Blackcurse

Tanlanma korrelyatsion nisbat va uning xossalari. 
Kuzatilayotgan (yoki biz o’rganmoqchi bo’lgan) ikkita 
X 
va 
Y
 belgilar 
orasidagi chiziqli korrelyatsion bog’lanish zichligini baholash uchun 
Т
r
 
korrelyatsiya koeffitsienti xizmat qilishini bilib oldik. Chiziqli bo’lmagan yoki 
umuman, istalgan korrelyatsion bog’lanish zichligini qanday baholash mumkin 
degan savol bo’lishi tabiiydir. Istalgan korrelyatsion bog’lanish uchun 
korrelyatsion nisbat 
deb ataluvchi quyidagi xarakteristika ishlatiladi. 
Y
 ning 
X
 ga tanlanma korrelyatsion nisbati deb,  
y
x
y
yx
δ
δ
η
=
 
nisbat bilan aniqlanuvchi kattalikka aytiladi. Bu erda 
(
)
n
y
y
n
x
x
x
y
∑
−
=
δ
, 
(
)
n
y
y
n
y
y
∑
−
=
2
δ
 
 
n
 - 
tanlanma hajmi; 
x
n
 - 
X
 belgi 
x
 qiymatining chastotasi; 
y
n
 - 
Y
 belgi y qiymatining chastotasi; 
y
 - Y
 belgining umumiy o’rtacha qiymati;  
x
y
 - Y
 belgining shartli o’rtacha qiymati. 
X 
belgining 
Y
 ga tanlanma korrelyatsion nisbati ham shu kabi aniqlanadi:  
x
y
x
xy
δ
δ
η
=
 
Endi tanlanma korrelyatsion nisbatni hisoblashga doir quyidagi misolni 
qaraymiz. 
Misol
. p=50 
hajmli quyidagi korrelyatsion jadval bo’yicha 
Y
 belgining 
X
 
belgiga korrelyatsion nisbati 
yx
η
 
ni toping: 

---

 
5
 X 
10
 
20
 
30
 
y
n
15
 
4
 
28
 
6
 
38
 
25
 
6
 
-
 
6
 
12
 
x
n
10
 
28
 
12
 
p=50
 
x
y
21
 
15
 
20
 
 
Echish
. 
y
- 
umumiy o’rtachani topamiz:  
4
,
17
50
870
50
25
12
15
38
=
=
⋅
+
⋅
=
=
∑
n
y
n
y
i
i
 
Umumiy o’rtacha kvadratik chetlanishni topamiz: 
(
)
(
)
(
)
27
,
4
50
4
,
17
25
12
4
,
17
15
38
2
2
2
=
−
⋅
+
−
⋅
=
−
=
∑
n
y
y
n
y
y
δ
 
 
 
Shartli o’rtachaning o’rtacha 
kvadratik  chetlanishni (yoki gruppalararo 
o’rtacha kvadratik chetlanish)  topamiz. 
 
(
)
(
)
(
)
(
)
73
,
2
50
4
,
17
20
12
4
,
17
15
28
4
,
17
21
10
2
2
2
=
−
+
−
+
−
=
−
=
∑
n
y
y
n
x
x
x
y
δ
 
 
Topilganlarni 
 formulaga qo’ysak, 
 
64
,
0
27
,
4
73
,
2
=
=
=
y
x
y
yx
δ
δ
η
 
Endi korrelyatsion nisbatning quyidagi xossalarini keltiramiz. 
 1-xossa, 
Korrelyatsion nisbat ushbu qo’sh tengsizlikni qanoatlantiradi. 
1
0
≤
≤
η
 
 2-xossa. 
Agar 
1
=
η
 bo’lsa, belgilar funktsional bog’lanish bilan bog’langan, 
ya’ni:  
f
Y
=
(x) 

---

 
6
3-xossa. 
Tanlanma korrelyatsion nisbat tanlanma korrelyatsiya 
koeffitsientining absolyut qiymatidan kichik emas: 
Т
r
≥
η
 
