Mavzu : To’la orttirma va to’la differensial. To’la differensilaning taqribiy hisobga tatbiqlari. Murakkab va oshkormas funksiyaning hosilasi

---

Mavzu : To’la orttirma va to’la 
differensial. To’la differensilaning 
taqribiy hisobga tatbiqlari. Murakkab 
va oshkormas funksiyaning hosilasi 

---

Reja : 
1.To’la orttirma va to’la differensial.
2.To’la differensilaning taqribiy hisobga 
tatbiqlari.
3.Murakkab va oshkormas funksiyaning hosilasi 

---

To’la orttirma va to’la differensial. 
•
Ma’lumki, x va y o’zgaruvchilar mоs ravishda
оrttirmalar оlsa, funksiya
to’la оrttirma оladi. Bu to’la оrttirmaning
larga nisbatan chiziqli bo’lgan bоsh qismi 
funksiyaning 
to’la diffеrеnsiali
dеyiladi va dz bilan 
bеlgilanadi. funksiyaning to’la diffеrеnsiali 
(1)
fоrmula bilan hisоblanadi, bu еrda
y
va
x


)
,
(
y
x
f
z

)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
x
f
z







y
va
x


)
,
(
y
x
f
z

dy
y
z
dx
x
z
dz






.
,
y
dy
x
dx





---

FUNKSIYANING TO’LA ORTTIRMASI VA 
TO’LA DIFFERENSIYALI 
 
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦
funksiya uzluksiz 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
xususiy 
hosilalarga 
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆
y+
𝛼
1
∆𝑥 + 𝛼
2
∆𝑦
va 
d𝑧
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆
y bo’lib, cheksiz kichik 
∆𝑥
, 
∆
y lar uchun 
∆𝑧
≈
𝑑𝑧
bo’ladi, shuningdek 
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 ≈ 𝑓 𝑥, 𝑦 +
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑥
∆𝑥
+
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
∆𝑥
bo’ladi

---

Funksiyalarning to’la difirensiali topilsin 
 
1)
𝑧 = 𝑥
2
𝑦; 2) 𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
3) 𝑧 = 𝑥
2
+ 𝑦
2
Yechish:
1)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦;
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝑥
2 
shunda 
𝑑𝑧 = 2𝑥𝑦𝑑𝑥 +
𝑥
2
𝑑𝑦 
2)
𝜕𝑢
𝜕𝑠
= 𝑒
𝑠
𝑡
∙
1
𝑡
;
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝑒
𝑠
𝑡
−
𝑠
𝑡
2
shunda
𝑑𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
1
𝑡
𝑑𝑠 −
𝑠
𝑡
2
𝑑𝑡
yoki 
𝑑𝑢 = 𝑒
𝑠
𝑡
𝑑𝑠 −
𝑠
𝑡
𝑑𝑡

---

3) 
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=
2𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
shunda 
𝑑𝑧 =
𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑥
𝑥
2
+𝑦
2

---

Misol:
𝑧 = 𝑥𝑦 ∙ 𝑒
5𝑥
2
ni to’la ortirmasi 
topilsin.
Yechim: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑦𝑒
5𝑥
2
+ 𝑥𝑦 ∙ 10𝑥 ∙ 𝑒
5𝑥
2
=
= 𝑦𝑒
5𝑥
2
1 + 10𝑥
2
, 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑥𝑒
5𝑥
2
Bunda: 
∆𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦
∆𝑦 = 𝑦 1 + 10𝑥
2
𝑒
5𝑥
2
∆𝑥 +
𝑥𝑒
5𝑥
2
∆𝑦.

