Laplas almashtirishi

LAPLAS ALMASHTIRISHLARINING CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI YECHISHGA QOʻLLANILISHI.

Laplas almashtirishi

Haqiqiy o’zgaruvchili ƒ(𝑡) funksiyaning Laplas almashtirishi deb
∞
𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ ƒ(𝑡)𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 (1)
0
formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyaga aytiladi, bu
yerda 𝑝 = 𝑠 + i𝑟.
Integral kompleks 𝑝 parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi.
ƒ(𝑡) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyani aniqlasin?
Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   ƒ(𝑡) funksiya 𝑡 ≥ 0 da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);
   
2. 
   Barcha 𝑡 < 0 larda ƒ⁽𝑡⁾ = 0;
   
3. 
   𝑡 → +∞ da ^|ƒ⁽𝑡^)| funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday 𝑀 > 0 va 𝑠 mavjudki, barcha 𝑡 larda
   

^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠𝑡 (2)

2. 
   tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 𝑠 qiymatlarning quyi chegarasi 𝑠₀
   

qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.
3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 𝑡^𝑘 (𝑘 > 0) darajali funksiyalar qanoatlantiradi.

Original va tasvir

1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ƒ⁽𝑡⁾ funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 𝐹⁽𝑝⁾ funksiya esa ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri deb ataladi
Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni
ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝐹⁽𝑝⁾ → ƒ⁽𝑡⁾ yoki 𝐿^[ƒ⁽𝑡^)] = 𝐹⁽𝑝⁾
ko’rinishda belgilaymiz.
Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.
Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.
Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.
1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.

• 
  a) Birlik funksiya va uning tasviri.
  

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:

1, 𝑡 ≥ 0
𝜃(𝑡) = { ^{0, 𝑡 < 0}
Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz ⁽𝑝 = 𝑠 + i𝑟, 𝑠 = Re𝑝⁾

∞
𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ 𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 = −
0
_𝑒−𝑝𝑡 ^∞

0
_𝑝 |
1
= _𝑝.

1.