 4-xossa. 
Agar 
Т
r
=
η
 bo’lsa, belgilar orasida aniq chiziqli bog’lanish 
bo’ladi. 
Korrelyatsion nisbatning afzalligi uning istalgan bog’lanish, shu jumladan, 
chiziqli bog’lanish zichligining ham o’lchovi bo’lib xizmat qilishdadir. Shu bilan 
birga bir qatorda korrelyatsion nisbat 
kamchilikka ham ega: 
u
 
bog’lanish shakli 
haqida hech qanday ma’lumot bermaydi.  
Tayanch iboralar: 
Korrelyatsion bog’lanish zichligi, tanlanma regressiya koeffitsienti, tanlanma 
korrelyatsiya koeffitsienti, tanlanma korrelyatsion nisbat. 
 
O’z-o’zini tekshirish uchun savollar: 
1.
 
Korrelyatsion bog’liqlikning zichligi kanday baholanadi? 
2.
 
Tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti xossalarini keltiring. 
3.
 
Tanlanma korrelyatsiya koeffitsienti va tanlanma regressiya koeffitsienti 
orasida kanday munosabat bor? 
4.
 
Tanlanma korrelyatsion nisbat nima uchun xizmat qiladi? Uning xossalarini 
keltiring. 
 
Mustaqil echish uchun masalalar: 
1.
 
Berilgan jadval bo’yicha X va Y tasodifiy miqdorlar tanlanma korrelyatsiya 
koeffitsienti topilsin. 
 
X 
-1 3 4 0 2 3 1 4 
Y 2 0 1 -1 1 1 2 0 
 
2.
 
n=50 hajmli quyidagi korrelyatsion jadval bo’yicha Y belgining X belgiga 

---

 
7
korrelyatsion nisbati 
yx
η
ni toping. 
X 
Y 
10 20 
30 
n
y 
15 4 
28 
6 
38 
25 6 
- 
6 
12 
n
x 
10 28 
12 
n=50 
y
x 
21 15 
20 
 
 
Adabiyotlar: 
[1] (261-275) 
[2] (403-427) 
[3] (195-221) 
[4] (279-291, 301-306) 
[5] (343-347) 
[7] (90-94) 
[9] (293-305) 
[12] (374-378) 
 
 
 
 
 

---

 
8
7-§.Egri chiziqli va to’plamiy korrelyatsiya. Korrelyatsion va regression 
modellarning amaliy masalalardagi ahamiyati. 
 
Agar 
X 
va 
Y 
orasidagi korrelyatsion bog’lanish o’rganilayotgan bo’lib, 
( )
x
f
y
x
=
 yoki 
( )
y
x
y
ϕ
=
 regressiya funktsiyalarining grafiklari egri chiziq bilan 
tasvirlanadigan bo’lsa, korrelyatsiya 
egri chiziqli 
deyiladi. 
Egri chiziqli korrelyatsiya nazariyasi ham chiziqli korrelyatsiya nazariyasi 
masalalari kabi masalalarni, ya’ni korrelyatsion bog’lanish formasi va zichligini 
aniqlash bilan shug’ullanadi. Egri chiziqli korrelyatsiyada masalan, 
Y
 ning 
X
 ga 
regressiya funktsiyalari quyidagi ko’rinishlarda bo’lishi mumkin: 
c
bx
ax
y
x
+
+
=
2
 
