Dars rejasi

Aniqmas integralni hisoblash usullari

1. 
   Aniqmas integralni uning xossalari va jadvaldan foydalanib hisoblash.
   

1-misol. nitoping. Yechish.

2. O'zgaruvchini almashtirish usuli. Aniqmas integralni hisoblashda o'zgaruvchini almash­tirish usuli keng qo'llaniladi. Bizdan f(x)dx integralni hisoblash talab qilinsin. f(x) funksiya uchun boshlang'ich funksiya mavjud bo'lsa-da, uni to'g'ridan to'g'ri tanlash masalasi hamma vaqt oson bo'lavermaydi. Ba'zan integral osti ifodasining o'zgaruvchisini almashtirish bilan boshlang'ich funksiyani topish osonlashadi. x o'zgaruvchini funksiya yordamida boshqa t o'zgaruvchiga almashtiraylik. Bu yerdagi — uzluksiz differensiallanuvchi funksiya,
dx = y'(t)dt. Bunday holda
(1)
almashtirish formulasiga ega bo'lamiz. O'ng tomondagi integralni hisoblagandan keyin almashtirish yordamida eski x o'zgaruvchiga qaytamiz. (1) tenglikning o'rinli ekanligini isbotlash uchun bu tenglikning o'ng va chap tomonida turgan ifodalarning x bo'yicha hosilalarining tengligini ko'rsatish zarurdjr. (1) tenglik chap qismining hosiiasini topamiz:
(
tenglikning o'ng qismini murakkab funksiya deb qaraymiz. Bunda t — oraliq o'zgaruvchi. bo'lgani uchun:

(teskari funksiyani differensiallash qoidasiga ko'ra). Natijada quyidagiga ega bo'lamiz:

(1) tenglikning chap va o'ng qismlari hosilalari teng ekanligini ko'rsatdik.. almashtirishni shunday tanlash kerakki, (1) tenglik o'ng qismida turgan aniqmas integralni hisoblash imkoniyatiga ega bo'laylik.
Integralni sodda ko'rinishda ifodalovchi alniashtirishlami topishning umumiy bir qoidasi yo'q. Ba'zi bir xususiy hollarni qaraymiz.
Agar integral ostidagi fiinksiya f(ax+b) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda ax + b = t almashtirish kerak.
1- misol. _{ } ni toping.
Yechish. 3x + 4 = t yangi o'zgaruvchini kiritamiz:

Integralni topamiz va eski o'zgaruvchiga qaytamiz:
(3x + 4)¹¹ dx = _{ }