Pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

Integral hisobi (flyuksiya nazariyasi) 
Flyuksiya nazariyasining muallifi Nьyuton bu nazariya asosiga quyidagi ikkita 
masalani qo’yadi:
1.

Berilgan yo’l bo’yicha berilgan vaqt momentida xarakat tezligini aniq-

lash, ya’ni matematika tilida flyuentalar orasidagi bog’lanish berilgan 
bo’lsa, flyuksiyalar orasidagi bog’lanishni topish.
2.

Berilgan xarakat tezligi bo’yicha berilgan vaqt oralig’ida bosib o’tilgan

yo’lni topish, ya’ni matematikada xarakat turlarini abstraktlashtirilgan 
xoli – o’zgaruvchi miqdorlar. Bular erksiz o’zgaruvchilar bo’lib, umumiy

---

---

64

tilda flyuksiyalar orasidagi bog’lanishga ko’ra flyuentlar orasidagi
bog’lanishni topish. 
Flyuenta nima – uzluksiz mexanik harakat turlarini abstraktlashtirilgan holi –
o’zgaruvchi miqdorlardir. Bular erksiz o’zgaruvchilar bo’lib, umumiy argument – 
vaqt – egadirlar.
Flyuksiya nima – flyuentning o’zgarish tezligi, ya’ni vaqt bo’yicha hosilasi. 
Flyuksiya o’zgaruvchi bo’lgani sababli keyingi flyuksiyalarni qarash mumkin:
...

,
,

,

,

y

y

y

y
Oniy tezlik-flyuktsiyani hisoblash uchun Flyuentning juda kichik o’zgarish-

momentini Nьyuton quyidagicha belgilaydi: vaqt mommenti O, flyuenta momenti

y
=> O

y
oniy tezlikni vaqt momentiga ko’paytmasi. 
Ko’rinib turibdiki, 1-masala oshkormas funktsiyani umumiy holda diferentsial-
lash va natijada tabiat qonuniyatlarining diferentsial tenglamasini chiqarishdan ibo-
rat. 2-masala flyuksiya nazariyasidagi teskari masala – differentsial tenglamalarni
integrallash masalasidir. Boshqacha aytganda boshlang’ich funktsiyani topish 
bo’lib, bu aniqmas integraldir. 3-masala uchun qoida – funktsiyalarni diferentsial-
lashning algoritmini Nьyuton bo’yicha ko’raylik. 
Flyuentlar orasidagi bog’lanish x
3
– ax

2
+ axu – u

3
= 0 berilgan bo’lsin. Ќar 

flyuentga uning momenti qo’yilgan

x
0 bo’lsin: (x+


x
0)
3

–a(x+

x
0)
2

+a(x+

x
0)(u+

y
0)-

(u+

y
0)
3

=0. Qavslarni ochib gruppalagandan so’ng (x

3
-ax

2
+axu-u

3
)+(3x

2

x

0-
20x


x
0+ax

y
0+a

x
0u-3u

2

y

0)+(3x

x
2
0-a


x
2
0

2
+a

x


y
0
2

-3u

y
2
0

2
)+

x
3
0

3
-

y
3
0

3

=0.
Birinchi qavs nolьga teng (shartga ko’ra), qolgan hadlarni vaqt momentiga bo’lib, 0 
qatnashmagan hadlarni olamiz, 0 qatnashgan hadlarni cheksiz kichiklar sifatida
tashlab yuboramiz. Natijada: 3x
2

x
-2ax

x
+ax

y
+ax

y
-3u

2

y

=0 flyuksiyalar orasidagi 
bog’lanishga ega bo’lamiz.
Boshqa

misol:
2

y


ax

Z
u 

holda
z

2

=ax-y
2

bo’lib:

