Mavzu: Separabel metrik fazolar, Metrik fazoda kompkat to'plmalar, C[a,b] fazoda kompaktlik, Arsela teoremasi Reja

C[a,b] fazodagi to‘plamning kompaktligi

C[a,b] da uzluksiz funksiyalardan tashkil topgan cheksiz to‘plamlar mavjud bo‘lib, ulardan yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratib olish mumkin emas. Masalan, C[0,1] da 𝑥,𝑥²,𝑥³,… funksiyalar ketma-ketligini qaraylik.
Bu funksiyalar ketma-ketligi [0;1] da chegaralangan, uning limit funksiyasi
0,𝑎𝑔𝑎𝑟 0≤𝑥 <1,
1,𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑥 =1
bo‘lib, u uzluksiz funksiya emas, ya’ni C[0,1] ga tegishli emas. Yuqoridagi ketma-ketlikning ixtiyoriy qism ketma-ketligi ham (1) funksiyaga yaqinlashadi, ya’ni C[0,1] da yaqinlashmaydi.
C[0,1] da kompaktlik shartini keltiramiz. Avval quyidagi tushunchalarni kiritamiz.
1-ta’rif. Aytaylik M to‘plam [𝑎,𝑏] kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalarning biror to‘plami bo‘lsin. Agar barcha 𝑥 ∈ [𝑎,𝑏] va M to‘plamdan oligan barcha 𝑓(𝑥) funksiyalar uchun |𝑓(𝑥)|<𝑘 tengsizlikni qanoatlantiruvchi k son mavjud bo‘lsa, M funksiyalar to‘plami tekis chegaralangan deyiladi.
2-ta’rif. Agar ixtiyoriy 𝜀 >0 son uchun shunday 𝛿 >0 son topilib,
|𝑥₁ −𝑥₂|<𝛿
tengsizlik bajarilganda, M to‘plamga tegishli ixtiyoriy 𝑓(𝑥) funksiya uchun
|𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₂)|<𝜀 bo‘lsa, M to‘plam tekis darajada uzluksiz deyiladi.
Teorema (Arsel teoremasi). [𝑎,𝑏] segmentda aniqlangan uzluksiz funksiyalardan iborat M to‘plam 𝐶[𝑎,𝑏] fazoda kompakt bo‘lishi uchun M to‘plamning tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. Aytaylik, M kompakt to‘plam bo‘lsin. M to‘plam tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz ekanligini isbotlaymiz.
Avval M ning tekis chegaralanganligini ko‘rsatamiz. To‘la metrik fazoda to‘plamning kompakt bo‘lishining zaruriy va
yetarli shartiga ko‘ra ixtiyoriy 𝜀 >0 son uchun ₃ to‘rni tashkil qiluvchi

𝑓

𝑘

2
₁(𝑥),𝑓 (𝑥),…,𝑓 (𝑥) (1)
funksiyalar mavjud bo‘ladi. Bu funksiyalarning har biri [𝑎,𝑏] da

𝑖
uzluksiz bo‘lganligi uchun chegaralangan bo‘ladi, ya’ni |𝑓(𝑥)|<
𝐿_𝑖,𝑖 =1,2,…,𝑘 bo‘ladi. Chekli ^𝜀 to‘rning ta’rifiga ko‘ra M dan olingan ixtiyoriy 𝑓(𝑥) uchun (1) dagi soni chekli funksiyalar

𝑖
orasida 𝑓(𝑥)funksiya topilib, uning uchun

𝑖

𝑖
𝜌(𝑓,𝑓)= max|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥)|< ^𝜀
𝑎≤𝑥≤𝑏
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Natijada
|𝑓|≤|𝑓|+^𝜀 ≤𝐿 +^𝜀 ≤𝐾, 𝐾 = max 𝐿 +^𝜀,
1≤𝑖≤𝑘 ya’ni M tekis chegaralangan bo‘ladi.
Endi M to‘plamning tekis darajada uzluksiz ekanligini
ko‘rsatamiz. (1) funksiyalarning har biri uzluksiz, [a,b] da tekis
uzluksiz va ularning soni chekli. Demak, ^𝜀 uchun shunday 𝛿_𝑖 son
mavjudki, buning uchun quyidagilarni yozish mumkin:

𝑖 𝑖
agar |𝑥₁ −𝑥₂|<𝛿_𝑖 bo‘lsa, u holda |𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₂)|<^𝜀 . 𝜌=

𝑖
min 𝛿 belgilash kiritamiz.