(ikkinchi tartibli parabolik korrelyatsiya); 
d
cx
bx
ax
y
x
+
+
+
=
2
3
 
(uchinchi tartibli parabolik korrelyatsiya); 
 
b
x
a
y
x
+
=
 
(giperbolik korrelyatsiya);  
 
bx
x
e
a
y
⋅
=
 
(ko’rsatkichli korrelyatsiya) va h.k. 
Albatta, belgilar orasidagi korrelyatsion bog’lanishni ifodalovchi regressiya 
tenglamalaridagi noma’lum parametrlarni aniqlash yoki statistik baholash 
masalalari ham muhim hisoblanadi. 
Regressiya tenglamasining noma’lum parametrlarini eng kichik kvadratlar 
usuli bilan izlanadi. Egri chiziqli korrelyatsiya zichligini baholash uchun tanlanma 
korrelyatsion nisbatlar xizmat qiladi. 
Egri chiziqli korrelyatsiyaning sodda hollaridan biri parabolik 
korrelyatsiyani ko’raylik. Aniqlik uchun 
Y
 ning 
X 
ga regressiyasi tenglamasini 
qaraymiz. Bunda regressiya tenglamasi 
c
bx
ax
y
x
+
+
=
2
 ko’rinishda bo’lib, 

---

 
9
c
b
a
,
,
koeffitsientlarni tanlanma ma’lumotlari bo’yicha topish kerak bo’ladi. 
Noma’lum koeffitsientlarni 
(
)
c
bx
ax
y
i
i
i
i
+
+
−
=
2
ν
, 
n
i
...,
3
,
2
,
1
=
 
chetlanishlar kvadratlarining yig’indisi eng kichik bo’ladigan qilib, tanlaymiz. Shu 
maqsadda, quyidagi funktsiyani kiritamiz: 
 
(
)
(
)
(
)
∑
∑
=
=
+
+
−
=
=
n
i
i
i
i
n
i
i
c
bx
ax
y
c
b
a
F
1
2
2
1
2
,
,
ν
  
 
Chiziqli korrelyatsiya holidagi kabi ushbu funktsiyani ekstremumga 
tekshiriladi va quyidagi sistema hosil qilinadi. 
 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
+
=
+
+
=
+
+
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
i
n
i
n
i
n
i
i
i
i
y
cn
x
b
x
a
y
x
x
c
x
b
x
a
y
x
x
c
x
b
x
a
1
1
1
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
1
1
2
3
4
 
Tanlanma natijalari bo’lmish 
(
)
i
i
y
x
,
 juftliklarni bu sistemaga qo’yib, 
hamda uni echib, izlanayotgan 
c
b
a
,
,
 koeffitsientlarni topiladi. 
X
 va 
Y
 belgilar 
orasidagi korrelyatsion bog’liqlik kuchi yoki zichligi, egri chiziqli korrelyatsiyada 
yx
η
 korrelyatsion nisbat bilan aniqlanadi.  
 
y
y
yx
X
σ
σ
η
=
 
 Bunda 
 
 
(
)
(
)
.
;
2
2
n
y
y
n
n
y
y
n
i
i
y
x
x
y
X
∑
∑
−
=
−
=
σ
σ
 
Ba’zi amaliy masalalarda ikkita emas, balki undan ko’p belgilar orasidagi 
bog’lanishni o’rganish zarurati tug’iladi. Belgilar orasidagi korrelyatsion 
bog’lanish bu holda to’plamiy (yoki ko’p-lik) korrelyatsiya deb ataladi. 
To’plamiy korrelyatsiyaning eng sodda holi bo’lgan chiziqli korrelyatsiyani 
qaraymiz. Bu holda 
X
, 
Y, 
va 
Z 
belgilar orasidagi korrelyatsion munosabat 

---

 
10
Z=aX+bY+c 
tenglama ko’rinishida ifodalanadi. 
Bunda quyidagi masalalarni hal qilish zarur: 
1) tanlanma ma’lumotlari bo’yicha 
 koeffitsientlarni shunday tanlash 
kerakki, 
Z=aX+By+C 
funktsiya belgilar orasidagi bog’liqlikni 
«yaxshiroq» ochib bersin; 
2) 
X, Y
 va 
Z
 belgilar orasidagi bog’lanish zichligini yoki kuchini miqdoriy 
baholash; 
3) fiksirlangan 
Y
 da 
Z, 
va X orasidagi, yoki  
 fiksirlangan 
Z 
da 
Y
 va 
X
 orasidagi bog’lanishni  
 aniqlash. 
Avvalgidek 
c
b
a
,
,
 koeffitsientlarni eng kichik kvadratlar usuli bilan 
topiladi. Buning uchun 
(
)
(
)
(
)
c
by
ax
Z
c
by
ax
Z
c
by
ax
Z
n
n
n
n
+
+
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
ν
ν
ν
.........
..........
..........
..........
,
,
2
2
2
2
1
1
1
1
 
