Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
84
Egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy vezetők nincsenek jelen. Az elektromos tér energiájára a sztatikában két kifejezés ismeretes:
 ((27,20). egyenlet),
és
 ((27,21). egyenlet).
E két kifejezés, mint korábban megmutattuk, egymással megegyezik:
 ((27,22). egyenlet).
Az energia megváltozása is két, egymással ekvivalens alakban írható fel:
 ((27,23). egyenlet).
 ((27,24). egyenlet),
ahol δϱ, δε, δΦ a ϱ, ε, Φ mennyiségeknek a 
q elmozdulás következtében beálló megváltozása. (27,22)-ből következik, hogy az energiaváltozás két
kifejezése is megegyezik egymással:
 ((27,25). egyenlet).
A variálás és a differenciálás sorrendje felcserélhető, ezért
 ((27,26). egyenlet).
Másrészt
ε grad Φ = –ε
E = –D.
Ezek felhasználásával a (27,24) képlet jobb oldalán álló második integrál integrandusza a következőképpen írható:
.

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
85
Ezt a kifejezést (27,24)-be beírva, kapjuk:
 ((27,27). egyenlet).
A jobb oldali második integrál Gauss-tétellel az egész rendszert magába foglaló F zárt felületre vett felületi integrállá alakítható. Ha 
, akkor ez
az integrál eltűnik. A harmadik integrál integranduszában div 
D helyére a (22,2) képlet alapján 4πϱ írható. Ezek elvégzése után:
 ((27,28). egyenlet).
A δU energiaváltozás a (27,25) egyenlőség figyelembevételével a következő alakba írható:
 ((27,29). egyenlet).
Ez a képlet azt mutatja, hogy az energiaváltozás két okra vezethető vissza: a 
q elmozdulás során pontról pontra megváltozik a töltéssűrűség és
a dielektromos együttható. A δU energiaváltozást tehát úgy számíthatjuk ki, hogy előbb meghatározzuk a sűrűség és a dielektromos együttható
megváltozását.
Foglalkozzunk  előbb  a  ϱ  sűrűség  megváltozásával.  A  közeg  elmozdulásával  a  tér  valamely  P  pontjába  olyan  ΔV  térfogatelem  kerül,  amely  az
elmozdulás előtt egy szomszédos P' pontban volt. Ez a sűrűség
 ((27,30). egyenlet)
megváltozását eredményezi. Ha az elmozdulás során a ΔV térfogat nagysága nem változna, tehát dilatáció nem lépne fel, akkor (27,30) adná a P
pontban a tényleges sűrűségeloszlást. Nem zárhatjuk ki azonban azt az esetet, hogy közben a térfogatelem is megváltozik. Ez a sűrűség további
megváltozását eredményezi, amit (27,30)-hoz még hozzá kell vennünk. Határozzuk meg ezt a változást is. A P pont körüli ΔV térfogatelemben
legyen Δe töltés. Az elmozdulás során ΔV megváltozik. A vele együtt járó sűrűségváltozást jelöljük δ'ϱ-val. Nyilvánvaló, hogy érvényes a következő
összefüggés:
.
A 
 tagot – mint másodrendű kicsi mennyiséget – elhagyva, ebből adódik:
 ((27,31). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
86
Mivel a δ'ϱ sűrűségváltozást egy adott pontban keressük, (27,31)-nek valójában akkor van értelme, ha annak limesét vesszük a ΔV → 0 határesetre.
Nevezetesen:
 ((27,32). egyenlet).
A δ'V térfogatváltozás a ΔV-t határoló felület pontjainak elmozdulásából származik:
.
Ezt (27,32)-be helyettesítve, továbbá a divergencia definícióját figyelembe véve, kapjuk:
 ((27,33). egyenlet).
A P pontban bekövetkező sűrűségváltozás (27,30) és (27,33) összegével egyenlő:
 ((27,34). egyenlet).
A
div (ϱ
q) = ϱ div q + q grad ϱ
összefüggés felhasználásával átalakítva:
 ((27,35). egyenlet).
Mivel a dielektromos együttható általában függ a közeg τ tömegsűrűségétől, ezért
 ((27,36). egyenlet).
A τ sűrűségre is érvényes a (27,33) összefüggés. Ennélfogva
 ((27,37). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
87
A  dielektromos  együttható  megváltozása  is  két  részből  tevődik  össze.  Nevezetesen,  a  (27,37)  és  a  (27,30)  összefüggéssel  analóg  változás
összegével egyezik meg:
 ((27,38). egyenlet).
A sűrűség és a dielektromos együttható (27,35), illetve (27,38) megváltozását (27,29)-be beírva, megkapjuk a térenergia megváltozását:
 ((27,39). egyenlet).
A jobb oldalon álló első és harmadik integrál integranduszát átalakítjuk:
,
.
Ezek (27,39)-be történő beírása után kapott térfogati integrálok között szerepel kettő, amelyek integrandusza egy-egy vektor divergenciája. Ezeket
Gauss-tétellel a végtelen távoli felületre vett integrálokká alakíthatjuk, amelyek viszont eltűnnek. Ennélfogva a térenergia megváltozása az 
E = –grad
Φ összefüggés figyelembevételével a következő:
 ((27,40). egyenlet).
Ezt a kifejezést (27,19)-cel összehasonlítva, megkapjuk az 
f erősűrűség keresett kifejezését:
 ((27,41). egyenlet).
Az értelmezés szempontjából célszerű az 
f vektort két részre bontani:
 ((27,42). egyenlet),
ahol

---

ELEKTROSZTATIKA II. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR SZIGETELŐKBEN. DIELEKTRIKUMOK
88
 ((27,43). egyenlet),
 ((27,44). egyenlet).
f
1
 a szigetelőben levő térfogati töltésekre ható erő sűrűsége. Mint láttuk, éppen ennek alapján definiáltuk az elektromos térerősséget. Alakja ugyanaz
szigetelőben, mint vákuumban, de mivel 
E szigetelőben a vákuumbeli érték ε-od része, ezért f
1
 is. 
f
2
 csak szigetelőben lép fel, ezért úgy értelmezhető,
hogy a szigetelőre kifejtett erő sűrűségét jelenti. A
első tag ott különbözik zérustól, ahol az ε hely szerint változik. Éppen ezért a szigetelő határán vesz fel jelentős értéket; ott a felületre merőleges,
a vákuum irányába mutató húzóerőt jelent. Az
második tagnak az ún. elektrostrikció jelenségnél van fontos szerepe. Ez a jelenség a következő. Ha töltetlen szigetelőben elektromos tér keletkezik,
a tér ezen erő hatására a közeg kis térfogatelemeit elmozdítani igyekszik. A szigetelőben ekkor rugalmas feszültségek ébrednek, és egyensúlyi
állapotban ezek kompenzálják a fenti erőt.
Ha a dielektromos együttható τ-tól való függését ismerjük, akkor 
f
2
 konkrétan felírható. Példaként vegyük a gázok esetét, ahol tapasztalat szerint
 ((27,45). egyenlet).
Az A
1
 állandó nem függ a τ tömegsűrűségtől. (27,45) alapján:
 ((27,46). egyenlet).
Ezt (27,44)-be helyettesítve, kapjuk:
 ((27,47). egyenlet)

---