Chiziqli tenglamalar sistemasini noma’lumlarni to‘la yo‘qotish usuli bilan yechish

1-AMALIY MASALA

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI NOMA’LUMLARNI TO‘LA YO‘QOTISH USULI BILAN YECHISH.

Matematik dasturlash masalalaridagi simpleks va simpleks jadvallar usullarida ko‘p foydalaniladigan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda qo‘llaniladigan noma’lumlarni to‘la yo‘qotish usulini ko‘raylik.
Quyidagi n ta noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
(1.1)
(1.1) sistemaning yechimi deb, shunday (x₁, x₂, …, x_p) sonlarga aytiladiki, bu sonlar (1) sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi.
Agar (1.1) sistema yechimga ega bo‘lsa, unga birgalikda bo‘lgan sistema, agar yechimga ega bo‘lmasa, birgalikda bo‘lmagan sistema deyiladi.
Bizga chiziqli algebra fanidan ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasida quyidagi elementar almashtirish deb ataluvchi almashtirishlarni bajarish mumkin:
1. Sistemadagi istalgan ikkita tenglamaning o‘rinlarini almashtirish.
2. Sistemadagi ixtiyoriy tenglamaning ikkala tomonini noldan farqli istalgan songa ko‘paytirish.
3. Ixtiyoriy bitta tenglamasining har ikkala tomonini biror haqiqiy songa ko‘paytirib, boshqa biror tenglamaga qo‘shish mumkin.
Bu elementar alamashtirishlarni bajarganimizda hosil bo‘lgan sistema dastlabki berilgan sistemaga teng kuchli bo‘ladi.
Noma’lumlarni to‘la yo‘qotish usulining g‘oyasi shundan iboratki, elementlari tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarning koeffitsientlaridan va ozod hadlardan tashkil topgan
kengaytirilgan matritsa tuziladi.
(1.2)
So‘ngra elementar almashtirishlar yordamida quyidagi
ko‘rinishdagi birlik matritsaga keltiriladi.
(1.3)
Bu holda sistemaning yagona yechimi
x₁=s₁, x₂=s₂, x₃=s₃-…, x_n=s_n ko‘rinishda bo‘ladi.
Eslatma:
1. Agar elementar almashtirishlar natijasida (1.3) matritsa biror yo‘lining barcha elementlari nol bo‘lsa, u holda bu yo‘lni tashlab yuborish mumkin. Bu holda berilgan sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.
2. Agar elementar almashtirishlar natijasida (1.3) matritsaning biror yo‘l elementlari (0 0……… 0 s) ko‘rinishda bo‘lsa, sistemaning yechimi mavjud bo‘lmaydi. Ya’ni oppish birgalikda bo‘lmagan oppish bo‘ladi.
3. Biz noma’lumlarni to‘la yo‘qotish usulini tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan holda ko‘rdik. Umumiy holda n ta noma’lum m ta (m≠n) chiziqli tenglamalar sistemasi uchun ham ko‘rish mumkin.
Quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasini noma’lumlarni to‘la yo‘qotish usuli bilan yeching.
1-misol.

Yechish. a₁₁=5 bo‘lgani uchun uni 1 qilish maqsadida
sistemaning birinchi tenglamasini 5 ga bo‘lamiz:

Endi elementlari noma’lumlarning oldidagi koeffitsientlardan va ozod hadlardan tuzilgan kengaytirilgan matritsa tuzaylik.

birinchi yo‘l elementlarini (-3) ga ko‘paytirib, ikkinchi yo‘l elementlariga, (-2) ga ko‘paytirib uchinchi yo‘l elementlariga qo‘shamiz:

ikkinchi yo‘l elementlarini - ga, uchinchi yo‘l elementlarini -5 ga ko‘paytirsak, hosil bo‘ladi.

Ikkinchi yo‘l elementlarini - ga ko‘paytirib, birinchi yo‘l elementlariga, -11 ga ko‘paytirib, uchinchi yo‘l elementlariga qo‘shsak:

hosil bo‘ladi.
Uchinchi yo‘lni ga ko‘paytirsak,



hosil bo‘ladi.
Endi uchinchi yo‘l elementlarini ga ko‘paytirib, ikkinchi yo‘l elementlariga, ga ko‘paytirib, birinchi yo‘l elementlariga qo‘shsak,

kelib chiqadi.
Demak x₁=-3; x₂=2; x₃=1 ekan.