Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

Teorema. X to‘la metrik fazoda joylashgan A to‘plamning kompakt bo‘lishi uchun uning yopiq va to‘la chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. Aytaylik A kompakt to‘plam to‘la chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni biror >0 uchun A dan olingan

3 1 3
ixtiyoriy 𝑥₁ nuqta uchun shunday 𝑥₂ nuqta mavjudki, 𝜌(𝑥₁,𝑥₂)≥ 𝜀bo‘ladi. So‘ng shunday 𝑥 nuqta mavjud bo‘ladiki, 𝜌(𝑥 ,𝑥 )≥𝜀, 𝜌(𝑥₂,𝑥₃)≥𝜀 bo‘ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada
𝜌(𝑥_𝑛,𝑥_𝑚)≥𝜀, 𝑚 ≠𝑛
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi {𝑥_𝑛} ketma-ketlikka ega bo‘lamiz:
Ravshanki, bunday {𝑥_𝑛} ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Bu esa A ning kompaktligiga zid.
Yetarliligi. X to‘la fazo, A unda to‘la chegaralagan to‘plam bo‘lsin. A ning kompaktligini ko‘rsatamiz.
Faraz qilaylik, A to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy {𝑥_𝑛} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkinligini
isbotlaymiz. Har bir 𝜀_𝑘 =_𝑘,(𝑘 =1,2,3,…) uchun A da mos 𝜀_𝑘 to‘rlarni qaraymiz:

1
𝑥¹,𝑥¹,…,𝑥_𝑘1;

𝑘
𝑥₁,𝑥₂,…,𝑥²₁; ………………

1

1 1 1

1
𝜀₁ to‘rning har bir nuqtasini markazi 𝜀₁ to‘rning 𝑥₁,𝑥₂,𝑥₃,…,𝑥_𝑘1 nuqtalarida va radiusi 𝜀₁ ga teng shar bilan o‘rab chiqamiz. Bu holda {𝑥_𝑛} ketma-ketlikning barcha hadlari qurilgan sharlar birlashmasining ichida joylashgan bo‘ladi. {𝑥_𝑛} ketma-ketlik hadlari chekiz ko‘p, sharlar esa chekli bo‘lganligi sababli qurilgan sharlardan kamida biri {𝑥_𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlarini o‘z ichiga oladi. Shu sharni 𝑇 bilan belgilaymiz.

1

2
Bu sharda joylashgan {𝑥_𝑛} ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlaridan tuzilgan to‘plamni 𝐴₁ bilan belgilaymiz. 𝜀₂ to‘rning 𝑇 shar ichida joylashgan nuqtalarini qaraymiz. Bu nuqtalarning har birini markazi shu nuqtada va radiusi 𝜀₂ ga teng bo‘lgan sharlar bilan o‘rab chiqamiz. 𝐴₁ to‘plamning barcha nuqtalari radiusi 𝜀₂ ga teng bo‘lgan sharlar birlashmasi ichida joylashadi. Bu sharlardan kamida biri 𝐴₁ to‘plamning cheksiz ko‘p nuqtalarini o‘z ichiga oladi. Shu xossaga ega bo‘lgan sharni 𝑇 bilan, 𝐴₁ ning shu sharga tegishli qismini 𝐴₂ bilan belgilaymiz.

1 2 3
Bu jarayonni cheksiz davom ettirib 𝑇 ⊃𝑇 ⊃𝑇 ⊃⋯ sharlar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz. Bu sharlar radiuslari shartga ko‘ra 0 ga intiladi.
Endi {𝑥_𝑛} ketma-ketlikdan 𝑥_𝑛𝑘 elementlarni quyidagicha ajratib olamiz:

1
𝑥_𝑛 ∈𝑇 ,𝑥_𝑛 ∉𝑇 ; 𝑥_𝑛 ∈𝑇 ,𝑥_𝑛 ∉𝑇 ;…

𝑘
Bu holda {𝑥_𝑛 } fundamental ketma-ketlik bo‘lib, X fazoning to‘laligiga ko‘ra uning limiti X ga va A yopiq bo‘lganligi uchun A

ga tegishli bo‘ladi. Demak, {𝑥_𝑛𝑘} yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘ladi.