Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar

Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer
usulida yechish.
Faraz qilaylik birinchi darajali, ikkita noma’lumli ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1)
(1) sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ ga, 2-tenglamasini -a₁₂ ga ko’paytirib qo’shsak
(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₁= b₁a₂₂-b₂a₁₂ (2
Agar (1) sistemaning 1-tenglamasini -a₂₁ ga, 2-tenglamasini a₁₁ ga ko’paytirib qo’shsak (a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)x₂= b₂a₁₁-b₁a₂₁ (3)

(2) va (3) larga e’tibor bersak ikkinchi tartibli determinantning ta’rifiga ko’ra

x₁= ; x₂= ; (4)
(4) ga Kramer formulasi deyiladi.
(1) sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoya.
(4) ga e’tibor bersak berilgan (1) sistemadagi noma’lumlarning oldidagi koeffisiyentlardan tuzilgan 2-tartibli determinant ₁, ₂ lar esa mos ravishda ning birinchi va ikkinchi ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.
Agar uch noma’lumli uchta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib, bo’lsa
berilgan sistemaning yechimi
x₁= ; x₂= ; x₃= . (5)

Kramer formulalari orqali aniqlanadi. Bu yerda ham ₁, ₂, ₃ lar

ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
Agar birinchi darajali n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib,

bo’lsa, berilgan sistemaning yechimi Kramer formulasiga ko’ra quyidagicha aniqlanadi.

x₁= , x₂= , ... , x_n= (6)
₁, ₂, …, _n lar  ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
Misol. 1) (x=-1; u=2), 2) , (x=1;y=-2; z=-1).
Agar uch noma’lumli bir jinsli ikkita tenglamalar sistemasi
(7)
berilgan bo’lib,
₁= , ₂= _, ₃=
determinantning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u holda (7) sistemaning barcha yechimlari
x=₁t, y=₂t, z=₃t (8)
formula bilan aniqlanadi. (t-ixtiyoriy son).
(9)
(9) da 0 bo’lsa, x=0 ,u=0 ,z=0 lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi.
Agar ∆=0 bo’lsa, (9) ning cheksiz ko’p yechimi bo’lib,ular (7) kabi aniqlanadi.
Misol.1) (x=3t; u=4t;z=11t),
2) (x=2t;y=-3t; z=5t).