International scientific conference of young researchers

I INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

Baku Engineering University

  

25  

27-28 April 2018, Baku, Azerbaijan

 

Космический  мусор  является  одной  из  актуальных  проблем  современности.  В  настоящее 

время  разрабатываются  различные  проекты  по  очистке  околоземного  пространства,  однако 

экономически  приемлемых  пока  не  существует.  В  работе  рассматривается  идея  сокращения 

замусоренности околоземного пространства за счет сброса отработавших ступеней в атмосферу 

Земли. 

В начальный момент времени космический аппарат (КА) находится на опорной круговой 

орбите  искусственного  спутника  Земли.  Требуется  за  несколько  импульсных  воздействий 

перевести  его  на  целевую  орбиту  со  сбросом  отработавших  ступеней  в  атмосферу  Земли. 

Дальнейшее  довыведение  спутника  с  целевой  орбиты  на  геостационарную  осуществляется  за 

счет  его  собственных  двигателей.  В  работе  рассматриваются  апсидальные  импульсные 

перелеты. Сухая масса ступени считается пропорциональной массе находящегося в ней топлива 

[1].  Предполагается,  что  в  баки  ступеней  залито  столько  топлива,  сколько  достаточно  для 

совершения соответствующего маневра и перевода ступени на орбиту, касающуюся условной 

границы атмосферы. 

Максимизируется  полезная  масса  при  заданном  ограничении  –  импульсе  довыведения 

спутника  с  целевой  орбиты  на  геостационарную.  Рассматриваются  различные  гомановские  и 

биэллиптические  траектории  выведения  спутника  на  целевую  орбиту.  Проводится  их 

параметрический анализ и оптимизация целевой орбиты. 

[1]   Г.Л.  Гродзовский,  Ю.Н.  Иванов,  В.В.  Токарев.  Механика  космического  полета.  Проблемы  оптимизации.  М.: 

Наука, 1975. 

 

 

TEYLOR TEOREMİNDƏ C KƏMİYYƏTİ 

 

Zərifə KƏRİMLİ 

Bakı Mühəndislik Universiteti 

[e-mail] 

AZƏRBAYCAN

 

Elşad EYVAZOV 

Bakı Mühəndislik Universiteti 

[e-mail] 

AZƏRBAYCAN

 

 

XÜLASƏ 

Laqranj formalı qalıq hədli Teylor düsturunda,  f funksiyası üzərinə müəyyən şərtlər qoymaqla, a və b aralığına daxil 

olan elə c

n

 ədədi var ki,  

??????(??????) = ??????(??????) + ??????

′

(??????)(?????? − ??????) +

??????"(??????)(?????? − ??????)

2

2!

+ ⋯ +

??????

(??????)

(??????)(?????? − ??????)

??????

??????!

+

??????

(??????+1)

(??????

??????

)(?????? − ??????)

??????+1

(?????? + 1)!

 

münasibəti doğru olur. Buradakı c

n

 kəmiyyəti məqalənin başlığında verilən c qiymətini ifadə edir. Qalıq həddi Laqranj for-

masında olan Teylor düsturu ilk baxışda sadə olmasına baxmayaraq, praktiki cəhətdən nadir hallarda istifadə olunur, səbəbi isə 

budur ki, bu düsturda iştirak edən c

n

 n-dən asılıdır və ümumiyyətlə, praktiki cəhətdən tapılması mürəkkəb olan məsələdir. Biz 

bu düsturda c

n 

haqda ancaq onun (a,b) aralığına daxil olduğunu bilirik. Bu məqalədə əsas məqsəd, c

n 

kəmiyyətinin verilmiş 

aralıqda  yerini  müəyyənləşdirə  biləcəyimizi  göstərməkdir.  n  dərəcəsi  artdıqca  sadəcə  c

n

  a-ya  yaxınlaşmır,  eyni  zamanda 

??????

??????

≈ ?????? +

??????

??????+2

 , k məhdud qiymətlərdir.  

Açar sözlər: Teylor teoremi, c

n 

kəmiyyəti, Laqranj formalı qalıq hədli 

 

İlk olaraq ??????(??????) = ??????

??????

 funksiyasını [

1,2] aralığında araşdıraq. Dəqiq qrafik çəkmə texnikalarından 

istifadə  edərək,  n  artdıqca c

n

-nin  1-ə  yaxınlaşdığını  görürük.  Şəkil  1 –  də  0 ≤  n  ≤ 20  aralığı  üçün  c

n

 

kəmiyyətinin  uyğun  qiymətlərinin  qrafiki  verilib.  Qrafikdən  göründüyü  kimi,  c

n

  qiymətləri  xaotik 

deyil, hiperbolik nizam üzrə düzülüb.  

