Dars rejasi

Oldingi mavzuni tekshirish:
Uyga vazifalarni tekshirish.
O’quvchilar bilimini tekshirish.
Oldingi mavzuni umumlashtirish:
O’quvchilar javoblari natijalari tahlil qilinadi, xatolar va kamchiliklar aytiladi hamda tuzatiladi, javoblar baholanadi.
Yangi mavzuni tushuntirish:
Yangi mavzuni mustahkamlash:
Yangi mavzuni umumlashtirish.
a) Amaliy mashqlardagi xato va kamchiliklar bartaraf etiladi.
b) O’quvchilar bilan og’zaki savol-javob o’tkaziladi.
c) O’quvchilar bilimi baholanadi.

Mavzu: Aniqmas integral va uning xossalari.
Reja: 1.Aniqmas integral va uning xossalari.
2.Aniqmas integrallar jadvali.
3.Aniqmas integralni yechish usullari va unga doir misollar.
Ta'rif. Agar biror I oraliqda F(x) funksiya f(x) funksiya uchun boshlang'ich funksiya bo'lsa, u holda
(1)
ifoda shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi.
Bunda f(x) integral ostidagi funksiya, f(x)dx integral ostidagi ifoda, x integrallash o'zgaruvchisi deyiladi. C~ ixtiyoriy o'zgarmas son yoki integrallash doimiysidir.
Aniqmas integralni topish amali funksiyani integrallash deyiladi. Integrallash differensiallashga teskari amaldir.
Matematikada integral atamasini sheveysariyalik matematik Iogann Bernulli (1667-1748) kiritgan va integral hisobdan birinchi sistematik kurs tayyorlagan . Uning shogirdi Peterbyrg fanlar akademiyasining haqiqiy a’zosi Leonard Eyler (1707-1783) integrallashni belgisi orqali belgilagan . Hozirgi zamon belgilashlarini esa fransuz matematigi J. Fur’e (1768-1860) kiritgan.
Integrallash qoidasi. Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integralini topish uchun bu funksiyaning boshlang'ich funksiyalaridan birortasini topib, unga ixtiyoriy doimiy C sonni qo'shish kifoya..
Olingan natijaning to'g'riligini tekshirish uchun in­tegrallash natijasining hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng bo'lishligini eslash zarur.
Aniqmas integralning xossalari
1-xossa. Aniqmas integraldan olingan hosila integral ostidagi funksiyaga, differensiali esa integral ostidagi ifodaga teng bo'ladi:
( f(x)dx)'=f(x); d f(x)dx = f(x)dx.
Bu xossa aniqmas integralning ta'rifidan kelib chiqadi.
2-xossa. Funksiya hosilasining (differensialining) aniqmas integrali bu funksiya bilan ixtiyoriy o 'zgarmas sonning yig'indisiga teng:
F'(x)dx = F(x) + C yoki dF(x) = F(x) + C.
Haqiqatan, dF(x) = f(x)dx bo'lsin. Bu tenglikning ikkala qismidan integral olamiz: dF(x) = f(x)dx. Ta'rifga ko'ra f(x)dx=F(x) + C bo'lgani sababli
dF(x) = F(x) + C bo'ladi.
3-xossa. Agar ikkita funksiya yoki ikkita differensial aynan teng bo'Isa, ularning aniqmas integrallari bir-biridan o 'zgarmas songa farq qiladi.
Bu xossa bitta funksiya uchun ikkita boshlang'ich funk­siya bir-biridan o'zgarmas songa farq qilishidan kelib chiqadi.
4-xossa. O'zgarmas ko'paytuvchini integral belgisi oldiga chiqarish mumkin:

1. 
   misol. _{ }ni toping.
   

Yechish. .
5- x o s s a. Ikki yoki bir qancha uzluksiz funksiyalar algebraik yig'indisining aniqmas integrali qo'shiluvchilar aniqmas integrallarining yig'indisiga teng:

2- misol. ni toping.
Ye c h i s h .
Aniqmas integralning yuqorida ko'rilgan xossalari ko'pgina elementar funksiyalarning integrallarini eng qisqa yo'l bilan topish imkonini beradi.
3- misol ni toping.
Y e c h i s h. 2- xossaga ko'ra F '(x)dx = F(x) + C . In­tegral ostidagi funksiyaning hosilasini topamiz:
4- mi sol. (sinx)'dx ni toping.
Y e c h i s h. 2- xossaga ko'ra: (sin x) ' = cos x , cos x dx=sinx+C.
Yuqoridagiga o'xshash (cos x) 'dx = (- sin x}dx = - cos x + C Funksiyalarni integrallash jarayoni berilgan integral ostidagi funksiyani turli shakl almashtirishlar yo’li bilan jadvalli integral deb ataluvchi ma’lum integralning integral osti unksiyasiga keltirishdan iborat.
Barcha jadvalli integrallar differensial hisobning tegishli formulalarini aylantirish yo’li bilan topiladi. Quyidagi jadval jadvalli integralning qaysi yo’l bilan tuzilganini ko’rsatadi.

T.n	Funksiya	Funksiyaning nomi	Funksiya hosilasi	Funksiya differensiali	Integral
1		Darajali
2		Logarifmik
3		Ko’rsatkichli
4		Ko’rsatkichli
5		Trigonometrik
6		Trigonometrik		dy=sinxdx
7		Trigonometrik
8		Trigonometrik
9		Teskari trigonometrik
10		Teskari trigonometrik