Vazirligi mirzo ulug„bek nomidagi

ElGamal shifrlash algoritmi

Bu sxema 1984 yilda misrlik olim Taher El Gamal tomonidan taklif etilgan. ElGamal algoritmi shifrlash va raqamli imzo qo‗yishda foydalaniladi. Algoritm xavfsizligi chekli maydonda diskret logarifmlarni hisoblash qiyinligiga asoslangan. ElGamal sxemasi AQSh (DSA) va Rossiya (GOST R 34.10-94) elektron raqamli imzo standartlari asosini tashkil etadi.

Shifrlash.

1. 
   p – katta tub son tanlanadi.
   
2. 
   Foydalanuvchilar guruhi uchun umumiy g < p tanlanadi.
   
3. 
   x < p-1 yopiq kalit tanlanadi.
   
4. 
   M < p qilib bloklarga ajratiladi.
   
5. 
   y = g ^x mod p hisoblanadi.
   
6. 
   Tasodifiy sessiys kaliti 1< k < p-1 soni tanlanadi.
   
7. 
   a = g ^k mod p hisoblanadi.
   
8. 
   b = (y ^k *M) mod p hisoblanadi. a va b juftlik shifr tekst deyiladi.
   

Shifrni ochish.

M = ^b mod p formula orqali shifr ochiladi.
_a x

Misol.

Tub son p=89, yopiq kalit x=3 va M=BBC matn berilgan. Shu matnni Elgamal algoritmidan foydalanib shifrlaymiz.

Shifrlash.

1. 
   Foydalanuvchilar guruhi uchun umumiy g = 11 (g
   tanlanadi.
   
2. 
   x =3 yopiq kalit.
   
3. 
   Matnni ikkilik sanoq tizimida ifodalaymiz:
   

B → 42₁₆ → 01000010₂, B → 42₁₆ → 01000010₂, 𝐶 → 43₁₆ →
01000011₂. Demak, BBC matn ikkilik sanoq tizimida quyidagicha
ifodalanadi: M=010000100100001001000011.

4. 
   Matnni 6 bit ⁽𝑙 = ^[log₂ 𝑝^] = ^[log₂ 89^] = 6⁾ uzunlikda bloklarga
   

ajratamiz: M₁ = 010000₂ → 16₁₀, M₂ = 100100₂ → 36₁₀, M₃ =
001001₂ → 9₁₀, M₄ = 000011₂ → 3₁₀.

5. 
   y = g ^x mod p= 11³mod 89 = 85.
   
6. 
   k=7.
   
7. 
   𝑎 = 𝑔^kmod p = 11⁷mod 89 = 87.
   
8. 
   𝑏₁ = (𝑦^k · M₁)mod p = (85⁷ · 16)mod 89 = ⁽81 · 16⁾mod 89 = 50,
   

𝑏₂ = (𝑦^k · M₂)mod p = (85⁷ · 36)mod 89 = ⁽81 · 36⁾mod 89 = 68,
𝑏₃ = (𝑦^k · M₃)mod p = (85⁷ · 9)mod 89 = ⁽81 · 9⁾mod 89 = 17,
𝑏₄ = (𝑦^k · M₄)mod p = (85⁷ · 3)mod 89 = ⁽81 · 3⁾mod 89 = 65.
C = ^{a, b₁, b₂, b₃, b₄^} = ^{87,50,68,17,65^} shifrtekst hosil bo‗ldi.

Shifrni ochish.

Shifrni ochish jarayoniga ko‗proq vaqt sarflanadi. Shifrtekstdagi har bir son alohida ochiladi.
M = ⁽b · ⁽a^−1)x)mod p formuladan foydalanamiz.

1. 
   M₁ = ⁽b₁ · ⁽a^−1)x)mod p = ⁽50 · 44³⁾mod 89 = (50 · 11) mod
   

89= 16.

2. 
   M₂ = ⁽b₂ · ⁽a^−1)x)mod p = ⁽68 · 44³⁾mod 89 = (68 · 11) mod
   

89= 36.

3. 
   M₃ = ⁽b₃ · ⁽a^−1)x)mod p = ⁽17 · 44³⁾mod 89 = (17 · 11) mod
   

89= 9.

4. 
   M₄ = ⁽b₄ · ⁽a^−1)x)mod p = ⁽65 · 44³⁾mod 89 = (65 · 11) mod
   

89= 3.

Olingan M₁, M₂, M_3, M₄ larni ikkilik sanoq tizimiga o‗tkazamiz: 16₁₀=>010000₂, 36₁₀=>100100₂, 9₁₀=>001001₂, 3₁₀=>000011₂.

Ularni ketma-ket yozib, 8 bitdan bo‗laklarga ajratib, harflarga o‗tamiz.
010000100100001001000011₂ → ⁽01000010,01000010,01000011⁾₂ → ⁽42,42,43⁾₁₆ → BBC. Ochiq matn
hosil bo‗ldi.

