I bob. Chiziqli algebra va analitik geometriya 1-§. Determinantlar

I bob. Chiziqli algebra va analitik geometriya

1-§. DETERMINANTLAR

Ikkinchi va uchinchi tartibli determinant.


Agar, a₁₁,a₁₂,a₂₁,a₂₂ sonlar berilgan bo’lsa, shu sonlar orqali aniqlangan a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ ushbu songa ikkinchi tartibli determinant deyiladi va odatda quyidagicha belgilanadi:


= a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ (1)


Misol.
=21-81= -60
Berilgan a_11,a_12,a_13,a₂₁ ,a_22,a_23,a_31,a_{32 ,}a₃₃ sonlar orqali aniqlangan va qo’yidagicha belgilangan


= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

songa uchinchi tartibli determinant deyiladi.

3-tartibli determinantni hisoblash quyidagicha bo’ladi:
Birinchi diagonal elemenlar ko’paytmasi va asoslari shu diagonalga parallel bo’lgan ikkita teng yonli uchburchaklar uchlaridagi elemenlar ko’paytmalarining algebraik yitsindisidan ikkinchi diagonal elemenlar ko’paytmasi va asoslari shu diagonalga parallel bo’lgan ikkita teng yonli uchburchak uchlaridagi elementlar ko’paytmalarining algebraik yitsindisini ayirganiga teng bo’ladi.


= + + - - - =
=a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂
Misol.

Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar.

Biror n-tartibli determinantning a_ij elementinig minori deb, shu element turgan yo’l va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan n-1 tartibli determinantga aytiladi va odatda M_ij orqali belgilanadi.
Masalan.

uchinchi tartibli determinantning a₂₃ elementining minori M₂₃= ikkinchi tartibli determinant bo’ladi.


n-tartibli determinantning a_ij elementining algebraik to’ldiruvchisi deb shu element minorini (-1)^i+j ishora bilan olinganiga aytiladi va A_ij orqali belgilanadi.
A_ij = (-1)^i+jM_ij
Misol 1.

determinantning a₄₃ elementining minorini va a₂₁ elementining algebraik to’ldiruvchisini hisoblang.
M₄₃= =3-20-15+8= -24


A₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁= -M₂₁= - = -24+3-6+4= -23.
Misol 2.


=(-5)·(-1)¹⁺¹ +1(-1)¹⁺² +
+(-4)(-1)¹⁺³ +1(-1)¹⁺⁴ = -264 .

Misollar.

Quyidаgi dеtеrminаntlаrni hisоblаng.

1. 2. 3.


4. 5.

Tеnglаmаni еching.

7. 8.

Uchinchi tаrtibli dеtеrminаntlаrni hisоblаng.(9-13)

9. 10. 11.


12. 13.

Tеnglаmаni еching.

14. 15.

Quyidаgi dеtеrminаntlаrni eng kulаy yo’l yoki ustun elеmеntlаri bo’yichа yoyib hisоblаng. (16-22)

16. 17. 18. 19.
20. 21. 22.
2-§. Matrisa va ular ustida amallar.


Berilgan a_ij (i=1,...,m; j=1,...,n) sonlardan tashkil topgan quyidagi
yoki (1)
ko’rinishdagi jadvalga matrisa deyiladi.
Birlik matrisa E= , uchun |E|=1 bo’ladi.
Biror A matrisani k songa ko’paytirish deb,A matrisaning xamma elementlarini shu k songa ko’paytirishdan xosil bo’lgan matrisaga aytiladi va kA ko’rinishda yoziladi.
kA=Ak=
Misol.





Agar A va B matrisalar bir xil o’lchovli bo’lsa, ularning yig’indisi C matrisaning elementlari A va B matrisalarning mos elementlarining yig’indisidan iborat bo’ladi.
A= , B=


C=A+B= + =
Berilgan matrisalarni ko’paytirish uchun A matrisaning ustunlari soni n, B matrisaning yo’llar soniga teng bo’lishi yoki kvadrat matrisalar bo’lishi shart.
Misol.


Teskari matrisa tushunchasi faqat kvadrat matrisalarga nisbatan kiritiladi.
Agar xar qanday A va B kvadrat matrisalar uchun AB=BA=Ye tenglik o’rinli bo’lsa, u xolda B matrisani A matrisaga (va aksincha) teskari matrisa deyiladi.
Odatda A matrisaga teskari matrisa A^-1 ko’rinishda yoziladi va AA^-1= A^-1A=E bo’ladi. (Ye-birlik matrisa).
Agar A kvadrat matrisaning determinanti |A|0 bo’lsa, A matrisaga maxsusmas matrisa deyiladi .Agar |A|=0 bo’lsa ,u xolda maxsus matrisa deyiladi
Biror A matrisaning barcha mos yo’l va ustunlarining o’rinlarini almashtirishdan xosil bo’lgan matrisaga A ga nisbatan transponirlangan matrisa deyiladi va odatda A* ko’rinishda belgilanadi.
A= , A* =
Har qanday A kvadrat matrisa teskari A^-1 matrisaga ega bo’lishi uchun A matrisaning determinanti nolga teng bo’lmasligi zarur.


Misol.
A= , A^-1=q, |A|= =-9  0. A^-1=-1/9


Haqiqatan A^-1A=AA^-1=E tenglikni o’rinli ekanligini xisoblab ko’rish mumkin.
Matrisaning rangi deb ,uning noldan farqli bo’lgan minorlarining eng yuqori tartibiga aytiladi, yoki A matrisaning rangi deb uning chiziqli bog’liqli bo’lmagan yo’llarining (yoki ustunlarining)maksimal soniga aytiladi.