Teorema 4.8.
A ≥ 0
matritsa faqat va faqat shu holda primitive
bo’ladiki, qachonki A matritsaning qandaydir darajasi musbat bo’lsa:
𝐴
𝑝
> 0 (𝑝 > 1)
(4.64)
Isboti.
Agar
𝐴
𝑝
> 0
bo’lsa, u holda A matritsa yoyilmaydigan bo’ladi,
chunki A matritsaning yoyiluvchanligidan
𝐴
𝑝
matritsaning yoyiluvchanligi
kelib chiqadi. A matritsa uchun hq1 bo’ladi, chunki, aks holda
𝐴
𝑝
musbat
matritsa
1
𝑝
,
2
𝑝
, … ,
ℎ
𝑝
h ta
𝑟
𝑝
maksimal mudulli harakteristik sonlarga ega bo’ladi. Bu perron
teoremasiga ziddir.
Endi aksincha bo’lsin, ya’ni A primitiv matritsa berilgan bo’lsin.
𝐴
𝑝
= ∑
1
(𝑚
𝑘
−1)!
𝑠
𝑘=1
[
𝐶(
)
𝑝
𝜑
𝑘
(
)
]
=
k
𝑚
𝑘
−1
(4.65)
bu yerda
111
𝜑(
) = (
1
)
𝑚
1
(
2
)
𝑚
2
… . (
𝑠
)
𝑚
𝑠
(
f
j
, j = f da)
A-matritsaning minimal ko’phadi,
𝜑
𝑘
(
) =
𝜑(
)
(
k
)
𝑚𝑘
(𝑘 = 1,2, … , 𝑠)
𝐶(
)
esa keltirilgan, yopishgan matritsa
𝐶(
) = (
)
(
)
1
A
E
)
bu holda
1
= r > |
2
| > ⋯ > |
s
|, m = 1
(4.66)
deb olish mumkin bo’lib,
𝐴
𝑝
=
𝐶(𝑟)
𝜑(𝑟)
́ 𝑟
𝑝
− ∑
1
(𝑚
𝑘
− 1)!
𝑠
𝑘=1
[
𝐶(
)
𝑝
𝜑
𝑘
(
)
]
k
𝑚
𝑘
−1
bo’ladi. Bundan (4.65) ga asosan
lim
𝑝→∞
𝐴
𝑝
𝑟
𝑝
=
𝐶(𝑟)
𝜑(𝑟)
́
(4.67)
bo’ladi.
Ikkinchi tomondan C(r)>0 va
𝜑(𝑟)
́
> 0
. Shuning uchun
lim
𝑝→∞
𝐴
𝑝
𝑟
𝑝
> 0
bo’lib, qandaydir 1 dan boshlab,
𝐴
𝑝
>0 bo’ladi.
Eslatma.
Agar A matrirsa primitive va
𝐴
𝑝
> 0
bo’lsa, u holda barcha
m>p uchun
𝐴
𝑚
> 0 bo
′
ladi,
A matritsa nolli qatorni o’zida saqlamaydi.
Natija.
Primitiv matritsaning darajasi har doim yoyilmaydigan va
primitiv bo’ladi.
Lemma4.4
. agar A-primitiv matritsa bo’lsa, u holda ixtiyoriy ikkita
𝑖
,k
indekslar uchun shunday
𝑖, 𝑖
1
, 𝑖
2
, … , 𝑖
𝑠
, 𝑘 (𝑠 ≥ 0)
indekslar zanjiri mavjudki,
unda
𝑎
𝑖𝑖
1
> 0, 𝑎
𝑖
1𝑖2
> 0, … , 𝑎
𝑖
𝑠
𝑘
> 0
112
bo’ladi.
Bunday zanjirlarni A matritsada
𝑖
dan k ga olib boradi deb aytamiz. S+1
son zanhirning uzunligi deyiladi.
𝑖
dan k ga olib boruvchi eng qisqa zanjirda
barcha zanjirlar juft-jufti bilan har xil bo’ladi.
Lemmani isbotlash uchun
𝑠 ≥ 0
deb olish yetarli bo’lib, unda
0
1
,
1
1
n
k
i
s
ik
s
a
A
bo’lishi kerak. U holda
∑
𝑎
𝑖𝑖
1
𝑛
𝑖
1
,𝑖
2
,…,𝑖
𝑠=1
𝑎
𝑖
1𝑖2
…..
𝑎
𝑖
𝑠
𝑘
− 𝑎
𝑖𝑘
𝑠+1
> 0
va barcha qo’shiluvchilar manfiymas, u holda ularning hech bo’lmaganda bittasi
musbat bo’ladi. U so’ralayotgan indekslar zanjirini beradi.
Teorema 4.9.
Agar
A ≥ 0
-yoyilmaydigan matritsa bo’lib, uning
qandaydir darajasi
A
q
yoyiluvchi bo’lsa, u holda
A
q
daraja to’la yoyiluvchi,
ya’ni
A
q
ni qatorlarini
A
q
daraja to’la yoyiluvchi, ya’ni
A
q
ni qatorini
almashtirib, quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin:
A
q
= {A
1
, A
2
, … , A
d
, }
(4.68)
bu yerda
A
1
, A
2
, … , A
d
-yoyilmaydigan matritsalar. Bu matritsalar bir xil
maksimal harakteristik songa ega. Shu bilan birga d son q va h sonlarning eng
katta umumiy bo’luvchisi bo’lib, bu yerda h son A matritsaning imprimitivlik
indeksi.
Isboti.
A matritsa yoyilmaydigan bo’lgani uchun Fobenus teoremasiga
ko’ra, r maksimal harakteristik songa a va A
T
matritsalarning musbat xos
vektorlari mos keladi. Ammo bu musbat vektorlar
q
r
harakteristik songa
A
q
va (A
q
)
T
matritsalar uchun ham xos vektorlar bo’ladi. Shuning uchun ham A
q
darajaga teorem 4.7
|
ni qo’llab, bu darajani (4.68) ko’rinishda tasvirlaymiz. Bu
yerda
𝐴
1
, 𝐴
2
, … , 𝐴
𝑑
lar yoyilmaydigan matritsalar bo’lib,
q
r
maksimal
113
harakteristik songa ega bo’ladi. Ammo A matritsa r maksimal modulli quyidagi
h ta harakteristik songa ega :
𝑟, 𝑟𝜀, … , 𝑟𝜀
ℎ−1
(𝜀 = 𝑒
2𝜋
ℎ
𝑖
)
,
shuning uchun
A
q
matritsa ham quyidagi h ta maksimal modulli harakteristik
ega;
𝑟
𝑞
, 𝑟
𝑞
𝜀
𝑞
, … , 𝑟
𝑞
𝜀
𝑞(ℎ−1)
bo’lib, d ta son
𝑟
𝑞
ga teng bo’ladi. Bu faqat d son q va h larning eng katta
umumiy bo’luvchisi bo’lgandagina mumkin. Teorema isbotlandi.
Agar teorema4.9 da q=h deb olsak, quyidagi natijani hosil qilamiz.
Natija.
Agar A-h impitivlik indeksli impitiv matritsa bo’lsa, u holda
A
h
daraja bir hil maksimal harakteristik songa ega bo’lgan h ta primitive
matritsalarga yoyiladi.
Dostları ilə paylaş: |