildi.
Ko’rilgan usullar bo’yicha masalalarni echish amaliy va tajribaviy darslarning mazmunini tashkil qiladi.
Adabiyotlar:
1. OCHOBU aemoMamu3upoeaHHO^o npoeKmupoeaHue. M.: M3dameebcmeo MrTy UMeHU H.3 EayMaHa, 2002. 333 c.
2. HopeHKoe M.n. BeedeHue e aemoMamu3upoeaHHoe npoeKmupoeaHue mexHmecKUXycmpoucme u cucmeM. M.: BUCM. MK., 1986. 304 c.
3. KypeunuK B.H. u dp. MameMammecKoe odecneneHue KOHcmpyKmopcKO-mexHoeo^u^ecKO^o npoeKmupoeaHue c npuMeHeHueM CAnP. M.: MaMuHocmpoeHue, 1990.
4. Baydullaev A. Texnologik tizim elementlarini matematik modellashtirish asoslari. O ’quv qo ’llanma. Toshkent, 1996.
5. HopeHKoe M.n. ^puH^unu nocmpoeHue u cmpyKmypu CAnP. M.: MaMuHocmpeHue, 1987.
6. KopenKo B.n. u dp. TeopemunecKue OCHOBU CAnP. ynedHuK dee ey3oe. M.: MaMuHocmpoeHue, 1987.