 

 

 

 

İkinci olaraq ??????(??????) = ????????????????????????funksiyasını[1, 1.5] aralığında araşdıraq. Şəkil 2- də verilmiş funksiyanın 

0 ≤ n ≤ 20 aralığı üçün c

n

 kəmiyyətinin uyğun qiymətlərinin qrafiki verilib. Eyni şəkildə, burada da c

n 

hiperbola əmələ gətirir. 

---

II INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE OF YOUNG RESEARCHERS 

Baku Engineering University

  

26  

27-28 April 2018, Baku, Azerbaijan

 

 

 

 

 

Növbəti, 

??????(??????) = ???????????????????????? funksiyasına [0, 0.3] aralığında baxaq.Şəkil 3 – də n artdıqca c

n

 – nin 0 – a 

monoton olmayaraq yaxınlaşdığını görürük. Buradan məlum olur ki, ??????

??????

≈

??????

??????

  ,  eyni  zamanda  k  –  nın 

qiyməti n – nin cüt və ya tək olmağından asılıdır.  

 

 

 

 

Teorem:  

Fərz edək ki, f(x) funksiyasının (a,b) intervalında 0-dan fərqli n+2 – ci tərtibdən 

??????

(??????+2)

 törəməsi 

var. Teylor teoreminin bu intervaldakı c kəmiyyətini ??????

??????

[??????, ??????] kimi işarə edək. Onda,  

 

 

 

 

 

Beləliklə, b a – ya yaxınlaşdıqda 

??????

??????

≈ ?????? +

??????−??????

??????+2

 asimptotik düsturu doğrudur. 

İsbat: Teylor düsturunu ??????(??????) = ??????

??????

(??????) + ??????

??????

(??????) şəklində yazaq, burada p

n

 n- ci dərəcədən Teylor 

çoxhədlisi, r

n 

isə 

??????

??????

[??????, ??????] ilə ifadə olunmuş qalıq həddir.  

 

 

  

??????

??????

(??????) + ??????

??????

(??????) = ??????

??????+1

(??????) + ??????

??????+1

(??????) 

??????

??????

(??????) +

??????

(??????+1)

(??????

??????

[??????, ??????])(?????? − ??????)

??????+1

(?????? + 1)!

= ??????

??????+1

(??????) +

??????

(??????+2)

(??????

??????+1

[??????, ??????])(?????? − ??????)

??????+2

(?????? + 2)!

 

??????

(??????+1)

(??????

??????

[??????, ??????])(?????? − ??????)

??????+1

(?????? + 1)!

=

??????

(??????+1)

(??????)(?????? − ??????)

??????+1

(?????? + 1)!

+

??????

(??????+2)

(??????

??????+1

[??????, ??????])(?????? − ??????)

??????+2

(?????? + 2)!

 

??????

(??????+1)

(??????

??????

[??????, ??????]) − ??????

(??????+1)

(??????)

?????? − ??????

=

??????

(??????+2)

(??????

??????+1

[??????, ??????])

?????? + 2

 

Beləliklə,  

 

 

 

b→a –ya yaxınlaşmaq şərtilə limitə keçərək və sağ tərəfi sadələşdirərək araşdırılan nəticəni ala 

bilərik.  

Nəticə olaraq, (a,b) intervalında təyin edilmiş həqiqi qiymətli f funksiyası üçün, elə 

?????? ∈ (??????, ??????) var 

ki, 

??????(??????) = ??????

??????

(??????) +

??????

(??????+1)

(??????)

(??????+1)!

 kimi ifadə edilə bilər. Biz bu məqalədə c kəmiyyətinin n-dən asılı olaraq 

özünü necə aparmasını və harda yerləşdiyini araşdırdıq.  

 

ƏDƏBİYYAT 

1.

 

Richard Kreminski, “Taylor theorem: the elusive c is not elusive”, The College Mathematics Journal v. 41, page 190 – 

196 (2010). 

2.

 

R. Mera, “On the determination of the intermediate point in Taylor’s theorem”, Amer. Math Monthly v. 99, page 56 – 

58 (1992). 

3.

 

R. Kreminski, Supplementary materials, http://faculty.colostate-pueblo.edu  

 

 

---