chetlanishlar qaraladi hamda chetlanishlar kvadratlarining yig’indisidan iborat  
 
(
)
(
)
(
)
2
1
1
2
,
,
∑
∑
=
=
+
+
−
=
=
n
i
i
i
i
n
i
i
c
by
ax
Z
c
b
a
F
ν
 
funktsiya tuziladi. Noma’lum 
c
b
a
,
,
koeffitsientlarning shunday qiymatlarini topish 
kerakki, bunda 
F(a, b, s) 
funktsiya eng kichik qiymatga erishsin. Ma’lumki, 
buning uchun 
c
b
a
,
,
 argumentlar bo’yicha xususiy hosilalarni hisoblab, nolga 
tenglashtirish zarur. 
 
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−
+
+
−
=
∂
∂
=
−
+
+
−
=
∂
∂
=
−
+
+
−
=
∂
∂
∑
∑
∑
=
=
=
0
1
2
0
2
0
2
1
1
1
n
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
n
i
i
i
i
i
c
bx
ax
Z
c
F
y
c
bx
ax
Z
b
F
x
c
bx
ax
Z
a
F
  

---

 
11
Bu sistemani noma’lum 
c
b
a
,
,
 larga nisbatan echib, 
Z= aX+bY+s
 funktsiyani 
topamiz. Ko’pincha 
x, u, z 
orasidagi bog’lanish tenglamasi  
 
(
) (
)
Т
Т
Т
y
y
B
x
x
A
Z
Z
−
+
−
=
−
 
shaklda yoziladi. 
Bu tenglamadagi 
A 
va 
V 
koeffitsientlar quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:  
y
z
xy
zx
yx
yz
x
z
xy
xy
yz
xz
r
r
r
r
B
r
r
r
r
A
δ
δ
δ
δ
⋅
−
⋅
−
=
⋅
−
⋅
−
=
2
2
1
1
 
Bunda 
−
xy
yz
xz
r
r
r
,
,
mos ravishda 
X
 va 
Z
, 
Y
 va 
Z, X
 va 
Y
 belgilar 
korrelyatsiya koeffitsientlari; 
−
z
y
x
δ
δ
δ
,
,
mos belgilar tanlanma o’rtacha kvadratik 
chetlanishlari. 
Z
 belgining 
X
 va 
Y
 belgilar bilan bog’liqligining zichligi quyidagi to’la 
korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi. 
2
2
2
2
1
2
xy
yz
yz
xz
xy
xz
r
r
r
r
r
r
R
−
+
−
=
 
Shuningdek, 
Y
 ning tayin fiksirlangan qiymatida 
Z 
va 
X
 orasidagi bog’lanish 
zichligi  
 
( )
(
)(
)
2
2
1
1
2
yz
xy
yz
xy
xz
y
xz
r
r
r
r
r
r
−
−
−
=
 
xususiy korrelyatsiya koeffitsienti bilan baholanadi. 
Tabiatda turli-tuman jarayonlarni o’rganishda, tasodifiy jarayonlarning 
o’zaro bog’liqlik qonunlarini ochishda, hamda umuman prognozlash masalalarida 
korrelyatsion va regression analizning xulosalari katta ahamiyatga egadir. 
Xususan, iqtisodiy jarayonlarni tadqiq etishda turli iqtisodiy ko’rsatkichlarning bir-
biriga bog’liqligini aniqlash va shu asosda ma’lum xulosalar chiqarishda 
korrelyatsiya nazariyasining elementlari muvaffaqiyatli tatbiq etib kelinmoqda. 
  

---

 
12