Elektrodinamika Nagy, Károly Elektrodinamika

26
2. fejezet - ELEKTROSZTATIKA I. ELEKTROSZTATIKUS
TÉR VÁKUMBAN
Az  I.  fejezetben  a  tapasztalatból  kiindulva  megfogalmaztuk  azokat  az  alaptörvényeket,  amelyek  az  elektromos  és  mágneses  jelenségek  fizikai
sajátságait  írják  le.  Ezek  ismeretében  a  jelenségek  igen  széles  köre  tárgyalható  elméleti  úton.  A  következő  fejezetekben  végigmegyünk  az
egész  elektrodinamikán,  és  a  legfontosabb  jelenségeken  megmutatjuk  a  Maxwell-elmélet  alkalmazását,  miközben  új  ismereteket  szerzünk  az
elektromágnesség területén.
Először  az  elektrosztatikus  térrel  foglalkozunk.  Ezen  a  nyugvó  töltések  időben  állandó  elektromos  terét  értjük.  Alapegyenleteit  a  Maxwell-
egyenletekből kapjuk a következő feltételek figyelembevételével:
1. minden fizikai mennyiség állandó az időben;
2. a töltések nem mozognak, tehát 
v = 0; továbbá nincs áram: j = 0.
A Maxwell-egyenletek és a határfeltételek ezekkel a feltételekkel a következő alakot öltik:
Látható, hogy sztatikus tér esetén a Maxwell-egyenletek két egymástól független egyenletrendszerre esnek szét. Egyik az elektromos, másik a
mágneses tér tulajdonságait írja le.
A következőkben a vákuumbeli elektrosztatikus térrel foglalkozunk. Vákuumban ε = 1, ezért
D = E.
Az elektrosztatikus tér potenciálja
A sztatikai teret leíró alapegyenletek:
 ((10,1). egyenlet);

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
27
 ((10,2). egyenlet).
Az elektrosztatika alapfeladata: megadott 
 töltéseloszlás 
E(r) elektrosztatikus terét kell meghatározni a tér minden pontjában.
A (10,1) egyenlet szavakkal kifejezve azt jelenti, hogy az elektrosztatikus tér rotációmentes: a térerősségvektor rotációja minden pontban eltűnik. A
matematikából ismeretes, hogy a rotációmentes vektorterek skalártérből származtathatók. A (10,1) egyenlet ugyanis kielégül, ha az 
E térerősséget
egy 
 skalár függvény gradienseként írjuk fel:
 ((10,3). egyenlet).
(10,3) a (10,1) egyenlet általános megoldása. Jelentése a következő: ha a 
 skalárt ismerjük minden pontban, akkor a térerősséget (10,3)
alapján egyszerűen gradiensképzéssel kapjuk. Feladatunkat tehát visszavezettük a Φ skalártér meghatározására. Φ-t a sztatikus tér potenciáljának
nevezzük.
A térerősség (10,3) kifejezését írjuk be a (10,2) egyenletbe:
 ((10,4). egyenlet).
Mivel
,
a 
 skalártér meghatározására szolgáló (10,4) egyenlet a következő alakot veszi fel:
 ((10,5). egyenlet).
(10,5) az elektrosztatikus potenciál Poisson-egyenlete. Adott 
 töltéseloszlás sztatikus potenciálját a (10,5) megoldásával kapjuk.
A térerősségre vonatkozó határfeltételek is felírhatók a Φ potenciál segítségével:
 ((10,6). egyenlet);
 ((10,7). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
28
Az elektrosztatikus tér Φ potenciáljának konkrét fizikai jelentése van. E célból számítsuk ki azt a munkát, amelyet a tér végez, amikor a pozitív
egységnyi elektromos töltést elmozgatja a tér A pontjából a B-be (16. ábra):
 ((10,8). egyenlet).
16. ábra -
A végzett munka tehát az 
 út végpontjaiban érvényes potenciálok különbségével egyenlő. (10,3)-ból következik, hogy az 
E elektromos térerősség
és  a  Φ  potenciál  közötti  kapcsolat  egy  konstans  erejéig  meghatározott.  Ugyanis  Φ-hez  tetszőleges  konstans  hozzáadható  anélkül,  hogy 
E
megváltozna. Ez lehetőséget ad arra, hogy a sztatikus potenciál értékét egy pontban tetszés szerint megválasszuk. Az elméleti fizikában a potenciál
végtelen távoli pontban felvett értékét zérusnak választjuk: 
. (Technikai problémáknál általában a Föld potenciálját választjuk zérusnak.)
Miután a potenciál végtelenben felvett értékét így előírtuk, nemcsak a potenciálkülönbségnek, hanem magának a potenciálnak is van konkrét fizikai
jelentése: Φ(P) az a munka, amelyet az elektrosztatikus tér végez, amikor a pozitív egységnyi töltést a P pontból a végtelenbe mozgatja.
A (10,8) összefüggésből az is látszik, hogy a sztatikus tér munkája független az úttól; a kezdő- és végállapot egyértelműen meghatározza. Az
elektrosztatikus tér tehát konzervatív.
A ponttöltés elektrosztatikus tere
Gondoljunk  el  pontszerű  pozitív  e  elektromos  töltést,  amely  a  vonatkoztatási  rendszerül  választott  derékszögű  koordináta-rendszer  origójában
nyugszik.  Határozzuk  meg  az  általa  keltett  elektrosztatikus  teret.  Az  előző  pontban  mondottak  szerint  előbb  a  tér  potenciálját  határozzuk  meg.
Keressük tehát a Φ potenciál értékét a tér valamely P pontjában. Az (x, y, z) koordinátájú P pont helyét az 
r = r{x, y, z) helyzetvektorral jellemezzük
(17. ábra). A potenciál meghatározására a (10,5) Poisson-egyenlet szolgál. A ponttöltésen (tehát az origón) kívül az egyenlet jobb oldala zérus. A
megoldandó egyenlet tehát:
 ((11,1). egyenlet).

---

ELEKTROSZTATIKA I.
ELEKTROSZTATIKUS TÉR VÁKUMBAN
29
17. ábra -
Az origóban nyugvó ponttöltés potenciáltere gömbszimmetrikus, a Φ potenciál tehát csak az origótól mért r távolságtól függ. Ezért célszerű a (11,1)
egyenletet polárkoordinátákban felírni. Mivel 0 nem függ a polárszögektől, (11,1) polár- koordinátákban a következő alakot veszi fel:
 ((11,2). egyenlet).
Vezessük be a 
 függvényt. A (11,2) egyenlet Ψ-re a következő egyszerű alakba írható:
 ((11,3). egyenlet).
Ennek az egyenletnek megoldása:
 ((11,4). egyenlet),
ahol A és B meghatározandó állandók. (11,4)-ből a Φ potenciálra a következő kifejezést kapjuk:
 ((11,5). egyenlet).
Az előző pontban a potenciált úgy normáltuk, hogy az 
-ben eltűnik. Ebből következik, hogy az A konstans értéke zérus:
A = 0.

---