Teorema. Agar keltirilmaydigan p(x) ko’phad f(x) ko’phad uchun α karrali ko’paytuvchi bo’lsa ‚ uning f׀(x) hosilasi uchun p(x) ko’phad α-1 karrali ko’paytuvchi bo’ladi.
Isboti. Tarifga ko’ra f(x)=pα(x)g(x) bo’lib, bunda g(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi. Endi f(x) ning hosilasini olamiz:
Qavslar ichidagi yigindi p(x) ga bo’linmaydi . Haqiqatan, bu yigindini h(x) bilan belgilasak,
Tenglik hosil bo’ladi. va g(h) ayrim –ayrim p(x) ga bo’linmagani uchun ko’phad ko’paytmasi ham p(x) ga bo’linmaydi. O’ng tomondagi yig’indining - qo’shiluvchisi p(x) ga bo’linadi, agar qo’shiluvchisi ham p(x) ga bo’linsa, tenglikning o’ng tomoni , va chap tomoni ham p(x) ga bo’linar edi. Shunday qilib ,h(x) ko’phad p(x) ga bo’linmaydi va tenglik teoremani isbotlaydi. Bu teoremadan f(x) ning bir karralip(x) ko’paytuvchisi hosila uchun ko’paytuvchi emasligini ko’ramiz.
1-misol. P(x)=x4-3mx3+nx+p ko’phadning bir bo’luvchisi (x-3)3 bo’lsa , m ni toping.
Yechish. Ko’phadning x=3 uch karrali ildizi.
Gorner sxemasini tuzamiz.
|
1
|
-3m
|
0
|
n
|
p
|
3
|
1
|
3-3m
|
9-9m
|
27-2m+n
|
81-81m+3n+p
|
3
|
1
|
6-3m
|
27-18m
|
81-54m
|
|
3
|
1
|
9-3m
|
54-27m
|
|
|
Oxirgi ifodadan 54-27m=0 ekanligi kelib chiqadi, demak, m=2
Javob: m=2.
2-misol. P(x)=x3-3x2+mx+n ko’phadi (x+2)2 ga qoldiqsiz bo’linsa, n ni toping .
Yechish. Masalaning berilishiga ko’ra, P(x)=(x+2)2 (x) o’rinli bo’ladi. x=-2 ildiz ko’phadning ikki karrali ildizi, demak, Gorner sxemasi tuzamiz.
|
1
|
-3
|
m
|
n
|
|
-2
|
1
|
-5
|
10+m
|
-20-2m+n
|
|
-2
|
1
|
-7
|
24-m
|
|
|
Bunga ko’ra,
natijaga ega bo’lamiz.
Javob: n=68.
3-misol. P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi x=-1 bo’lsa 3a-b ni toping.
Yechish: P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d ko’phadning 3 karrali bir ildizi demak, Gorner sxemasi tuzamiz.
|
1
|
a
|
b
|
c
|
d
|
-1
|
1
|
a-1
|
1-a+b
|
a-b-1+c
|
b-1-c+d
|
-1
|
1
|
a-2
|
3-2a+b
|
3a-2b-4+c
|
|
-1
|
1
|
a-3
|
6-3a+b
|
|
|
6-3a+b=0 3a-b=6
Javob: 3a-b=6.
4-misol. P(x)=2x3-15x2+36x+n ko’phad (x-n)2 ga bo’linsa, n ning qiymatlar yig’indisini toping.
Yechish: x=n p(x) ning 2 karrali ildizi ekan. Gorner sxemasi tuzamiz.
|
2
|
-15
|
36
|
n
|
n
|
2
|
2n-15
|
2n2-15n+36
|
2n3-15n2+37n
|
n
|
2
|
4n-15
|
6n2-30n+36
|
|
6n2-30n+36=0 n2-5n+6=0 n1+n2=5
Javob: 5.
5-misol. P(x)=ax3+bx2+cx+d ko’phadning ikki karrali bir ildizi x=1 bo’lsa d=? toping.
Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.
|
a
|
b
|
c
|
d
|
1
|
a
|
a+b
|
a+b+c
|
A+b+c+d
|
1
|
a
|
2a+b
|
3a+2b+c
|
|
d=2a+b
Javob: d=2a+b.
6-misol. P(x)=x3-5x2+mx+n ko’phadning bir ko’paytuvchisi (x-3)2 bo’lsa m=? ni toping.
Yechish: Gorner sxemasi tuzamiz.
|
1
|
-5
|
m
|
n
|
3
|
1
|
-2
|
-6+m
|
3m+n-18
|
3
|
1
|
1
|
-3+m
|
|
-3+m=0, m=3
Javob: m=3.
Dostları ilə paylaş: |