Elmi ƏSƏRLƏR, 2016, №3 (77) nakhchivan state university. Scientific works, 2016, №3 (77)
Yüklə 1,43 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- Tərif
73
Praktikada ardıcıllıq, ardıcıllığın xassələri və eləcə də limitin tapılması məsələsi əsasən, limitlərin cəbri cəmi, hasilin və nisbətin limitinə aid teoremləri ilə sıx bağlı olduğundan Ş məktəb riyaziyyatı kursunda heç də mütləq olaraq nəzərdə tutulmur ki, bəhslə bağlı məsələlərin hamısı mütləq mənada şagirdlərə öyrədilməlidir. Lakin bəzi xassələrin öyrədilməsi ümumi təsəvvür baxımından çox səmərəli olardı. Bu məqsədlə bir neçə xassəyə nəzər yetirək.
İsbatı: Fərz edək ki, { а n } ardıcıllığının iki müxtəlif limiti var: a və b .
0 olaraq = 3 a b , (b а) seçsək, bu halda a və b nöqtələri kəsişməyən (а- , а+
) və (б- , b+
)
intevalları daxilində yerləşər.
Onda a ədədi {а н } ardıcıllığının limiti olduğundan, yuxarıda baxdığımız tərifə görə a nöqtəsinin (а- , а+ ) ətrafında sonsuz, bu ətrafdan kənarda isə olsa-olsa sonlu sayda hədləri vardır. Deməli, b nöqtəsinin ətrafında ardıcıllığın sonlu sayda hədləri vardır ki, bu da o deməkdir ki, b nöqtəsi verilmiş ardıcıllığın limiti ola bilməz. Qeyd edək ki, burada yuxarıdakı üllüstrasiya və uyğun tərifdən istifadə teoremin isbatı üçün prinsip rolunu oynayır.
N üçün а n
b ( а n ≥ b ) bərabərsizliyini ödəyən b ədədi olduqda {а n } ardıcıllığına yuxarıdan (aşağıdan) məhdud ardıcıllıq deyilir. Tərif : Aşağıdan və yuxarıdan məhdud olan ardıcıllığa məhdud ardıcıllıq deyilir.
Aydındır ki, {а n } ardıcıllığı yalnız o zaman məhdud olar ki, istənilən n N üçün | а n | b bərabərsizliyini ödəyən b ədədi olsun. Bu halda deyirlər ki, {а н } ardıcıllığı b ədədi ilə məhduddur. Əgər ardıcıllıq məhdud deyilsə, onda ardıcıllığa qeyri-məhdud ardıcıllıq deyilir.
Bu yuxarıdakıları ümumiləşdirərək ardıcıllıqlar haqqında aşağıdakıları söyləmək yerinə düşərdi:
İstənilən n N üçün { а n } ardıcıllığının hədləri а n
а n +1 şərtini ödədikdə belə ardıcıllığa azalmayan, а n ≥ а n +1 şərtini ödədikdə isə ona artmayan ardıcıllıq deyilir.
Həmçinin, а n
а n +1 şərti ödəndikdə ona artan, ödənmədikdə isə ona azalan ardıcıllıq deyilir.
Qeyd edək ki, ardıcıllığın yığılan və ya dağılan olması ilə bağlı olaraq ümumi, şablon bir fikir söylənməyib ki, onun vasitəsi ilə verilən ardıcıllığın haqqında yuxarıda söylənilən fikirləri demək mümkün olsun. Elə bu baxımdan da qeyd edilməlidir ki, ardıcıllığın yığılanlığı ilə bağlı olan yuxarıdakı tərif də bir o qədər əlverişli deyildir. Belə ki, həmin tərifə görə limitin qiyməti də tərifə daxildir və o da əvvəlcədən heç də məlum olmur. Bunun üçün də ardıcıllığın yığılan və ya dağılan olmasını bilmək üçün bir kriteriyanın olması əlverişlidir ki, o kriteriya aşağıdakı teorem vasitəsi ilə verilir. Yaxşı olar ki, kriteriyanı söyləməmişdən əvvəl fundamental ardıcıllıq anlayışı ilə tanış olaq.
0 ədədinə görə elə n n və m n
şərtini ödəyən bütün n və m nömrələri üçün
х n - х m bərabərliyi ödənilsin, onda deyirlər ki, n х ardıcıllığı Koşi şərtini ödəyir.
Tərif : Koşi şərtini ödəyən ardıcıllığa fundamental ardıcıllıq deyilir. Tərifdəki m və n nömrələri biri-birindən fərqli olduğundan tərifdəki m nömrəsi əvəzinə m
х n - х n+p
bərabərsizliyini alırıq. (*)
0 ədədinə görə elə н
nömrəsi varsa ki, n n şərtini ödəyən bütün n nömrələri üçün х
n - х
m
bərabərsizliyi ödənilsin, onda deyirlər ki,
х
ardıcıllığı Koşi şərtini ödəyir.
Yığılan ardıcıllıqlar üçün Koşi kriteriyasının yada salnmasını bir qədər də metodiki olaraq məqsədəmüvafiq hesab etmək olardı. Və qeyd edək ki, kriteriya və onun isbatı heç də çətin, anlaşılmaz deyildir və onunla bir çox ədəbiyyatlardan tanış olmaq olar. Yalnız kriteriyanın özü ilə tanışlıq yerinə düşərdi.
Yüklə 1,43 Mb. Dostları ilə paylaş:
|