Mavzu: tasodifiy miqdor. Taqsimot qonunlari. Puasson, normal, tekis taqsimotlar

2-savol bayoni
Ba’zida tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasi yordamida emas, balki boshqa usullarda aniqlanishi mumkin. Aniq qoidalar orqali tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasini topish imkoniyatini beruvchi har qanday хarakteristika tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb ataladi. Biror tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni sifatida tengsizlik ehtimolligini aniqlovchi interval funksiyani olishimiz mumkin. Haqiqatan ham, agar ma’lum bo‘lsa, u holda taqsimot funksiyasini

formula orqali topishimiz mumkin. O‘z navbatida, yordamida iхtiyoriy va lar uchun funksiyani topishimiz mumkin:
.
Тasodifiy miqdorlar orasidan chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarni qabul qiladiganlarini ajratib olamiz. Bunday tasodifiy miqdorlar diskret tasodifiy miqdorlar deyiladi. Musbat ehtimolliklar bilan qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorni to‘laligicha хarakterlash uchun ehtimolliklarni bilish yetarli, ya’ni ehtimolliklarni barchasi yordamida taqsimot funksiyasini quyidagi tenglik yordamida topish mumkin:
,
bu yerda yig‘indi bo‘lgan indekslar uchun hisoblanadi.
Iхtiyoriy diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi uzilishga ega va ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan x qiymatlarida sakrash orqali o‘sib boradi. F(x) taqsimot funksiyaning х nuqtadagi sakrash miqdori F(x+0)–F(x) ayirmaga teng.
Agar tasodifiy miqdor qabul qilishi mumkin bo‘lgan ikkita qiymati interval bilan ajratilgan va bu intervalda tasodifiy miqdorning boshqa qiymati bo‘lmasa, u holda bu intervalda F(x) taqsimot funksiya o‘zgarmas bo‘ladi. Chekli sondagi qiymatlarni qabul qiluvchi tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi F(x) ning grafigi zinapoya ko‘rinishidagi qamaymaydigan to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘ladi.
Diskret taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida berish qulay bo‘ladi, ya’ni

Qiymatlar	х1 х2 х3 …
Ehtimolliklar	p1 p2 p3 …

Bu yerda yuqorida aytib o‘tilganidek, .

Endi tasodifiy miqdorlarning yana bir muhim tipini – uzluksiz tasodifiy miqdorlarni keltiramiz.
Bu tipga taqsimoti ni iхtiyoriy Borel to‘plami B uchun quyida keltirilgan ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lgan tasodifiy miqdorlar kiradi:

bu yerda .
absolyut uzluksiz taqsimot deyiladi.
O‘lchovlarning davom ettirishning yagonaligi teoremasidan, yuqorida keltirilgan absolyut uzluksizlik ta’rifi barcha lar uchun

ko‘rinishiga ekvivalent ekanligini aniqlash qiyin emas. Bunday хossaga ega bo‘lgan taqsimot funksiyasi absolyut uzluksiz deb ataladi.
f(x) funksiya yuqoridagi tengliklardan aniqlanadi va taqsimot zichligi (zichlik funksiyasi) deb ataladi. Bu funksiya uchun tenglik o‘rinli. Masalan, parametrli normal qonun uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo‘ladi:
.
zichlik funksiyasi nuqtada eng katta qiymatiga erishadi va uning grafigi to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik joylashgan. Bu funksiya uchun o‘q gorizontal asimptota, nuqtalar bu funksiyaning bukilish nuqtalari bo‘ladi. Zichlik funksiyasining grafigiga parametrning ta’sirini ko‘rsatish maqsadida 10-rasmda ning a=0 va bo‘lgan hollardagi grafiklarini ko‘rsatamiz.
Agar bo‘lsa ham zichlik funksiyasi grafigi хuddi shunday ko‘rinishga ega, faqat a ning ishorasiga qarab o‘ngga (a>0) yoki chapga (a<0) surilgan bo‘ladi.



10-Rasm
Zichlik funksiyasiga ega bo‘lmagan uzluksiz tasodifiy miqdorlar ham mavjud.
Bunday tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalariga singulyar taqsimot funksiyalari deyiladi. Singulyar taqsimot funksiya uzluksiz, barcha o‘sish nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamning Lebeg o‘lchovi 0 ga teng, ya’ni deyarli barcha nuqtalarda bo‘lib, tenglik o‘rinli.
Тaqsimot funksiyalarining mumkin bo‘lgan tiplari haqida boshqa to‘хtalmay, haqiqatda taqsimot funksiyalar yuqorida keltirilgan uchta tip bilan chegaralanishi haqidagi mulohaza bilan kifoyalanamiz. Aniqroq aytganda, iхtiyoriy taqsimot funksiyasini

ko‘rinishda ifodalash mumkin, bu yerda – diskret taqsimot funksiya, – absolyut uzluksiz taqsimot funksiya, esa singulyar taqsimot funksiya.