gudačkim instrumentima, pa ih primenili na prostorne razdaljine pla-
netnog sistema, mislioci i naučnici nalaze se u opasnosti da prirodne
činjenice sabijaju u brojčane sheme. Frančesko Sići (Francesco Sizi),
firentinski astronom iz sedamnaestog veka suprotstavlja se na sledeći
način Galilejovom otkriću Jupiterovih meseca:
»Covekova glava ima sedam prozora, dve nozdrve, dva oka, dva uveta
i jedna usta; tako, i na nebu ima dve povoljne zvezde, dve nepovoljne,
dve svetiljke, i samo Merkur neodlučen i neuvršćen. Iz toga i mnogih
drugih sličnih prirodnih pojava, kao što su sedam metala itd., koje bi
bilo teško nabrajati, zaključujemo da broj planeta nužno iznosi sedam__
Sem toga, Jevreji i drugi drevni narodi, kao i današnji Evropljani
prihvatili su podelu nedelje na sedam dana i nazvali ih prema imenima
sedam planeta. Ako sada povećamo broj planeta, čitav sistem se raspada.«
U takvim slučajevima, um ne može ili nije voljan da se suoči
sa činjenicom primarne situacije zato što model čistih količina po
stavlja drukčije zahteve. Taj model privlači um svojom elegantnom
jednostavnošću. On je doduše vizuelan i opažajan, ali na jednom ide-
alizovanom nivou.
Brojevi su opažaj ne celine, vizuelne, a često taktilne i auditivne.
Ova činjenica je od odlučujuće važnosti za nastavu i učenje aritme
tike. Nastavnici koji ne shvataju da brojevi imaju svoju sopstvenu
opažajnu oblast povezuju aritmetiku sa »životnim situacijama« da bi
prevazišli »apstraktnost«, koja je tobože toliko teška za neobrazovan
mozak. Tako se, u Specijalnoj jedinici za obrazovanje, koja u ame
ričkoj vojsci postoji za regrute sa malo škole, »jedna izmišljena ličnost,
redov Pit, prati kroz njegovu vojničku karijeru, pa je čitav tečaj
postavljen na fùnkcionalan nivo. Utvrđeno je da će ljudi da upamte
mnogo više ako im se kaže da jedan čovek ima četiri jabuke a drugi
mu da još četiri, tako da prvi čovek ima osam jabuka, a ne da su
4 + 4 jednako 8.«
Da li je ovaj metod prihvatljiviji, zavisi od toga kako bi se
drukčije predavalo. Ako bi se inače nastava aritmetike oslanjala
prosto na govorne glasove i pisane brojčane znakove, koji se nabubaju
i kojima se izvode nerazumljive i besmislene operacije, onda će reg
ruti, kao i svaki drugi razumni ljudi, zaista sa lakoćom da pozdrave
svako ukazivanje na razumljivu životnu situaciju. Ali, »praktični pri-
meri« u nastavi aritmetike, imaju svoje dve strane. Ovo je jasno
istaknuto u nekim novijim istraživanjima o ovoj temi. Margerita Ler
(Marguerite Lehr), u svom uvodu knjizi Katarine Stem (Catherine
Stern) o strukturalnoj aritmetici, odbija da prihvati tvrđenje da je
»stvarni pojam broja ,đua‘ teža apstrakcija nego ,crveno1 ili ,stolica‘
Ona dalje kaže:
»Kada se čovek toliko uporno trudio da se, pomoću tako mnogo ne
adekvatnih jezičkih formi, oslobodi sputavajuće veze: dve noge, dva ka
mena, kada je razmišljao o dva lava, o paru cipela, prvom čoveku, drugom
čoveku i na kraju prepoznao dvojku u svom njenom bogatstvu i jedno
stavnosti sa njenim konotacijama reda, veličine, forme i njenom potpunom
ravnodušnošću prema svemu: dva od čega? — zašto bismo namemo puštali
svoju decu da počinju kao da su savremenici onih prvih divljih plemena?«
176
Tradicionalni pristup nastave aritmetike da se zadaci iz računa
nakite kao situacije iz svakodnevnog života zamagljuje činjenice na
koje učenik treba da se usredsredi. Ali, on bar ne brka oblast prirode
sa oblašću čistih količina. On se ograničava na situaciju iz svako
dnevnog života i prepušta učeniku da otkriva brojeve skrivene u njoj
a da zanemaruje sve drugo, sem brojeva. Do većih teškoća dolazi
kada se oblast prirode i podjednako opažajna oblast kvantiteta strpaju
u isti koš. To dovodi do predstava sastavljenih od neodgovarajućih
elemenata, koji ometaju jedan drugog. Na primer, prema Projektu za
aritmetiku Ilinojskog univerziteta u SAD, deca moraju da uče mate
matiku pomoću »igara sa brojčanim nizovima«. Brojčani niz je vodo
ravna decimalna skala, nacrtana na hartiji i obeležena brojevima
počev od 0 na levoj strani, pa idući do 25 na desnoj. Detetu se kaže
da tu ima »plusnih cvrčaka«, koji skaču po nizu sleva nadesno, i
»minusnih cvrčaka«, koji skaču ulevo. Jedan »+ 4 cvrčak« pravi sko
kove od po četiri jedinice udesno; jedan »— 3 cvrčak« pravi skokove
od po tri jedinice ulevo. U tipičnom primeru kaže se: »+ Jedan + 4
cvrčak počinje da skače kod 2 i napravi pet skokova; gde da završi?«
To je u stvari (4 X 5) + 2 = 22, prevedeno na novi slikovni jezik.
Detetu možda i neće biti isuviše teško da zamisli nepostojećeg
cvrčka na vidljivoj mernoj skali. Možda će čak uspeti i da pravi
razliku između cvrčkova od tri skoka i cvrčkova od četiri skoka. Ali,
do prave prepone stiže kada se od njega zatraži da razume samu
činjenicu za koju je i izmišljen čitavi taj sistem, naime, odnos između
plus i minus. Od njega se očekuje da i ažurne plus i minus pomoću
analogije desno i levo; ali, ta analogija je pogrešna. Vizuelni prostor
u svetu cvrčka i ljudi je izotropan, nautralan, što se smerova tiče
kada se radi o horizontalama, tj. jedno kretanje ulevo prosto je
ogledalska slika kretanja udesno. Ova simetrija postoji u aritmetici
samo ako se zanemari značenje izraza »sabiranje« i »oduzimanje«.
U oblasti čisto formalnog manipulisanja, ova transpozicija može zaista
da bude prostorno simetrična:
3 + 4 = 7
7 - 4 = 3
Međutim, ovo je tako sve dok se zanemaruje bitna činjenica
koju dete treba da razume, naime, da plus nije na ime cvrčaka ni
putokaz, nego znači sabiranje nečega, dok minus znači oduzimanje
nečega. Takva razlika ne postoji kada neko pravi skokove u suprot
nim smerovima; a, ukloniti tu razliku znači svesti osmišljeno barata
nje količinama na prosto žongliranje brojevima. Zadatak je dodeljen
neodgovarajućoj opažajnoj oblasti.
N {SD ©} *N {0} »N {@D © ® }
Slika 177
Još jedan primer, jednostavniji i drastičniji, može da doprinese
ilustrovanju ovog problema. U projektu koji je Stenfordov univer
zitet (Stanford) izradio za nastavu matematike u prvom i drugom
razredu osnovne škole, stvarne slike predmeta — lopte, doboši, kocke
— stavljene su u zagrade u formule iz teorije skupova (si. 177). Od
12
177
Dostları ilə paylaş: |