Mövzu Xətti tənliklər sistemi. Plan

AX = B , (3)
burada A – sistemin əsas matrisi, X və B isə sütun-matrislərdir
, .
A matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün onun tərs matrisi var. Tutaq ki, (1) sistemin həlli var, yəni (3) matris tənliyini eyniliyə çevirən X sütunu vardır. Bu halda (3) tənliyinin hər iki tərəfini soldan matrisinə vursaq, alarıq
. (4)
Buradan üç matrisin hasilinin xassəsini və (burada I vahid matrisidir) olduğunu nəzərə alsaq onda
.
Nəticədə, (4) düsurundan alarıq ki,
. (5)
Beləliklə, isbat etdik ki, (3) matris tənliyinin həlli varsa, onda o (5) münasibəti ilə birqiymətli təyin edilir.
Asanlıqla yoxlamaq olar ki, (5) münasibəti ilə təyin edilən X sütunu doğrudan da (3) matris tənliyinin həllidir, yəni bu tənliyi eyniliyə çevirir. Doğrudan da, əgər X matrisi (5) münasibəti ilə təyin edilərsə, onda
.
Deməli, əgər A matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olarsa, onda (5) münasibəti ilə təyin edilən (3) matris tənliyinin yeganə həlli vardır.


§4. Qauss üsulu.


Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi verilmişdir:
(1)
Bu sistemin həlli üçün istifadə edilən məchulların yox edilməsi üsulunun və ya Qauss üsulunun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Tutaq ki, . Onda sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq, alınan

tənliyini sistemin ikinci tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Aldığımız tənlikdə məchulu iştirak etmir:
.
Sonra sistemin birinci tənliyinin hər iki tərəfini ədədinə vuraraq alınan tənliyi sistemin üçüncü tənliyindən tərəf-tərəfə çıxaq. Bu mühakiməni ardıcıl tətbiq etməklə (1) sistemini
(2)
şəklində sistemə gətirmək olar. Aldığımız yeni sistemin 2-ci, 3-cü və s. tənliklərindən istifadə etməklə yuxarıda göstərdiyimiz üsulla məchulunu da yox etmək olar. Bu mühakiməni ardıcıl olaraq tətbiq etməklə (1) sistemini ona ekvivalent olan
(3)


tənliklər sisteminə gətirmək olar. (3) sisteminə pilləvari (və ya pillələr şəklində) sistem deyilir. Sonuncu tənlikdən məchulu tapılır, sonra yuxarı qalxaraq və bu qayda ilə davam edərək birinci tənlikdən məchulunu tapırıq. (1) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən tənliklər üzərində aparılan əməlləri bəzən onların əmsallarından düzəlmiş

matrisi üzərində aparmaq daha münasib olur. Belə matris genişlənmiş matris adlanır.