2
2

2

2
2

2

2

y

ax

y

y

x

a

z

y

y

x

a

z

y

y

x

a

z

z
(murakkab funktsiyani differkntsiallash 
qoidasiga ko’ra).
Murakkab vaziyatlarda Nьyuton funktsiyalarni darajali qatorga yoyib, keyin 
ularni diferentsiallagan.
Flyuksiyalar nazariyasiga teskari bo’lgan masala – flyuksiyalar orasidagi 
ma’lum munosabatlarga asosan flyuentlar orasidagi munosabatlarni aniqlashdir. Bu
masala o’zining qo’yilishiga ko’ra umumiy bo’lib, ixtiyoriy differentsial tenglamani 
integrallash masalasiga ekvivalentdir.
Flyuksiyalarni topish natijalarini tekshirish jarayonida Nьyuton ko’plab kvadra-
tura masalalarini ham qiladi va nihoyat o’zgarmas qo’shiluvchini zarurligini hal qila-
di. Shu bilan birga ixtiyoriy differantsial tenglamani integrallash natijalari kutilgan 

---

---

65

natijani bermasligini tez orada sezgan Nьyuton funktsiyani darajali qatorga yoyish
metodidan foydalanadi. Jumladan: 
1) (a+b)
n
, n tegishli Q uchun, dan foydalanish; 

2) kasr-ratsional funktsiyani suratini maxrajiga bo’lish;

3) noma’lum koeffitsientlar metodidan; 
4) o’zgaruvchini almashtirish, natijada qatorga funktsiya u emas balki y ga
nisbatan qulay tanlab olingan funktsiya qatorga yoyiladi; 
5) koordinatalar sistemasini almashtirish va boshqalar.
Flyuksiyalar nazariyasiga oid natijalarni u XVII asrning 60-70 yillar oralig’ida 
ochgan bo’lib, 1686-87 yillarda e’lon qilgan “Tabiiy filosofiyaning matematik bosh-
lanishi” asarida bayon etadi. Bunday kech e’lon qilinishiga sabab cheksiz kichik bilan 
bog’liq hadlarni tashlab yuborishini asoslash edi. Bu muammodan qutulish uchun u
yuqoridagi kitobning birinchi bobida “Birinchi va oxirgi nisbatlar metodi haqida” fikr 
yuritadi.
Metodning mohiyati: cheksiz kichiklar va limitlar haqida teoramalarni isbot-
lashdan iborat edi.
Endi qisqacha Leybnits ishlari bilan tanishaylik: 
1) qatorlar yig’indisini hisoblash (1673 y);
2) urinma haqidagi masalani echish, Paskalьning xarakteristik uchburchagi 
va so’nggi elementlarni cheksiz kichiklarga aylantirish;
3) urinmaga teskari masala, cheksiz kichik ayirmalarning yig’indisini hisob-
lash, differentsial va integral masalalarining o’zaro teskari ekanligini ochi-
lishi (1676 y); 
4) qulay belgilashlar sistemasini yaratish.
1684 yili e’lon qilingan "Maksimumlar, minimumlar hamda urinmalarni 
hisoblashning yangi metodi" asarida yuqoridagi masalalarni muvaffaqiyatli hal qildi.
Bu asar bor yo’g’i 10 bet bo’lib, garchi isbotlashlar bo’lmasa ham, differentsial hisobi 
matematik tekshirishlar ob’ekti sifatida namoyon bo’ladi. Differentsiallash qoidala-
ri: o’zgarmas miqdorlarni, funktsiyalar yig’indisi va ayirmasi, ko’paytmasi va 
bo’linmasi, daraja va ildiz berilgan.
1686 yili e’lon qilingan maqolasida ko’pgina elementar funktsiyalarni integral-
lash qoidalari berilgan.
Bundan keyiingi ishlarida 1693 yili transtsendent funktsiyalarni qatorga 
yoyish bilan integrallash va differentsiallash; 1695 yilda ko’rsatkichli funktsiyani va
ko’paytmani ketma-ket differentsiallash (manfiy ko’rsatkichli), 1702 yilda ratsional 
kasrlarni integrallash qoidalarini beradi. Lekin Leybnits ham cheksiz kichiklarga oid
masalani to’liqligicha hal qila olmadi. 
Yakunida bu yangi metodning avtori Nьyutonmi yoki Leybnitsmi degan
muammoga to’xtaylik. 
Nьyuton avvalroq natijalarga erishgan bo’lsa ham (1665-66), keyin (1686-87)
e’lon qilgan. Uslubi murakkab mexanik uslubdir. 

---

---

66

Leybnits avvalroq e’lon qiladi (1684) algoritmning va belgilashning qulayligi
va aktiv targ’ib qilishi. Uslubi sof geometrik uslub.