𝑖

𝑖
1≤𝑖≤𝑘Agar |𝑥₁ −𝑥₂|<𝛿 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy 𝑓 ∈𝑀 uchun 𝑓 ning (1) funksiyalar orasidan 𝜌(𝑓,𝑓)<₃ tengsizlikni qanoatlantiradiganini olib, quyidagi munosabatni yoza olamiz:
|𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₂)|

𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
=|𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₁)+𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₂)+𝑓(𝑥₂)
−𝑓(𝑥₂)|≤

2

𝑖

1

1

𝑖

1
≤|𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 )|+|𝑓(𝑥 )−𝑓(𝑥 )|

𝑖
+|𝑓(𝑥₂)−𝑓(𝑥₂)|<<₃+^𝜀+^𝜀 =𝜀
Bu esa M to‘plamning tekis darajada uzluksizligini isbotlaydi.
Yetarligi. M tekis chegaralangan va tekis darajada uzluksiz bo‘lsin. Agar ixtiyoriy > 0 uchun unga nisbatan 𝐶[𝑎,𝑏] da chekli to‘r mavjud bo‘lsa, bu M to‘plamning 𝐶[𝑎,𝑏] da kompaktligini ko‘rsatgan bo‘lamiz.
Ixtiyoriy >0 son uchun >0 ni shunday tanlab olamizki,
|𝑥₁ −𝑥₂|<𝛿, 𝑓(𝑥)∈𝑀 uchun |𝑓(𝑥₁)−𝑓(𝑥₂)|<^𝜀 bo‘lsin. Endi 𝑥𝑂𝑦 tekislikda 𝑎 ≤𝑥 ≤𝑏, −𝐾 ≤𝑦 ≤𝐾 to‘g‘ri
to‘rtburchakni quyidagicha tanlaymiz:
|𝑥_𝑘+1 −𝑥_𝑘|<𝛿, |𝑦_𝑘+1 −𝑦_𝑘|< ^𝜀.
Ya’ni, uni 𝑎 =𝑥₀ <𝑥₁ <⋯<𝑥_𝑛 =𝑏, −𝐾 =𝑦₀ <𝑦₁ <⋯< 𝑦_𝑛 =𝐾 bo‘linish nuqtalari yordamida o‘zaro teng to‘g‘ri burchakli to‘rtburchaklarga ajratamiz (3-rasm). Grafigi kichik to‘g‘ri to‘rtburchaklar diagonallaridan tuzilgan, ya’ni grafigi uzluksiz siniq chiziqlardan iborat (𝑥) funksiyalarni qaraymiz. Bunday funksiyalar chekli to‘plam tashkil qiladi. Bu to‘plamning M uchun  to‘r tashkil qilishini ko‘rsatamiz. M to‘plamdan ixtiyoriy 𝑓(𝑥) funksiya olamiz, (𝑥) funksiya 𝑓(𝑥) funksiyadan eng kam uzoqlashgan funksiya, 𝑥_𝑘 nuqta 𝑥 nuqtaga chap tomondan eng yaqin bo‘lgan bo‘linish nuqtasi bo‘lsin. U holda

𝑘
𝑓(𝑥) funksiyaning tekis uzluksizligidan |𝑥−𝑥 |<𝛿 da
|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥_𝑘)|<^𝜀 tengsizlikning, to‘g‘ri burchakli
to‘rtburchaklarni va 𝜑(𝑥) funksiyani tuzishimizga ko‘ra |𝑓(𝑥_𝑘)−𝜑(𝑥_𝑘)|<^𝜀, |𝜑(𝑥_𝑘)−𝜑(𝑥)|<^𝜀 tengsizliklar o‘rinli
bo‘ladi. Bu tengsizliklarni e’tiborga olsak,
|𝑓(𝑥)−𝜑(𝑥)|=|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥_𝑘)+𝑓(𝑥_𝑘)−𝜑(𝑥_𝑘)+𝜑(𝑥_𝑘)−
𝜑(𝑥)|≤|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥_𝑘)|+|𝑓(𝑥_𝑘)−𝜑(𝑥_𝑘)|+|𝜑(𝑥_𝑘)−𝜑(𝑥)|, ya’ni |𝑓(𝑥)−𝜑(𝑥)|<𝜀 bo‘ladi.
Demak, grafigi siniq chiziqlardan iborat funksiyalar M da to‘r tashkil qiladi. Teorema isbot bo‘ldi.