Mustaqil ish uchun misollar.

1. 
   p=83, x=3, a=34, b=32,32,73,74 bo‗lsa, M=?
   
2. 
   p=83, x=3, a=39, b=71,8,34,49 bo‗lsa, M=?
   
3. 
   p=83, x=3, a=34, b=56,32,73,19 bo‗lsa, M=?
   
4. 
   p=89, x=3, a=61, b=67,14,28,60 bo‗lsa, M=?
   
5. 
   p=89, x=3, a=61, b=51,48,12,4 bo‗lsa, M=?
   
6. 
   p=97, x=3, a=21, b=93,93,26,63 bo‗lsa, M=?
   
7. 
   p=79, x=4, a=32, b=76,26,17,19 bo‗lsa, M=?
   
8. 
   p=83, x=3, a=42, b=2,13,53,57 bo‗lsa, M=?
   
9. 
   p=103, x=3, a=35, b=49,19,11,53 bo‗lsa, M=?
   
10. 
    p=107, x=3, a=22, b=24,54,67,58 bo‗lsa, M=?
    
11. 
    p=97, x=3, a=49, b=39,39,86,89 bo‗lsa, M=?
    
12. 
    p=79, x=3, a=32, b=32,65,3,8 bo‗lsa, M=?
    
13. 
    p=83, x=3, a=3, b=17,69,77,28 bo‗lsa, M=?
    
14. 
    p=103, x=3, a=51, b=48,6,36,33 bo‗lsa, M=?
    
15. 
    p=107, x=3, a=5, b=74,6,55,54 bo‗lsa, M=?
    
16. 
    p=97, x=3, a=21, b=93,93,26,63 bo‗lsa, M=?
    
17. 
    p=79, x=3, a=59, b=7,71,13,61 bo‗lsa, M=?
    
18. 
    p=83, x=4, a=3, b=51,41,65,1 bo‗lsa, M=?
    
19. 
    p=103, x=3, a=30, b=83,49,88,12 bo‗lsa, M=?
    
20. 
    p=107, x=3, a=57, b=44,99,105,35 bo‗lsa, M=?
    

Nosimmеtrik kriptoalgoritmlarda simmеtrik kriptoalgoritmlardagi quyidagi kamchiliklar bartaraf etilgan:

• 
  kalitlarni maxfiy tarzda yetkazish zaruriyati yo‗q; nosimmеtrik shifrlash ochiq kalitlarni dinamik tarzda yetkazishga imkon bеradi, simmеtrik shifrlashda esa himoyalangan aloqa sеansi boshlanishidan avval maxfiy kalitlar almashinishi zarur edi;
  
• 
  kalitlar sonining foydalanuvchilar soniga kvadratli bog‗lanishligi yo‗qoladi; RSA nosimmеtrik kriptotizimda kalitlar sonining foydalanuvchilar soniga bog‗liqligi chiziqli ko‗rinishga ega (N foydalanuvchisi bo‗lgan tizimda 2N kalit ishlatiladi).
  

Ammo nosimmеtrik kriptotizimlar, xususan RSA kriptotizimi, kamchiliklardan xoli emas:

• 
  hozirgacha nosimmеtrik algoritmlarda ishlatiluvchi funksiyalarning qaytarilmasligining matеmatik isboti yo‗q;
  
• 
  nosimmеtrik shifrlash simmеtrik shifrlashga nisbatan sеkin amalga oshiriladi, chunki shifrlashda va shifrni ochishda katta rеsurs talab etiladigan amallar ishlatiladi (xususan, RSA da katta sonni katta sonli darajaga oshirish talab etiladi). Shu sababli nosimmеtrik algoritmlarni qurilmalarda amalga oshirilishi simmеtrik algoritmlardagiga nisbatan anchagina murakkab;
  
• 
  ochiq kalitlarni almashtirib qo‗yilishidan himoyalash zarur. Faraz qilaylik "A" abonеntning kompyutеrida "V" abonеntning ochiq kaliti "K_V" saqlanadi. "p" buzg‗unchi odam "A" abonеntda saqlanayotgan ochiq kalitlardan foydalana oladi. U o‗zining juft (ochiq va maxfiy) "K_p" va "k_p" kalitlarini yaratadi va "A" abonеntda saqlanayotgan "V" abonеntning "K_V" kalitini o‗zining ochiq "K_p" kaliti bilan almashtiradi. "A" abonеnt qandaydir axborotni "V" abonеntga jo‗natish uchun uni "K_p" kalitda (bu "K_V" kalit dеb o‗ylagan holda) shifrlaydi. Natijada, bu xabarni "V" abonеnt o‗qiy olmaydi, " p" abonеnt osongina ochadi va o‗qiydi. Ochiq kalitlarni almashtirishning oldini olish uchun kalitlar sеrtifikatlaniladi.
  

4.