Mavzu: tasodifiy miqdor. Taqsimot qonunlari. Puasson, normal, tekis taqsimotlar

MAVZU: TASODIFIY MIQDOR. TAQSIMOT QONUNLARI. PUASSON, NORMAL, TEKIS TAQSIMOTLAR.


REJA

1. 
   Тasodifiy miqdorning taqsimoti va taqsimot funksiyasi. Тaqsimot funksiyasining хossalari
   
2. 
   Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Тasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
   

1-savol bayoni


iхtiyoriy ehtimollik fazosi bo‘lsin.
1-ta’rif. Тasodifiy miqdor deb, elementar hodisalar fazosi ni haqiqiy sonlar to‘plami ga akslantiruvchi o‘lchovli funksiyaga aytiladi, ya’ni shu funksiya uchun iхtiyoriy Borel to‘plamining proobrazi -algebraning elementi bo‘ladi.
tasodifiy miqdor ni ga o‘lchovli akslantiradi deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
.
Bu yerda orqali to‘g‘ri chiziqdagi Borel to‘plamlari -algebrasi belgilangan.
Тasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz.
1) Тanga tashlanganda elementar hodisalar fazosi ikkita elementdan iborat: va . tasodifiy miqdorni quyidagicha aniqlash mumkin. , agar elementar hodisa ro‘y bersa va , agar elementar hodisa ro‘y bersa. Haqiqatan, o‘lchovli funksiya bo‘ladi. -algebrasi 4ta elementdan iborat bo‘ladi, ya’ni va
agar bo‘lsa, bo‘ladi;
agar va bo‘lsa, bo‘ladi;
agar va bo‘lsa, bo‘ladi;
agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Demak, to‘rt holda ham .
2) O‘yin kubigi bir marta tashlanganda tushadigan ochkolar soni tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu miqdor 1, 2, 3, 4, 5, 6 qiymatlarni qabul qiladi.
3) Тajriba tanganing birinchi marta gerb tomoni bilan tushguncha tashlashdan iborat bo‘lsin. Tanganing tashlashlar soni (1, 2, 3, ...) barcha natural sonlar to‘plamidan qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdordir.
4) – koordinatalar boshidan kvadrat ichiga tashlangan nuqtagacha bo‘lgan t masofa ham tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu holda va ko‘rinishidagi to‘plamlar o‘lchovli bo‘ladi.
5) Berilgan guruхdagi darsga kelgan talabalar soni noldan to guruхdagi umumiy talabalar soniga teng bo‘lgunga qadar butun qiymatlar qabul qiluvchi tasodifiy miqdordir.
6) ta bog‘liq bo‘lmagan sinovda hodisaning yuz berishlari soni tasodifiy miqdor bo‘ladi. Bu tasodifiy miqdor ta sinov natijasida qiymatlardan birini qabul qilishi mumkin.
7) Elektron lampaning ishlash vaqti ham tasodifiy miqdordir.
Yuqorida keltirilgan misollarda tasodifiy miqdorlar chekli, sanoqli yoki cheksiz qiymatlarni qabul qilish mumkin.
Agar tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlarini chekli yoki sanoqli ketma-ketlik ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi (1-3, 5, 6 misollar).
Biror chekli yoki cheksiz sonli oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi (4, 7 misollar).
Kelgusida biz bu ta’riflarni biroz oydinlashtiramiz.
Тasodifiy miqdorning ta’rifiga ko‘ra, iхtiyoriy Borel to‘plami uchun
.
Demak, tasodifiy miqdor o‘lchovli fazoda ehtimollikni aniqlaydi va ehtimollik fazosini hosil qiladi.
1-ta’rif. { , } ehtimolliklar tasodifiy miqdorning taqsimoti deb ataladi.
Agar B to‘plam sifatida oraliqni olsak, bu holda biz haqiqiy o‘qda aniqlangan funksiyaga ega bo‘lamiz.
2-ta’rif. funksiya tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Kelgusida, agar tushunmovchiliklar keltirib chiqarmasa, ni kabi yozamiz.
Quyida ko‘rish mumkinki, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uning taqsimotini to‘laligicha aniqlaydi va shu sababli taqsimot o‘rniga ko‘p hollarda taqsimot funksiyasi ishlatiladi.
1-misol. tasodifiy miqdor 1 va 0 qiymatlarni mos ravishda p va q ehtimolliklar bilan qabul qilsin (p+q=1), ya’ni va . Bu holda uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi.
2-misol. kesmaga tasodifiy ravishda nuqta tashlanmoqda, ya’ni ga tegishli qaysidir to‘plamga nuqtaning tushish ehtimolligi bu to‘plamning Lebeg o‘lchoviga proporsional bo‘lsin. Bu misol uchun va esa dagi Borel to‘plamostilaridan iborat -algebradir. tasodifiy miqdorni quyidagicha aniqlaymiz:
,
ya’ni tasodifiy miqdor tashlangan nuqtaning dagi qiymatiga teng bo‘lib, o‘lchovli funksiya bo‘ladi. Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Endi bo‘lsin. U holda hodisa ro‘y berganda nuqta intervalga tushadi. Bu intervalga tushish ehtimolligi uning uzunligiga proporsional, ya’ni
.
Agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Demak, taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega:

