|
Ma'ruza 4 Shartli korrekt masala yechimi turg'unligini baholash va taqribiy yechimni oddiy tanlash usuli orqali topish Reja
|
səhifə | 4/4 | tarix | 23.05.2023 | ölçüsü | 82,2 Kb. | | #112191 |
| x=Yjxk
xk=(x,
k)
ko'rinishda yozish mumkin. U holda
oo
Ax = ^\xk cpk, BaAx = J^(a + Ak )_1 Лкхксрк,
i
bo'ladi. A operatorning to'la uzluksiz, o'zaro qo'shma hamda musbatligidan uning xos qiymatlari haqiqiy, musbat va u yagona limitik nuqtaga ega bo'lib, bu limitik nuqta A = 0 dan iborat. Shuning uchun, {/l.} ni kamayish tartibida joylashtirish mumkinki, lim/l, =0 bo'ladi. A operatorning hamma xos
k—>00
qiymatlari musbatligidan ixtiyoriy musbat a lar uchun Ba uzluksiz operator bo'ladi va
a
tenglik kelib chiqadi.
Endi x-BaAx ayirma
х-ВаАх = ^-\(а + ЛкГ1 \k(pk =aj^(a + \)_1 хк<рк,
i
ko'rinishda bo'lganligi uchun
\x-BaA4==a{±(a + \rlx2nY ->0,
1
agar a—>0. Bundan Ba operatorlar oilasining regulyarizatsiyalovchi operator ekanligini hosil qilamiz. Shunday qilib, biz qaralayotgan holda (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi oilani qurdik.
A operator o'zaro qo'shma va musbat bo'lmasin, lekin (1) tenglamaning yechimi yagona. Bu holda A operator spektriga nol nuqta taaluqli bo'lmaydi. (1) ning xar ikkala tomoniga A* operatorni qo'llab,
А*Ах = А*/ = /г (2)
tenglamani hosil qilamiz. (1) tenglama yechimining yagonaligidan (2) tenglamaning ham yechimi yagonaligi kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, (1) ning yechimi yagona bo'lsin. Agar
A* Ax = 0
bo'lsa
(A * Axxx) = (Ax1Ax) = \\Axf = 0
bo'ladi. Bundan x = 0 kelib chiqadi.
Shunday qilib, A o'zaro qo'shma va musbat bo'lmagan hoi, o'zaro qo'shma va musbat operatorli holga kelar ekan. Bu hoi uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi
Ba =(aE + A*A)~l
ko'rinishda bo'ladi. (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi Ba = {ali + A)'1 bo'lganligidan Ba ni aniqlash uchun
(аЕ + А)х = f
tenglamani yechish kerak. Demak, (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi masalalar oilasi ikkinchi tur operator tenglamalar oilasidan iborat ekan. Mavzu oxirida biz (1) operator tenglamalarni yechishda ketma- ket yaqinlashish usulidan foydalanish mumkinligini qaraymiz. Bunda A- musbat aniqlangan va o'zaro qo'shma operator bo'lib, ||^||<2 bo'lgan holga to'xtalamiz. (1) tenglamani
k=j
ko'rinishda olamiz. {Bn} ketma-ketlik orqali aniqlanadigan operatorlar oilasini (6) ko'rinishda oladigan bo'lsak, bu oilani (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi oila ekanligini ko'rish qiyin emas. Haqiqatdan ham,
oo
x = YuXk
va Ах = ^\хМ
i
tengliklardan
00
\xk
= St1 - 0- ~ \Тх~]хм
ВяАх = ^
k=1
7=0
k=1
kelib chiqadi.
Oxirgi tenglikdan 1 imBnAx = x ga ega bo'lamiz. Bundan [Ви}
n—>oo
operatorlarning (1) tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operator ekanligi kelib chiqadi.
Endi A operatorning aniqlanishiga asosan \E - A\\ < 1 ni hosil qilamiz, bundan |Ли| = и ekanligini ko'rish oson.
Umumiy ko'rinishli (1) operator tenglama uchun regulyarizatsiyalovchi operatorlar oilasi qilib,
Вп= м^(Е~мА*А)к А*
к=О
operatorlar ketma-ketligini olish mumkin. Bunda // <2\\A* A\\ bo'ladi.
Mavzuni o'zlashtirish uchun savollar.
Ikkinchi tur chiziqli operatorli regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
O'zaro qo'shma musbat operatorli regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
Ixtiyoriy ko'rinishli operator tenglamalar uchun regulyarizatsiya oilasi qanday tuziladi?
Ketma- ket yaqinlashish orqali regulyarizatsiya oila qanday tuziladi?
Dostları ilə paylaş: |
|
|