Normal taqsimot

Mavzu: Normal taqsimot
Reja:

1. 
   Normal taqsimot qonuni haqida ma’lumot
   
2. 
   Normal taqsimot qonuni qo‘llanishi
   

Normal taqsimot - ehtimollar nazariyasidagi muhim taqsimotlardan biri boʻlgan tasodifiy miqdorlar taqsimoti (a — ixtiyoriy haqiqiy son, a>0). Normal taqsimot (1) ga boʻysungan % tasodifiy miqdorning oʻrta qiymati a ga, dispersiyasi a2 ga teng boʻladi: M2; = a, Dt, = a2. Normal taqsimot x = a nuqtaga nisbatan simmetriyaga ega. Oʻzaro bogʻliq boʻlmagan i;,, i;2, ..., !;„ ning taqsimoti (juda keng shartlarda) Normal taqsimotga yaqin boʻlishi isbotlangan (qarang Limit teoremalar). Biror tasodifiy miqdorni katta sondagi oʻzaro bogʻliqmas sabablarning natijasi deb qarash tatbiqlarda koʻp uchraganligi uchun Normal taqsimot ehtimollar nazariyasi va tabiatshunoslikda katta ahamiyatga ega. Normal taqsimotning vujudga kelishiga klassik namunalar K. Gauss (kuzatish xatolari taqsimoti qonuni) va J. Maksvell (molekulalar tezliklari taqsimoti qonuni) ga tegishli.^[1]
2. Normal taqsimot qonuni
Ta’rif. Agar uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimot zichligi funksiyasi quyidagi ko’rinishda bo’lsa, bunday taqsimotga normal taqsimot deyiladi.
Bu yerda va  lar normal taqsimotni parametrlari, - matematik kutishi,  - o’rtacha kvadratik chetlanishi.
Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni matematik kutishini topamiz.
 ( 1 )buni integrallash uchun o’zgaruvchilarni almashtiramiz bundan  integralni chegaralari o’zgarmaydi. Topilganlarni (1) qo’ysak,
Birinchi integral nolga teng, ikkinchi integral Puasson integrali:
shuning uchun kelib chiqadi. Xuddi shunday , agar normal taqsimotda bo’lsa, ga normallashtirilgan normal taqsimot deyiladi. Normal taqsimotni taqsimot funksiyasi bo’lgani uchun normallashtirilgan normal taqsimotni taqsimot funksiyasi bo’ladi.
 - Laplas funksiyasi ekanini eslab, tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimolidan.
Normal taqsimotda - o’rta qiymatni ko’rsatadi.  esa o’rtacha kvadratik chetlanishini,  ning o’sishi bilan normal taqsimot grafigining cho’qqisi pasayib boradi, ya’ni tarqoqlik ko’payadi.
a) Normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni berilgan oraliqqa tushish ehtimoli.
Agar uzluksiz tasodifiy miqdor bo’lsa hamda uni taqsimot zichligi funksiyasi bo’lsa, ni oraliqqa tushish ehtimoli. Agar normal taqsimlangan bo’lsa, integralga ega bo’lamiz. Buni integrallash uchun o’zgaruvchini almashtiramiz. Shunday qilib, quyidagiga ega bo’lamiz:
Shunday qilib, Laplas funksiyasi ekanini e’tiborga olsak, kelib chiqadi.
Misol. Normal taqsimlangan tasodifiy miqdor ni matematik kutishi 30 ga, o’rtacha kvadratik chetlanishi 10 ga teng. Tajriba natijasida shu tasodifiy miqdorlarni oraliqqa tushish ehtimoli topilsin. Yechish. Shartga ko’ra b) Chetlanishni ehtimoli.
Ko’p hollarda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorni chetlanishini ni absolyut qiymati bo’yicha biror  sondan kichik qiymat qabul qilishini baholashga to’g’ri keladi, ya’ni
tengsizlikning ro’y berish ehtimolini topish talab qilinadi. Bu tengsizlikni quyidagi ikkilangan tengsizlik bilan almashtiramiz: bu tengsizlikning hamma tomoniga ni qo’shsak, qo’sh tengsizlikni hosil qilamiz. Demak, (Bu yerda funksiyani juftligi hisobga olindi). Bu ehtimol ga bog’liq bo’lmasdan oraliqni uzunligiga, to’g’ri proporsional va o’rtacha kvadratik chetlanish  ga teskari proporsionaldir.
Normal taqsimot - ehtimollar nazariyasidagi muhim taqsimotlardan biri boʻlgan tasodifiy miqdorlar taqsimoti (a — ixtiyoriy haqiqiy son, a>0). Normal taqsimot (1) ga boʻysungan % tasodifiy miqdorning oʻrta qiymati a ga, dispersiyasi a2 ga teng boʻladi: M2; = a, Dt, = a2. Normal taqsimot x = a nuqtaga nisbatan simmetriyaga ega. Oʻzaro bogʻliq boʻlmagan i;,, i;2, ..., !;„ ning taqsimoti (juda keng shartlarda) Normal taqsimotga yaqin boʻlishi isbotlangan (qarang Limit teoremalar). Biror tasodifiy miqdorni katta sondagi oʻzaro bogʻliqmas sabablarning natijasi deb qarash tatbiqlarda koʻp uchraganligi uchun Normal taqsimot ehtimollar nazariyasi va tabiatshunoslikda katta ahamiyatga ega. Normal taqsimotning vujudga kelishiga klassik namunalar K. Gauss (kuzatish xatolari taqsimoti qonuni) va J. Maksvell (molekulalar tezliklari taqsimoti qonuni) ga tegishli.