---

To’la differensilaning taqribiy hisobga 
tatbiqlari.
To’la diffеrеnsialdan funksiyaning taqribiy qiymatlarini 
hisоblashda fоydalanish mumkin, ya’ni yoki
bundan
(2)
Uch argumеntli funksiyaning to’la 
diffеrеnsiali 
(3) 
fоrmula bilan hisоblanadi. 
dz
z


,
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
dz
y
x
f
y
y
x
x
f






.
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
dy
z
dx
z
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x











z
y
x
F
u
,
,

dz
z
F
dy
y
F
dx
x
F
du










---

Misol: 
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑦
𝑥
𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑥 = 1, 𝑦 = 3, 
𝑑𝑥 = 0,01, 𝑑𝑦 = −0,05 
𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖 𝑡𝑜
′
𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑎𝑙𝑖𝑛𝑖 𝑡𝑜𝑝𝑖𝑛𝑔. 
Yechish: 1- tartibli hususiy hosilalarni topamiz:
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
1
1 +
𝑦
𝑥
2
∙ −
𝑦
𝑥
2
= −
𝑦
𝑥
2
+ 𝑦
2
,
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
1
1 +
𝑦
𝑥
2
∙
1
𝑥
=
𝑥
𝑥
2
+ 𝑦
2

---

Bu funksiyaning 1-tartibli to’la differensiali 
quyidagicha bo’ladi:
𝑑𝑧 = −
𝑦𝑑𝑥
𝑒
2
+𝑦
2
+
𝑥𝑑𝑦
𝑥
2
+𝑦
2
=
𝑥𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑥
𝑥
2
+𝑦
2
,
𝑑𝑧 =
1∙ −0,05 −3∙0,01
1
2
+3
2
= −
0,08
10
=-0,08

---

Murakkab va oshkormas funksiyaning 
hosilasi 
Z=f (u,v) u=u(x,y) v=v(x,y) x va Δx ortirma bo’lsa, 
u va v funksiyalar xususiy ortirma 
deyiladi. 
v
va
u
x
x


y
v
v
F
y
u
u
F
y
z
x
v
v
F
x
u
u
F
x
z

























---

Misol: Agar 
𝑧 = 𝑥
2
+ 𝑦
2
funksiyada 
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 
va 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 
bo’lganda
𝑑𝑧
𝑑𝑡
topilsin.
Yechim: 
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
2𝑥
2 𝑥
2
+𝑦
2
∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡 +=
2𝑦
2 𝑥
2
+𝑦
2
∙ − sin 𝑡 ,
yoki
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
sin 𝑡 cos 𝑡 −sin 𝑡 cos 𝑡
𝑠𝑖𝑛
2
𝑡+𝑐𝑜𝑠
2
𝑡
=
0
1
= 0

---

Misol: Agar 
𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑦𝑒
2𝑥
= 0 
bo’lsa 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
topilsin. 
Yechim: 
𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑦𝑒
2𝑥 ′
= 0 
Aniqmas funksiyadan kelib chiqib:
1 ∙ 𝑒
2𝑦
+
𝑥 ∙ 𝑒
2𝑦
∙ 2𝑦
′
− 𝑦
′𝑒
2𝑥
− 2𝑦𝑒
2𝑠
= 0 
𝑦
′
2𝑥𝑒
2𝑦
− 𝑒
2𝑥
= 2𝑦𝑒
2𝑥
− 𝑒
2𝑦 
bunda
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
′
=
2𝑦𝑒
2𝑥
−𝑒
2𝑦
2𝑥𝑒
2𝑦
−𝑒
2𝑥

---

Misol:
𝑧 = 𝑒
𝑥
𝑦
;
ni 
𝑦 =
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕𝑧
𝜕𝑦
−
𝜕𝑧
𝜕𝑥
da tengligi isbotlansin 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒
𝑥
𝑦
∙
1
𝑦
;
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥
𝑦
2
𝜕
2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
−
1
𝑦
2
𝑒
𝑥
𝑦
+
1
𝑦
∙ 𝑒
𝑥
𝑦
∙ −
𝑥
𝑦
2
=
𝑒
𝑥
𝑦
−
1
𝑦
2
−
𝑥
𝑦
3
=
=
𝑒
𝑥
𝑦
−𝑦−𝑥
𝑦
3
; 

---

Shunda
𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥+𝑦
𝑦
3
= 𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥
𝑦
2
−
1
𝑦
=
𝑒
𝑥
𝑦
−
𝑥+𝑦
𝑦
2
ga tengligi isbotlandi.