O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi

3.f(x) = cos x funktsiyaning yoyilmasi.
Yechilishi: f(x) = cos x funktsiyaning hosilalarini topamiz:
…
x = 0 nuqtada topilgan hosilalarning qiymatlarini aniqlaymiz:

Topilgan qiymatlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

4.f(x) = (1+x)^k – Nyuton binomining yoyilmasi.
Yechilishi: Berilgan Nyuton binomidan ketma – ket hosilalar olamiz:

,…
x = 0 nuqtada qiymatlarini topamiz:

Topilganlarni Makloren qatoriga qo`yamiz:

5. ko`phadni (x - 1) ning darajasi bo`yicha qatorga yoyish.
Yechilishi: Berilgan funktsiyaning hosilalarini topamiz:
x=1 nuqtada ko`phad va uning hosilalari qiymatlarini topamiz:
, , , , ,
Topilgan qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:

6. funktsiyani x = 0 nuqtada Teylor qatoriga yoyish.
Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:
, ,
Qiymatlarini topib, Teylor qatoriga qo`yamiz:
, , , ,…,
U holda,

7. ko`phadni x–2 ning o`suvchi darajasi tartibida Teylor qatoriga yoying.
Yechilishi: Funktsiyaning hosilalarini topamiz:
, ,
Hosilalarning son qiymatini topish uchun x ning o`rniga 2 ni qo`yamiz, ya`ni x=2:
, , , .
Bu qiymatlarni Teylor qatoriga qo`yamiz:
_.
Xulosa
Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar kursida differensial tenglamalarni yechish usullari o’rganiladi. Lekin tenglamalarning aksariyat qismi kvadraturalarda yechilmasligi sababli bu fanni o’rganish davomida kvadraturalarda yechilmaydigan differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish mumkinligi xaqida ma’lumotlar berib o’tiladi, lekin bu ma’lumotlar qisqa va yetarlicha emasdir.
Buning natijasida izlanuvchilar differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullaridan batafsil xabardor bo’la olmaydilar.
Oddiy differensial tenglamalrni darajali qatorlar va Teylor qatorlari yordamida yechish masalasini maxsus funksiyalar yordamida yoritish, misollarni ko’rib chiqish differensial tenglamalarni yechish soxasidagi dolzarb masala bo’lib xisoblanadi.
Bu Kurs ishini tayyorlash uchun avvalo oddiy differensial
tenglamalar kursidan chiziqli oddiy differensial tenglamalar, maxsus funksiyalar
mavzularini, shuningdek matematik analiz kursidan darajali qatorlar va Teylor qatorlari keng ma’noda puxta o’rganib chiqishga harakat qildim. O’rgangan materiallar asosida chiziqli differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida yechish usullarini o’rganishni asosiy maqsad qilib qo’ydim