Normal taqsimot qonuni va normal egri chiziq. Normal taqsimot qonuni statistikada, jumladan, biologik statistikada muhim ahamiyatga ega, chunki uzliksiz o’zgaruvchanlik (variasiya) bilan xarakterlanadigan juda ko’p tajribaviy (emprik) taqosimotlar har biri umumiy yig’indiga nisbatan kichik bo’lgan ko’p sonli o’zaro bog’liq bo’lmagan tasadifiy miqdorlarning (faktorlarning) bir vaqtda ta’siriga asoslangan. A. M. Lyapunov teoremasiga asosan, agar biror t.m. ko’p sonli, o’zaro bog’liq bo’lmagan, har birining yig’idiga ta’siri juda kichik bo’lgan tasodifiy miqdorlarning yig’indisidan iborat bo’lsa, bunday tasodifiy miqdor normal taqsimotga bo’y sunadi. Qishloq xo’jalik va biologik obyektlarning ko’pchilik uzliksiz xarakterli o’zgaruvchan belgilari shu ko’rinishdagi taqsimotga ega. Misollar. Xayvonlar bo’yi, og’irligi ko’krak hajmi, o’simliklar balandligi, o’lchashlarning tasodifiy xatosi va shunga o’xshash juda ko’plab o’zluksiz miqdorlar normal taqsimot qonuniga bo’ysunadi. Normal qonun zichlik funksiyasining grafigi 1- chizmada ko’rsatilgan AVS egri chiziqdan iborat. Bu egri chiziq normal yoki gauss egri chiziq deyiladi. Normal taqsimotda arifmetik o’rtacha qiymat son jihatidan mediana va modaga teng. Bu egri chiziqning V uchi  Х = Mo = Me ga to’g’ri keladi. Taqsimotning o’rtasidan uzoqlashishi bilan egri chiziq pasayib boradi. X manfiy yoki mubat bo’lib cheksiz o’sganda, egri chiziq Ox o’qqa cheksiz yaqinlashib boradi: demak, umuman istalgancha katta farqlar (garchi ehtimoli haddan tashqari kichik bo’lsa ham) o’rinli bo’lishi mumkin. Egri chiziqning shakliga standartning qiymati katta ta’sir etadi. Bu ta’sirni 2-chizmadan ko’rish mumkin. Normal egri chiziq bilan chegaralangan yuza 1 ga teng. Agar X tasadofiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan bo’lsa, uholda. е dx Г П E G P ydx Г х Х G dx X X 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) 2 1 2 1        (3) ifoda X ning x- dx 2 1 va x+ dx 2 1 oraliqqa tushish ehtimoli bo’ladi, bu yerda dx juda kichik son deb hisoblinadi. Agar X miqdorning nisbiy chastotasi normal taqsimlangan bo’lsa, u holda X ning x- dx 2 1 va x+ dx 2 1 oraliqdagi qiymatlarining Nx/N nisbiy chastotasi dx G X X E n G P n x 2 2 ( ) 2 1     (4) ga teng. Normallashgan chetlanish deb ataluvchi G X X t    (5) ifodani kiritsak, u – vaqtda quyidagi taqribiy tenglikni yozish mumkin: P(X1 ≤ X ≤ X2) =F (X2)-F(X1) (6) Bu yerda R(X1 ≤ X ≤ X2) ifoda X tasodifiy miqdorning ((X1 ,X2,) oraliqda bo’lish ehtimolini ifodalaydi; F(t) yozuv Laplas funksiyasi deb ataluvchi F(t) = e d П E P z t г t o d г  / 2 0 2 / 2 2 2 1 2 1      (7) Integralni ifodalydi. Leplas funksiyasi quyidagi xossalrga ega: 1 0 .F(0) =0,ya’ni F(0) = 0; 2 1 / 2 0 0 2    Е d г П г 2 0 . F(+∞) = 2; 1 2 1 , ( ) 2 1 2 / 2 0       Е d г П яъниФ г 3 0 . F(-t)=-F(t), ya’ni Laplas funksiyasi toq funksiyadir. Bu funksiya uchun (1)-(4) adabiyotlarda ilova sifatida qiymatlar jadvali berilgan. Masalan, (1) ning 1-jadvalida (6) tenglikda X1=-3 va X2=3 desak, u vaqtda (5) va (6) tenglikdan P X 3G X ( X 3G )  Ф (3)  Ф )(  3)  2Ф (3)                   ni hosil qilamiz. Ilovadagi 1-jadvaldan F(3) =0,49865. Demak, 2F(3) =2·0,49865=0,9973, ya’ni (  3 )   (  3 )  0 ,9973  1 .
Binomial taqsimotning grafigi siniq chiziq bo’ladi. Grafikning shakli n va r ning qiymatlariga, ya’ni tajribalar soniga va kuzatilayotgan hodisa ehtimolining qiymatiga bog’liq bo’ladi. R=q=0,5 bo’lganda binomial taqsimot va uning grafigi simmetrik bo’ladi. Agar r±q bo’lsa, binomial taqsimot asimmetrik bo’ladi. R va q larning qiymatlari orasidagi farq qancha katta bo’lsa, asimmetriya shunga ko’p bo’ladi. Lekin kuzatishlar soni P cheksiz ortishi bilan binomial egri chiziq normal taqsimot egri chizig’i bilan mos tushadi, ya’ni silliq simmetrik egri chiziqqa aylanadi.
3. Puasson taqsimot qonuni. Puasson taqsimot qonuni binomial taqsimot qonuni kabi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunidir. Alternativ o’zgaruvchan belgilardan birining paydo bo’lish ehtimoli juda kichik bo’lsa, ikkinchisininki birga yaqin bo’ladi; bu holda binomial taqsimot yaqqol ifodalangan asimmetrik bo’ladi.
Biror belgining namoyon bo’lishi har doim juda kichik r ehtimoliga ega bo’lsa va tajribalar soni juda katta bo’lib, pr=a ko’paytma kichik son bo’lsa, bunday hollarda P uasson taqsimoti o’rinli bo’ladi. Biologiyada Puasson taqsimotini kamdan – kam kuzatiladaigan hodisalar qanoatlantiradi. Masalan, ekin ekilgan maydondagi begona o’tlar soni, turli zararkunandalar bilan zararlangan urug’liklar soni, mikroskopning ko’rish maydonida ma’lum turdagi bakteriyalar turkumi soni va x. k. lar bu taqsimot qonuniga bo’ysunadi. Puasson formulasi, ayniqsa, mikrobiologik tadqiqotlarda katta ahamiyatga ega. Puasson taqsimotining o’rtacha qiymati va dispersiyasi bir-biriga tengligini ko’rsatishi mumkin. Demak, agar ketmaket butun son qiymatlar bilan berilgan biror taqsimot qonuni uchun o’rtacha qiymat va dispersiya bir-biridan juda kam farq qilsa, bu holda bunday taqsimot Puasson taqsimotiga yaqin bo’lishini kutish mumkin.