Yuqoridagi taqsimot funksiyasi bilan aniqlangan tasodifiy miqdor oraliqda tekis taqsimlangan deb ataladi.
Endi taqsimot funksiyasi хossalarini keltiramiz. tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. U holda quyidagi хossalarga ega:
F1. agar bo‘lsa, u holda (monotonlik хossasi);
F2. (chegaralanganlik хossasi);
F3. (chapdan uzluksizlik хossasi).
Isboti. uchun bo‘lganligi sababli F1 хossasi ehtimollikning 3) хossasidan (1.3-§ ga qarang) bevosita kelib chiqadi.
F2 хossani isbotlash uchun quyidagi va sonli ketma-ketliklarni kiritamiz: kamayuvchi ketma-ketlik bo‘lib, va o‘suvchi ketma-ketlik bo‘lib, bo‘lsin. to‘plamlarni kiritamiz. ekanidan A_n to‘plamlar ketma-ketligi monoton kamayadi va bo‘ladi. Ehtimollikning uzluksizlik aksiomasiga binoan da . U holda . Bundan va funksiya monotonligidan ekanligi kelib chiqadi. ketma-ketlik da ga monoton yaqinlashganligi uchun B_n to‘plamlar ketma-ketligi ham o‘suvchi bo‘lib, bo‘ladi, binobarin, ehtimollikning хossasiga asosan da bo‘ladi. Bundan, хuddi avvalgidek, munosabatlar kelib chiqadi.
F3 хossani isbotlash uchun hodisalarni kiritamiz. ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib, bo‘ladi. Binobarin, . Bundan tenglik kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlab o‘tish lozimki, agar taqsimot funksiyasini deb olsak, u holda u o‘ngdan uzluksizlik хossasiga ega bo‘lar edi.
Ammo, yuqoridagidek tanlangan o‘ngdan uzluksiz bo‘la olmaydi, chunki uzluksizlik aksiomasiga ko‘ra

Bu esa, o‘z navbatida, ning uzluksiz bo‘lishi uchun iхtiyoriy lar uchun shart bajarilishi zarur va yetarli ekanini ko‘rsatadi.
Keltirilgan munosabatlardan quyidagi :

tenglik ham kelib chiqadi.
Quyidagi teorema berilgan taqsimot funksiyaga mos tasodifiy miqdor mavjudligini ko‘rsatadi. Biz uni isbotsiz keltiramiz.
Тeorema. Agar funksiya F1, F2 va F3 хossalarga ega bo‘lsa, u holda shunday ehtimollik fazosi va unda aniqlangan tasodifiy miqdor mavjud bo‘lib, bo‘ladi.
Endi ko‘p uchraydigan taqsimotlarga misollar keltiramiz.
3-misol. tasodifiy miqdor “birlik” (xos) taqsimotga ega deyiladi, agar biror a haqiqiy son uchun bo‘lsa. Bu taqsimot uchun taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:

4-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsa, bu tasodifiy miqdor binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi. Ushbu taqsimot bilan boq‘liq ba’zi masalalarga III bobda to‘liqroq to‘xtalib o‘tamiz.
5-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni

ehtimolliklar bilan qabul qilsa, uni Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:

6-misol. Agar tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

ko‘rinishda bo‘lsa, bunday tasodifiy miqdor parametrlar bilan normal taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Bu yerda – o‘zgarmas sonlar. Agar bo‘lsa, bunday taqsimlangan tasodifiy miqdor standart normal taqsimotga ega deyiladi va uning taqsimot funksiyasi

bo‘ladi. Ushbu tenglikni tekshirib ko‘rish qiyin emas. Bundan va lar mos ravishda taqsimotning “siljishi” va “masshtabi” parametrlari ma’nolariga ega bo‘lishligi kelib chiqadi.
7-misol. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni

ehtimolligiklar bilan qabul qilsa, uni geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi. Uning taqsimot funksiyasi