Oddiy taqsimlash eng keng tarqalgan taqsimot turi hisoblanadi. O'lchov xatolarini tahlil qilganda u bilan uchrashishi kerak texnologik jarayonlar va rejimlar, shuningdek turli xil hodisalarni tahlil qilish va bashorat qilishda biologiya , dori va boshqa ilm domenlari.

"Oddiy taqsimlash" atamasi odatda adabiyotda, umuman muvaffaqiyatli bo'lmasa ham shartli ravishda qo'llaniladi. Shunday qilib, ba'zi belgining normal taqsimot to'g'risidagi qonunga bo'ysunadigan da'vo, umuman o'zgarib bo'lmaydigan normalarning mavjudligini anglatmaydi, go'yo bufektning aks ettirilishi belgida ko'rib chiqiladi va boshqa tarqatish qonunlariga bo'ysunadi bu hodisaning biron bir g'ayritabiiyligi degani emas.
Oddiy taqsimotning asosiy xususiyati shundaki, bu boshqa tarqatishlar yaqinlashadigan chegara. Oddiy taqsimot ochiqchasiga tarqatish Nobud 1733 yilda. Faqat doimiy tasodifiy o'zgaruvchilar normal qonunga bo'ysunadi. Oddiy tarqatish qonunining zichligi ko'rib chiqiladi.
Oddiy tarqatish qonuni uchun matematik kutish tengdir. Disma tengdir.
Normal taqsimotning asosiy xususiyatlari.
1. Tarqatish zichligi funktsiyasi butun sonli o'qda aniqlanadi Ayni , ya'ni har bir qiymat h. to'liq belgilangan funktsiyaga mos keladi.